Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория электрических цепей-Лк1-ИКТиСС-2у-1-Панин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

447.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Построим графики соответствующих напряжений:

u(t)

E uC(t)

	uR (t)
0	t

Выключение последовательной RC-цепи от источника постоянного напряжения

Задача: определить переходное напряжение на емкости.

R Определим напряжение на емкости до коммутации:

			uC E .
			На основании II закона коммутации:
E	K	C	uC uC E.
			uC uC E.

Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:

По II закону Кирхгофа RiC t uC t , отсюда RC		duC t		uC t – ОДУ.

		dt
Характеристическое уравнение: RCp , откуда p							.
			RC
						C
uС t Ae p t , где A E определяется из начального условия uC E .
	t				t

Окончательное решение uC t Ee	C , uR t uC t Ee				C .

u(t)

uC(t)

uR (t)

Контрольные вопросы

1.Назовите основные этапы анализа переходных процессов классическим методом.

2.Какой физический смысл имеет знак минус корня характеристического уравнения?

3.Как определяется постоянная времени последовательной RL-цепи?

4.Что Вы понимаете под постоянной времени последовательной RL-цепи? Как она определяется графически?

5.За какой интервал времени заканчивается переходной процесс в последовательной RL-цепи?

6.Как определяется постоянная времени последовательной RC цепи?

7.Зависит ли порядок дифференциального уравнения от внешнего воздействия?

8.Определить энергию магнитного поля в индуктивности при t L (случай выключения последовательной RL цепи).

9.Определить энергию электрического поля в ёмкости при t С (случай выключения последовательной RC цепи).

Переходные процессы в цепях второго порядка

Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Апериодический процесс Задача: определить переходное напряжение на емкости и ток в индуктивности.

	K		R
				Напряжение на емкости до коммутации:



				uC .
				uC .
E				L Ток в индуктивности до коммутации:
		C		iL .
		C		iL .

Согласно законам коммутации:

iL iL , uC uC – задача с нулевыми начальными условиями.

Составим дифференциальное уравнение для напряжения на емкости (после коммутации):

RiR t L

diL t

uC t E , т.к. iL t iC t iR t C

duC

, то

d u

uC t E – НДУ.

Решение уравнения ищем: uC t uCсв t uСпр t .

Определяем свободную составляющую:

Cсв

uCсв t – ОДУ; LCp RCp – характ. уравнение.

p ,

– корни характеристического уравнения.

Введем понятие критического сопротивления, определяемого из условия:

Rкр
				L
			, откуда Rкр		.
		LC
	L			C

Если R Rкр L , то имеет место апериодический процесс. C

Свободная составляющая определяется uCсв t A ep t A ep t .

Принужденная составляющая определяется при t = ∞, uCпр uC E.

Общий вид реакции: uC t A ep t A ep t E.

Для определения A1 и A2 составим еще одно уравнение:

duC t

p ep t

ep t , поскольку i

t i

t C

duC

, то

iL t C A p ep t A p ep t .

Определим постоянные интегрирования из начальных условий: iL ,

uC .

При этом образуется система алгебраический уравнений:

A A E

, откуда A

, A

A p

p p

После подстановки и алгебраических преобразований получим:

uC t E

p ep t p ep t – переходное напряжение на емкости.

p p

iL t

ep t ep t – переходной ток в индуктивности.

L p

uL t L

diL t

p e

– переходное напряжение на индуктивности.

uR t iR t R

ep t ep t – переходное напряжение на резисторе.

L p p

u(t)

uC(t)

uR(t)

t t .

uL(t)

Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Критический процесс

Если R Rкр L , то имеет место критический процесс. C

Свободная составляющая определяется u

Cсв

t A A

t ept .

Общий вид реакции: u

t A

t ept

E , где p p

Для определения A1 и A2 составим еще одно уравнение:

duC t

A ept p A A t ept ,

поскольку iL t iC t C

duC

, то

iL t C A ept p A A t ept , т.к.iL , uC получаем систему:

A E , откуда A E , A pE.

A pA

uC t E E pt ept – переходное напряжение на емкости.

iL t E tept – переходной ток в индуктивности. L

uL t L	diL t	L	E	ept tpept E pt ept – переходное напряжение на индуктивности.
	dt
			L

uR t iR t R ER tept – переходное напряжение на резисторе. L

Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Колебательный процесс Если R Rкр , то имеет место колебательный процесс.

p ,

j св ,

где

– коэффициент затухания,

св

– частота свободных затухающих колебаний,

– резонансная частота колебательного контура.

