f13051

Рисунок 35 – К задаче 7: а – заданная схема балки; б – расчетная схема балки; в – эпюра поперечных сил; г – эпюра изгибающих моментов для студентов механических

специальностей; д – эпюра изгибающих моментов для студентов гидротехнической специальности

Изгибающий момент:

квадратичный закон .

Так как изгибающий момент на участке СВ изменяется по закону квадратичной параболы, то для более точного построения его эпюры рассчитаем значения изгибающего момента в трех точках, принадлежащих рассматриваемому участку. Его значения на границах участка:

Примечание. Равенство M zB = 0 является для рассматриваемой бал-

ки контрольным, так как изгибающий момент в шарнире должен быть равен нулю.

Так как на рассматриваемом силовом участке стержня существует сечение, в котором поперечная сила, изменяясь непрерывно, обращается в ноль, то изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремальное значение.

Расчет абсциссы и ординаты экстремума:

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, построенные по результатам расчетов для студентов механических специальностей, показаны на рисунках 35в и 35г соответственно, а для студентов гидротехнической специальности эпюра поперечных сил показана на рисунке 35в, а эпюра изгибающих моментов – на рисунке 35д.

Примечание. После построения эпюр поперечных сил и изгибающих

моментов следует проверить их согласованность с расчетной схемой и между собой, при этом для балок с шарниром все дифференциальные за-

висимости (4.2), а, следовательно, и особенности эпюр остаются таки- ми же (без изменения), как и для балок без шарнира (см. п. 4.4). Однако

для балок с шарниром следует обратить внимание на следующие особен- ности. Если в сечении, где стоит шарнир, не приложены ни сосредото- ченная сила, ни сосредоточенный момент, то:

•на эпюре поперечных сил и на эпюре изгибающих моментов в этом сечении не должно быть скачков (разрывов);

•изгибающий момент в сечении, где стоит шарнир, обязательно дол- жен быть равен нулю, а на эпюре изгибающих моментов не должно быть излома.

4.9. Задача 8. Плоская рама

Примечание. Для рамы вводится понятие узла – это точка, в кото- рой соединяются стержни рамы. Стержни в узлах рамы соединяются жестко, в результате такого соединения в узле возникают внутренние усилия: продольная и поперечная силы, изгибающий момент.

Если в каждом узле рамы соединяется не более двух стержней, рама называется простой, если хотя бы в одном узле соединяется более двух стержней – рама называется сложной. В данном задании рассматрива- ются только простые рамы.

Заданную простую раму, показанную на рисунке 36а, можно рассматривать как один ломаный стержень, поэтому для определения опорных реакций можно составить три уравнения равновесия. Отбросим опоры и заме-

ним их действие реакциями RA , RA′ , RE . При определении опорных реак-

ций используется общая система координат – XY, ось X которой направлена слева направо, ось Y – вверх. Расчетная схема рамы показана на рисунке 36б.

Найдем реакции опор из условий равновесия рамы.

∑M A = 0 ; P1 2 a + q 2 a a − RE′ 2 a − 1 = 0 ;

∑ X = 0 ; RA′ − RE′ + P1 = 0 ; RA′ = 2,5 q a − 2 q a = 0,5 q a . ∑Y = 0 ; RA − q 2 a = 0 ; RA = 2 q a .

Проверка:

∑M D = 0 ; RA 2 a − RA′ 4 a − P 2 a − q 2 a a + RE′ 2 a − 1 = 0 ;

2 q a 2 a − 0,5 q a 4 a − 2 q a 2 a − 2 q a 2 + 2,5 q a 2 a − q a 2 = 0; 0 ≡ 0 .

Для построения эпюр внутренних усилий в каждом стержне выбира- ется местная система координат – XiYi.

Примечание. При определении внутренних усилий, действующих в по- перечных сечениях рамы, и построении их эпюр следует обратить внима- ние на следующие особенности:

•оси местной системы координат каждого стержня направляют таким образом, чтобы, развернув все стержни рамы в одну горизонтальную ли- нию, местная система координат для каждого стержня совпала бы по

направлению с общей системой координат; при этом ось Xi всегда должна быть направлена вдоль оси рассматриваемого стержня;

•если i-ый стержень мысленно повернуть так, чтобы он занял гори-

зонтальное положение, ось Xi должна быть направлена слева напра- во, а Yi – вверх; для такого положения координатных осей и опреде- ляются понятия, используемые при расчете внутренних усилий – «правая отсеченная часть», «левая отсеченная часть», а также при построении эпюр – «верх», «низ»;

•при построении эпюры изгибающего момента его значения студенты механических специальностей должны откладывать строго со сто- роны сжатых волокон стержня, а студенты гидротехнической спе- циальности – со стороны растянутых волокон стержня;

•при определении внутренних усилий, действующих в поперечных сечениях стержней рамы, используется метод сечений, при этом длина отсеченной части измеряется только в пределах длины рас- сматриваемого стержня;

•так как стержни в узлах рамы соединяются жестко, то при опреде- лении внутренних усилий учитываются все внешние усилия, прило- женные не только к рассматриваемому стержню, но и к другим стержням рамы, расположенным левее или правее сечения, в зависи- мости от того, какая отсеченная часть стержня рассматривается;

•эпюры внутренних усилий изображают каждую на отдельном кон- туре рамы и располагают рядом на одном листе.

Рассмотрим построение эпюр внутренних усилий для заданной рамы.

Первый стержень (АВ) I участок (AE) 0 ≤ x1 ≤ 2 a

Продольная сила:

N= −∑ X1л = − ( RA ) = − 2 q a = const .

Поперечная сила:

Ее значения на границах участка:

Так как изгибающий момент на данном участке изменяется по закону квадратичной параболы, то для более точного построения его эпюры рассчитываем значения изгибающего момента в трех точках, принадлежащих рассматриваемому участку:

ным, а эпюра изгибающих моментов в точке D имеет касательную, параллельную оси стержня DC.

Эпюры внутренних усилий, построенные по результатам расчета, для студентов механических специальностей показаны на рисунках 36в, 36г и 36д, а для студентов гидротехнической специальности – показаны на рисунках 36в, 36г, 36е.

Примечание. После построения эпюр внутренних усилий следует проверить их согласованность с расчетной схемой и между собой, при этом для стержней рамы сохраняются все дифференциальные зависи- мости (4.2) между внутренними усилиями и внешними силами, как и для прямого стержня (см. п. 4.4). Кроме того, следует обратить внимание на следующие особенности:

•если в узле рамы не приложен сосредоточенный момент, то изги-

бающий момент в конце одного стержня по величине и по знаку равен изгибающему моменту вначале второго стержня, выходящего из этого же узла;

•если в узле рамы приложен сосредоточенный момент, то на эпюре изгибающих моментов в этом узле будет скачок на величину прило- женного момента.

Содержание

Марина Венидиктовна Горохова Наталья Германовна Зябко

Сопротивление материалов

Построение эпюр внутренних усилий в стержнях

Практикум