f13051

Здесь ∑ X л , ∑ Z л − суммы проекций на оси X и Z соответственно

всех внешних сил (включая реакции опор и равнодействующие распределенных усилий), действующих на левую отсеченную часть стержня;

− суммы моментов всех внешних усилий (вклю-

чая реактивные, сосредоточенные и распределенные моменты), действующих на левую отсеченную часть стержня, относительно соответствующей координатной оси, проходящей через центр тяжести, рассматриваемого сечения.

В правом столбце выражений (3.1) приведены аналогичные формулы для правой отсеченной части стержня, они отличаются только знаками перед суммами. Причем для одного и того же сечения стержня внутренние усилия, подсчитанные по выражениям для левой и правой отсеченной части, должны давать одинаковый результат.

Дифференциальные зависимости между внутренними и внешними усилиями для прямого стержня имеют вид:

Здесь qx , qz – интенсивность распределенной нагрузки, действую-

щей в направлении координатных осей X и Z соответственно;

– интенсивность распределенного момента, действую-

щего относительно координатных осей X и Y соответственно.

Остальные положения, которые используются при построении и проверке правильности эпюр внутренних усилий, приведены в примечаниях к рассмотренным примерам.

3.2. Задача 1. Растянуто-сжатый стержень

Заданная для расчета схема стержня показана на рисунке 20а.

Начинаем решение задачи с определения опорной реакции. Отбросим заделку и заменим ее действие реакцией RА (рисунок 20б). Так как вся внешняя нагрузка, действующая на стержень, состоит только из сил параллельных оси стержня (продольные силы), то и реакция заделки будет состоять только из продольной составляющей (плоскопараллельная система сил).

Примечание. Равнодействующая равномерно распределенной про-

дольной нагрузки равна произведению интенсивности этой нагрузки на длину ее действия.

Из условия равновесия найдем реакцию в заделке RА:

∑ X = 0 ; − RÀ + P1 + q a − P2 = 0 ;

− RА + 4,5 q a + q a − 1,5 q a = 0 ; R А = 4 q a .

Так как значение реакции получилось положительным, то можно сделать вывод о том, что направление реакции RА на расчетной схеме (рисунок 20б) выбрано верно.

Примечание. Вычисленное значение реакции следует обязательно подписать на расчетной схеме стержня. Если при вычислении опорной реакции ее значение получилось отрицательным, то направление реакции на расчетной схеме следует изменить на противоположное, а значение реакции подписать по модулю.

Для определения осевой силы используем метод сечений. Для заданного стержня можно выделить два силовых участка, в пределах которых закон изменения осевой силы будет неизменным.

I участок (АВ) 0 ≤ x ≤ a

T= −∑ X л = − ( − RA ) = 4 qa = const .

IIучасток (ВC) a ≤ x ≤ 2a

T = − ∑ X л = − ( − RA + P1 + q ( x − a ) ) ;

T = 4 q a − 4,5 q a − q ( x − a ) = − 0,5 q a − q ( x − a ) − линейный закон.

Так как осевая сила изменяется на втором участке по линейному закону, то для построения эпюры достаточно вычислить значения осевой силы только на границах рассматриваемого участка:

x = a TB = − 0,5 q a − q ( a − a ) = − 0,5 q a ; x = 2 a TC = − 0,5 q a − q ( 2 a − a ) = − 1,5 q a .

При определении осевой силы на втором силовом участке можно рассматривать не левую, а правую отсеченную часть стержня, причем это никак не сказывается на результатах расчета.

II участок (СВ) 0 ≤ x′ ≤ a

T = ∑ X пр = − P2 + q x′ = − 1,5 q a + q x′ − линейный закон ; x′ = 0 TC = − 1,5 q a ; x′ = a TB = − 1,5 q a + q a = − 0,5 q a .

Эпюра осевых сил, построенная по результатам расчета, показана на рисунке 20в.

Рисунок 20 – К задаче 1: а – заданная схема стержня; б – расчетная схема стержня; в – эпюра осевых сил

Примечание. После построения эпюры осевых сил выполняется про- верка ее согласованности с расчетной схемой стержня:

•в сечении стержня, где к нему приложена сосредоточенная сила, эпюра осевых сил должна иметь скачок (разрыв) на величину этой силы;

•если участок стержня не несет никакой распределенной нагрузки (qx = 0), то осевая сила на этом участке будет постоянной (T = const);

•если участок стержня загружен равномерно распределенной нагруз-

кой (qx = const), то эпюра осевых сил на данном участке будет пред- ставлять собой наклонную прямую, для построения которой доста- точно подсчитать значения осевой силы на границах участка;

•наклон эпюры осевых сил будет тем круче, чем больше величина ин- тенсивности распределенной нагрузки qx;

•если на участке стержня действует равномерно распределенная на-

грузка с интенсивностью qx < 0 (нагрузка направлена в сторону проти- воположную оси X), то осевая сила на данном участке в соответствии с дифференциальной зависимостью (3.2) слева направо возрастает и наоборот, если qx > 0, осевая сила слева направо будет убывать.

3.3. Задача 2. Скручиваемый стержень

Примечание. Решение задачи 2, приведенное ниже, без каких-либо изменений, аналогичным образом выполняется так же студентами гид- ротехнической и механических специальностей.

Заданная для расчета схема стержня показана на рисунке 21а. Отбросим заделку и заменим ее действие реактивным моментом А

(рисунок 21б). Поскольку вся внешняя нагрузка состоит только из моментов, стремящихся повернуть стержень вокруг оси X, то и реакция заделки будет состоять только из одной составляющей.

Примечание. Равнодействующая равномерно распределенного скру-

чивающего момента равна произведению интенсивности этого момента на длину его действия.

Из условия равновесия найдем реактивный момент А:

∑M x = 0 ; A + m a + 1 − 2 = 0 ;

A + m a + 5 m a − 10 m a = 0 ; A = 4 m a .

Так как значение реактивного момента в заделке получилось положительным, то можно сделать вывод о том, что его направление на расчетной схеме (рисунок 21б) выбрано верно.

Для определения скручивающего момента используем метод сечений. Для заданного стержня можно выделить два силовых участка, в пределах которых закон изменения скручивающего момента остается неизменным.

I участок (АВ) 0 ≤ x ≤ a

M x = ∑ M лx = A + m x = 4 m a + m x − линейный закон.

Так как скручивающий момент на первом силовом участке изменяется по линейному закону, то найдем его значения на границах участка:

II участок (ВC) a ≤ x ≤ 2a

M x = ∑ M лx = A + m a + 1 = 4 m a + m a + 5 m a = 10 m a = const.

При определении скручивающего момента на втором силовом участке можно рассматривать не левую, а правую отсеченную часть стержня, тогда расчет выглядит следующим образом:

II участок (СВ) 0 ≤ x′ ≤ a M x = −∑ M прx = − ( − 2 ) = 10 m a = const.

Результат оказался такой же, как и при рассмотрении левой отсеченной части стержня.

Эпюра скручивающих моментов, построенная по результатам расчета, показана на рисунке 21в.

Примечание. После построения эпюры скручивающего момента вы- полняется проверка ее согласованности с расчетной схемой стержня:

•в сечении стержня, где к нему приложен сосредоточенный момент, эпюра скручивающих моментов должна иметь скачок (разрыв) на величину этого момента;

•если внешний сосредоточенный момент действует против часовой стрелки, при взгляде с положительного направления координатной оси X, то скачок на эпюре будет вверх, если по часовой стрелки – скачок вниз;

•если на участке стержня нет распределенного момента (mx = 0), то скручивающий момент на этом участке будет постоянным (Mx = const);

•если участок стержня загружен равномерно распределенным момен-

том (mx = const), то эпюра скручивающего момента на данном уча- стке будет представлять собой наклонную прямую, для построения

которой достаточно подсчитать значения скручивающего момента на границах участка;

•наклон эпюры скручивающих моментов будет тем круче, чем больше величина интенсивности распределенного момента mx;

•если на участке стержня действует равномерно распределенный мо-

мент с интенсивностью mx < 0 (момент направлен по часовой стрел- ки, при взгляде с положительного направления оси X), то скручиваю-

щий момент на данном участке в соответствии с дифференциальной

mx > 0, скручивающий момент слева направо будет возрастать.

Рисунок 21 – К задаче 2: а – заданная схема стержня; б – расчетная схема стержня; в – эпюра скручивающих моментов

3.4. Задача 3. Консольная балка

Примечание. Стержень, испытывающий изгиб, называется балкой.

Заданная для расчета схема балки показана на рисунке 22а.

Отбросим жесткую заделку в сечении С, заменив ее действие горизон-

тальной RС′ , вертикальной RС реакциями и реактивным моментом C .

Расчетная схема балки показана на рисунке 22б.

Примечание. График, показывающий, как изменяется интенсивность распределенной нагрузки по длине стержня, называется эпюрой нагрузки.

Равнодействующая равномерно распределенной поперечной нагрузки (qz = const) определяется как площадь эпюры нагрузки (площадь прямо-

угольника), т. е. равна произведению интенсивности этой нагрузки на длину ее действия. Точкой приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки является центр тяжести эпюры нагрузки, т. е. центр тяжести прямоугольника.

Найдем реакции опор из условий равновесия балки.

Так как по результатам расчета значение реакции RC получилось отрицательным, то на расчетной схеме балки (рисунок 22б) ее направление изменяем на противоположное, а значение реакции подписываем по модулю.

∑M C = 0 ; − P 2 a + q a 1,5 a + + C = 0 ;C = 1,5 q a 2 a − 1,5 q a 2 − 1,5 q a 2 = 0 .

Примечание. После определения опорных реакций обязательно выпол- няется проверка правильности их расчета. Для проверки составляются уравнения равновесия, которые не использовались при вычислении реакций.

Проверка:

∑ M B = 0 ; − P a + q a 0,5 a + + C − RC a = 0 ;

− 1,5 q a a + 0,5 q a 2 + 1,5 q a 2 + 0 − 0,5 q a a = 0 ; 0 ≡ 0 .

Для определения срезывающей силы и изгибающего момента в сечениях заданной балки используем метод сечений. В рассматриваемой консольной балке можно выделить два силовых участка.

I участок (АВ) 0 ≤ x ≤ a

Срезывающая сила:

Vz = ∑ Z л = − P + q x = − 1,5 q a + q x − линейный закон.

Ее значения на границах участка:

закон.

Так как изгибающий момент на данном участке изменяется по закону квадратичной параболы, то для более точного построения его эпюры рассчитаем значения изгибающего момента в трех точках, принадлежащих рассматриваемому участку:

При построении эпюр внутренних усилий на втором силовом участке (ВС) можно рассматривать не левую, а правую отсеченную часть стержня, причем это никак не сказывается на результатах расчета.

II участок (СВ) 0 ≤ x′ ≤ a

Срезывающая сила:

Vz = − ∑Zпр = − ( RC ) = − 0,5 q a = const .

Изгибающий момент:

M y = − ∑M прy = − ( − RC x′ + C ) = 0,5 q a x′ − линейный закон .

Его значения на границах участка:

x′ = 0 M Cy = 0 ; x′ = a M yB = 0,5 q a a = 0,5 q a 2 .

Эпюры срезывающих сил и изгибающих моментов, построенные по результатам расчетов, показаны на рисунках 22в и 22г соответственно.

Примечание. После построения эпюр срезывающих сил и изгибающих

моментов следует проверить их согласованность с расчетной схемой и между собой, используя для этого дифференциальные зависимости (3.2):

•если участок стержня не несет никакой поперечной распределенной

нагрузки (qz = 0), то на этом участке срезывающая сила постоянна (Vz = const), а изгибающий момент изменяется по линейному закону; в

частности при Vz = 0 – изгибающий момент будет оставаться по-

стоянным (My = const);

•если участок загружен равномерно распределенной поперечной на-

грузкой (qz = const), то срезывающая сила изменяется по линейному закону, а эпюра изгибающих моментов является параболой второй

степени, обращенной выпуклостью вниз при qz > 0 и выпуклостью вверх при qz < 0, следовательно, выпуклость эпюры изгибающих мо- ментов направлена в сторону действия распределенной нагрузки qz;

•если на участке существует сечение, в котором срезывающая сила, изменяясь непрерывно, например по линейному закону, обращается в ноль, то изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстре-

мальное (максимальное или минимальное) значение (my = 0 для всех вариантов заданий); эпюра изгибающего момента в этом сечении бу- дет иметь горизонтальную касательную;

•в месте разрыва (скачкообразного изменения) интенсивности нагруз-

ки qz эпюра срезывающих сил получит излом, а эпюра изгибающих мо- ментов останется плавной линией;

•наклон эпюры срезывающих сил (при изменении по линейному закону) будет тем круче, чем больше величина интенсивности распределен- ной нагрузки qz;

•в сечении балки, где к ней приложена сосредоточенная сила (в том числе и реакция опоры), эпюра срезывающих сил будет иметь скачок (разрыв) на величину этой силы, а эпюра изгибающих моментов полу- чает излом в направлении действия этой силы;

•если сосредоточенная сила направлена вверх (отрицательна), то ска- чок на эпюре срезывающих сил будет вверх, если сосредоточенная си- ла направлена вниз (положительна), то и скачок на эпюре будет вниз;

•в сечении балки, где к ней приложен сосредоточенный момент (в том числе и реактивный) на эпюре изгибающих моментов будет скачек (разрыв) на величину этого момента, а эпюра срезывающих сил оста- нется плавной непрерывной линией;

•если сосредоточенный момент направлен против часовой стрелки (положителен), то скачек на эпюре изгибающих моментов будет вверх, если сосредоточенный момент действует по часовой стрелке (отрицателен) – скачек вниз;

•в сечении на свободном или шарнирно опертом конце балки изгибаю- щий момент равен нулю, если в этом сечении не приложен сосредо- точенный момент;

•если на свободном или шарнирно опертом конце балки приложен со- средоточенный момент, то изгибающий момент в данном сечении равен по величине этому моменту.

Рисунок 22 – К задаче 3: а – заданная схема балки; б – расчетная схема балки; в – эпюра срезывающих сил; г – эпюра изгибающих моментов

Значения изгибающего момента на границах участка: x = 0 M yA = − 1,5 q a2 ;

x = 2 a M yB = − 1,5 q a2 − 3,75 q a 2 a + 3 q (2 a )2 = 3 q a2 .

Примечание. Если на рассматриваемом участке балки существует сечение, в котором срезывающая сила, изменяясь непрерывно, обращает- ся в ноль, то в соответствии с дифференциальной зависимостью (3.2) между изгибающим моментом и срезывающей силой, в этом сечении из- гибающий момент будет иметь экстремальное значение (максимум или минимум). Эпюра изгибающего момента в этом сечении будет иметь горизонтальную касательную. Поэтому при построении эпюр внутренних усилий на таком участке в обязательном порядке должны быть рассчи- таны координаты экстремума (его абсцисса и ордината).

Для определения абсциссы экстремума (x0) необходимо взять первую производную от выражения для изгибающего момента на рассматривае- мом участке и приравнять ее к нулю, а затем из полученного уравнения найти координату x0 (абсциссу экстремума). Однако, для определения абсциссы экстремума можно не брать производную от изгибающего мо- мента, а приравнять к нулю выражение для срезывающей силы на данном участке (в случае отсутствия на участке распределенного момента my).

Для определения ординаты экстремума, полученное значение x0 необхо- димо подставить в выражение для изгибающего момента на этом участке.

Расчет абсциссы и ординаты экстремума:

Так как изгибающий момент на данном участке изменяется по закону квадратичной параболы, то для более точного построения его эпюры рас-

считаем значения изгибающего момента в трех точках, принадлежащих рассматриваемому участку:

эпюра изгибающих моментов в точке С имеет горизонтальную касательную. Эпюры срезывающих сил и изгибающих моментов, построенные по

результатам расчетов, показаны на рисунках 23в и 23г соответственно.

Примечание. После построения эпюр срезывающих сил и изгибающих

моментов следует проверить их согласованность с расчетной схемой и между собой (см. п. 3.4).

3.6. Задача 5. Двухопорная симметрично устроенная балка

Заданная для расчета схема симметрично устроенной балки показана на рисунке 24а.

Отбросим опоры и заменим их действие реакциями RA′ , RA и RB .

Расчетная схема балки показана на рисунке 24б.

Примечание. Для симметрично устроенных балок, загруженных симметричной относительно середины балки нагрузкой, опорные реак- ции RA и RB равны по величине и одинаковы по направлению, поэтому можно обозначить RA = RB = R и найти эти реакции опор из уравнения равновесия ∑Z = 0 .

Для симметрично устроенных балок, загруженных антисимметрич- ной относительно середины балки нагрузкой, опорные реакции RA и RB равны по величине и противоположны по направлению, поэтому для опре- деления этих опорных реакций следует воспользоваться уравнениями рав- новесия ∑M A = 0 и ∑M B = 0 , и выполнить проверку с помощью урав-

нения равновесия ∑Z = 0 .

Так как данная балка симметрично устроена и загружена симметричной относительно середины балки нагрузкой, то обозначим RA = RB = R и найдем реакции опор из условий равновесия балки.

∑ X = 0 ; RA′ = 0 .