Решение определяем в виде:

uC t Ae t sin св t E.

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

iL t iC t C duC t CAe t св cos св t sin св t . dt

Из нулевых начальных условий получим систему уравнений:

Asin E

св

CA св cos sin

arctg

sin

св

sin sin .

Поскольку св cos sin , то св

sin

sin ,

После преобразований получим уравнение:

св

св sin

, откуда sin

св

Последнее выражение приведем к виду:

св

, следовательно sin св

св

Таким образом, коэффициент A

sin

св

u t E

e t

sin

– переходное напряжение на емкости;

св

iL t	E	e t sin св t – переходный ток в индуктивности;
	св L
uR t iL t R			ER	e t sin св t – переходное напряжение на резисторе;
			св L
uL t		E	e t sin св		t – переходное напряжение на индуктивности.
uL t			e t sin св		t – переходное напряжение на индуктивности.
	св	LC
Представим на графике соответствующие переходные напряжения:
u(t)				uC(t)		Квазипериод:
				uC(t)		Квазипериод:
	E					T		.
			uR(t)			св		св
			uR(t)			Декремент затухания:
						Декремент затухания:
	0					t	e Tсв .
		uL(t)				Логарифмический декремент затухания:
		uL(t)				ln			Tсв .
				Tсв		ln			Tсв .
				Tсв
Рассмотрим включение параллельной RLC цепи на постоянное напряжение.
	K					Напряжение на емкости до коммутации:
				Ri		Напряжение на емкости до коммутации:
				Ri					uC .
									uC .
	E			C	L	Ток в индуктивности до коммутации:
	E			C	L				iL .
									iL .
Согласно законам коммутации:
iL iL , uC uC – задача с нулевыми начальными условиями.
	iR (t)			Ri	iL(t)
				iC(t)		1.	iR (t) iC(t) iL(t),
				iC(t)		2.	E iR (t) Ri uC(t),
						2.	E iR (t) Ri uC(t),
E				C	L	3.	0 uL(t) uC(t).
Необходимо помнить,				что iL(t) L1 uL(t)dt . Из уравнения					(3) видно, что uL(t) uC(t),	из
уравнения (2) получим: iR (t)					E uC(t)
уравнения (2) получим: iR (t)					. Осуществляя подстановку в уравнение (1), получим:
					Ri

uC(t)

iC(t)

uL(t)dt , т.к. iC t C

duC

, то C

duC(t)

uC(t)

uC(t)dt

Продифференцируем последнее выражение по времени, т.е.

2uC(t)

duC(t)

uC(t) 0, умножая обе части уравнения на величину Ri , получим:

dt2

d2uC(t)

duC(t)

Ri C

uC(t) 0 – однородное дифференциальное уравнение.

dt2

Составим характеристическое уравнение: Ri C p

0 .

Корни данного уравнения определяются как: p

1,2

2 Ri C

4 R2 C2

Определим величину критического сопротивления в параллельном колебательном контуре как:

	1		1	0, откуда Rкр	1	L	.
4 R	2	C2	LC
				2		C
	iкр

1)Если R Riкр, то имеет место апериодический процесс.

2)Если R Riкр, то имеет место критический процесс.

3)Если R Riкр, то имеет место колебательный процесс.

Контрольные вопросы

1.Как определяется критическое сопротивление последовательного колебательного контура?

2.Когда в последовательном колебательном контуре наблюдается апериодический режим?

3.Когда в последовательном колебательном контуре наблюдается критический режим?

4.Изобразите графически формы напряжений на резисторе, индуктивности и ёмкости в апериодическом режиме.

5.Когда в последовательном колебательном контуре наблюдается колебательный режим?

6.Как объяснить с физической точки зрения, почему в колебательном контуре возможен колебательный процесс?

7.Изобразите графически формы напряжений на резисторе, индуктивности и ёмкости в колебательном режиме.

8.Как определяется коэффициент затухания в последовательном колебательном контуре?

9.Как определяется частота свободных затухающих колебаний в последовательном колебательном контуре?

10.Как определяется период свободных затухающих колебаний в последовательном колебательном контуре?

11.Что такое декремент затухания? Какова размерность?

12.Как определяется критическое сопротивление параллельного колебательного контура?

Операторный метод анализа переходных процессов. Преобразования Лапласа Определение постоянных интегрирования из начальных условий сильно осложняет расчёт

переходных процессов классическим методом. По мере усложнения электрических схем и возрастания порядка дифференциальных уравнений трудности, связанные с нахождением постоянных интегрирования, увеличиваются. Для инженерной практики более удобным является метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и для нахождения искомых функций не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования.

В прошлом столетии в математике развивалось так называемое символьное исчисление,

построенное на системе формальных операций над символом «p». Например, производная df(t) dt

представлялась как результат действия на функцию f(t) символа «p». В конце XIX в.

Английский инженер-электрик О. Хевисайд успешно применил и развил символический метод решения линейных дифференциальных уравнений для расчёта переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Внастоящее время операционное исчисление Хевисайда полностью вытеснено более общим

истрогим методом – преобразованием Лапласа.

Идея этого метода заключается в том, что из области функций действительного переменного решение переноситься в область функций комплексного переменного p j , где операции принимают более простой вид, а именно: вместо исходных дифференциальных или интегро-

дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения; затем полученный решением алгебраических уравнений результат «интерпретируется», т.е. производится обратный переход в область функций действительного переменного.

	f(t)	Пусть f(t) – кусочно-непрерывная однозначная функция.
	f(t)
		1.	f(t) , если t .
		2.		f(t)	dt .
		2.

		Введем комплексную переменную:
0		t			p j .

Преобразованием Лапласа F(p) функции f(t) является функция комплексной переменной вида:

F(p) f(t)e ptdt ,

Интеграл такого типа абсолютно сходится в полуплоскости Rep o

f(t) имеет ограниченный показатель роста, т.е.

f(t) Me o t .

σ0

Далее будем называть: f(t)	– оригинал, F(p) – изображение.
Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного
переменного t и комплексного переменного				p, связанных преобразованием Лапласа. Из
определения изображения следует, что каждый оригинал имеет единственное изображение.
Существует обратное преобразование Лапласа:
	1		j
				F(p)eptdp.
	f(t)
		2 j
			j
Фразу «оригинал f(t)	имеет своим изображением F(p)» будем записывать символически в
следующем виде:

f(t) F(p) или F(p) f(t), либо f(t) F(p) или F(p) f(t).

Такая сокращённая запись равносильна интегральным уравнениям вида:

	1	j
f(t)		F(p)eptdp, равносильно f(t) F(p), либо f(t) F(p)
	2 j

F(p) f(t)e ptdt , равносильно F(p) f(t), либо F(p) f(t).

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа:

1.Линейность

Если f t F p , то

k fk t

k Fk p .

Дифференцирование оригинала

df t

Если f t F p , то

pF p f .

Интегрирование оригинала

F p

Если f t F p , то f t dt

Сжатие

Если f t F p

, то f at

Запаздывание

Если f t F p , то f t t F p e pt .

6. Смещение

Если f t F p , то F p f t e t .

7. Свертка

Если f t F p , то F1 p F2 p f1 f2 t d .

Предельные соотношения:

lim pF p lim f t

p	t 0	f t .
lim pF p lim		f t .
p 0	t

Данные соотношения позволяют проверить правильность полученного решения.

Оригиналы, изображения единичной функции Хевисайда, -функции Дирака и экспоненциального импульса

Функция Хевисайда:
	1(t)		1(t – t0)
1		1
1		1

F(p) 1(t)e pt

, т.е.

(t)

Согласно свойству запаздывания (t t ) e pt . p

δ-функция Дирака

δ(t)

δ(t-t0)

t t

t ,

t t

t t .

t t

Связь с функцией Хевисайда:

t lim t t d t .

-функция Дирака – единичная импульсная функция: t dt 1.

Фильтрующие свойства - функции:

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
10.06.2015447.63 Кб23Теория электрических цепей-Лк1-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015339.74 Кб22Теория электрических цепей-Лк2-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015195.26 Кб21Теория электрических цепей-Лк3-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015161.35 Кб22Теория электрических цепей-Лк4-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf