Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пособие 7 по матану (2 курс)

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
788.5 Кб
Скачать

¨¬. •.ƒ. —¥à-ë襢᪮£®

….Œ‚.‚. ƒ. 㤮è•à â-订¨ª®¢

ǑŽ ŒǑ•€€…ŒŠ’ˆ€’ˆ—…—‘Šˆ…ŠŽŒ“… ‡€•Ÿ’ˆŸ€•€‹ˆ‡“

— áâì 7

ˆ•’Œ•Ž…ƒ•ˆ•Ž‚ƒˆ• Ǒ…€ˆ…Œ… …”“•Š••›•–ˆ‰

“祡-®"Œ-¬¥â®â¥¤¨ç¬ â¨ç¥áª¥®áª¨©¥ ¯®á®¡¨- «¨§"¥ ¯® ªãàáã (3 ᥬ¥áâà, ®-â஫ì- ï à ¡®â ü7)

ˆ‡„€’…‹œ‘’‚Ž ‘€•€’Ž‚‘ŠŽ2011 ƒŽ “•ˆ‚…•‘ˆ’…’€

 

ƒã¤®è-¨ª®¢

….‚., •à â 订

Œ.‚.

 

 

ˆ§¤{¢® ‘ ªâ¨çà .äã¥áª¨-{â¥

, 2011. { 48

á.

⥬ â¨ç¥áª®¬ã

- «¨§ã. — áâì 7: ˆ--

ƒ

Ǒà

 

 

§ -ïâ¨ï ¯®

 

⥣à¨à®¢ -

 

-ªæ¨© ¬-®£¨å ¯¥à¥¬¥--ëå: “祡.

¯®á®¡¨¥. { ‘ à ⮢:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

¡¨¨ª¥¤«ï-¥ïâ¯à¨¢®àáâ㤥¤«ï¥®à襥¥â¨ç-¤ïâá-¨ï⮢¬®áâ®ïâ¥áª¨¢ëç¨á«¨âï1-¯®¤à®¡2ᢥ ªãàᮢ,¥«ì¥¤¥-¥-«ì¨ï£à¨§ãç®-¯®àë姮¡à¬¥è¥îé¨å-â--¤¨ï¥¬çë.¨â¨ç¥¬â¯à¨¬Šà®¬¥â¥ªáâë¥áª¬¥¥

 

 

 

 

®®¤ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à«¨§â¨¯®¢ëç¡®¥¥¤.áç,à-.§ã¯à¨â-¥ªà篮ᬥ-¥-

 

 

 

 

 

 

â¨çàëâ¬ã¥®à-â஫ì॥Ǒ®á®¡¨Ǒ®á®¡¨áª¨©-¥â¨ç諨§ã¥-¥-¨ïáªëå-¥¥ISBN®©¨§á®

978 5-91879-125-7

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥ª ¬¥-¤ãîâ

¯¥ç

 

 

 

 

ª 䥤à ⥠ਨ äã-ªæ¨©

¯à ¡«¨ ¥-¨©

 

 

 

 

 

‘ à ⮢᪮£® £®áã-¨¢¥àáâ¨:â¥â

“„Š 517.262(075.3 )

 

ISBN

 

 

 

 

 

 

 

 

••Š 22.161ï722

 

978-5-91879-125-7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1. •¥®¡å®¤¨¬ë¥§ ⥮

¥â¨ç¥áª¨¥ ᢥ¤¥-¨ï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒãáâì ¨¬¥¥âáï ¨-â¥£à « Za

f (x, y)dx. Ǒ®¢â®à-ë¬ ¨-â¥£à «®¬ - §ë¢ ¥âáï

 

d

 

 

b

f x, y dx!dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

dy Za

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zc

ÃZa

 

 

 

 

 

 

 

®¡¨©£®-§¨-â¥-çâ£à¥£âáï«à 1« .

Zc

 

 

f

(

x, y

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

1.2Ǒਬ. Ǒਬ¥à¥(1à.1¢ëç¨á«.) ‚ëç¨á«¨âì¥-¨ï ¯®¢â®àª â®àë©--ë©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

Z

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥. ¢ëç¨á«‘-

¢ëç¨á« ¬

-ãâ ¥-- ¨-â¥£à «,d¯xà¨-¨¬(x y)dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

âã.१ã«ì‡1 ⥬

 

 

 

¨¬¥-¨ï-¥-èãâà- ©¥--¨-¥â£¥®£à¨-«,⥣थ«¯®¤ë:

 

-â¥£à «ì-®© äãx-ªæ¨§

¥®©-¡ã¤áâ ¥--â

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x55

 

x44

 

1

 

 

x3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

31

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ã

2

x

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

2

 

 

¯

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= dx1 (2 (x + y)dy =

 

 

(x + y)dy!dx =

 

µ

x · y +

y2

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

2 · x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

dx =

Z

x

− x − x2) + 2(4 4x + x2 =x4)dx = Z µ

− x3 2 · x

 

1.31 ‚ëç¨á«¨âì. ‡ ¤ -¨ï¯®¢â®à¤«ï á-묮áâ®ï⥠¨-⥣५ì«ë:-®£®µ

 

·

 

 

 

 

 

 

·

 

3

¶¯x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à¥è2 ¥-¨ï.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

= 60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π4

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy Z0 2y2exy dx

 

1.1. Z0

 

dx Z0

 

x · sin ydy

 

1.2. Z0

dy Zπ2

os(x − y)dx

 

1.3. Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1e

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4.

1dx 1

 

x + y

dy

 

1.5.

 

dy

 

3x +2 ydx

 

 

 

1.6.

 

 

 

dy

 

 

 

1 ex4y dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 [1

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

2 [1

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ os

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0π

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1Žâ¢.7. Z

dy Z

 

 

y2 + x2y2

 

 

. . Z

dx

Z

 

y

 

 

xdy

 

. . Z

 

dx

 

Z

 

 

y dy

 

 

 

¥âë: 0

 

 

 

dx

 

 

 

1 8

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

1 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.1 1 [1.2

 

 

.3 e − 5 [1.4 2 (e − 1) [1.5 3 [1.6 1 [1.7 π

 

 

.8 3 [1.9 10π 75

 

 

 

 

 

§2. „‚Ž‰•›… ˆ•’…ƒ•€‹›

 

 

«¥ Ž¯à饥¥¢¤¥®¡««¥-¨á⨥.

Ǒãáâ쮯।¥-«¥-¯«®áª®á⨨ï äã-ªæ¨¨OXY § ¤ -® ¢ë¡-®¥à¥¥á⢮¬ D 楫 ª®¬

®¡®§- 稬 ¯«®é ¤ì

 

 

 

f (x, y). • §®¡ì

Dâ®çªã-

á⨠Ti,

‘®áâ ¢¨¬ á㬬ã

i-®© ç á⨠µTi ¨ -

¤®© ç áâ¨

 

(xi, yi).

 

 

X

 

 

 

 

…᫨ ã í⮩ áã¬¬ë ¯à¨

S =

f (xi, yi) µTi.

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

ªæ¨¨-0 áãé®â ¢ë¡®à¥áâ¢ã¥ââ®ç-¥¥ª,ç-â®ë©íâ¯à⥤¯à¥«,¥¤¥ª®â®àë©« - §ë-

¢-¥¥§âáá¨â¤¢®©--¨ë¬®â¨á¯®á®¡-â¥£à «®¬maxà §¡¨(®âµT¥äã-i)¨ï,-

 

 

 

 

2.21..11.. ‚ëç¨á«•¥®¡å®¤¨¬ë¥-¨¥ ¤¢®©â¥ ¥®à-ëå¥ ZDZ f

 

f ¯® ¬-® ¥áâ¢ã D ¨ ®¡®§- ç ¥âáï

x, y

dx dy.

 

 

 

 

â¨ç-᪨â¥(£à¥ á¢)«®¢¥¤¥á¢-¨ï.¥¤¥-¨¥¬ ¨å ª ¯®¢â®à-ë¬

¥¥ ¬®•ã¤-¥¬¯à-¥¤áâ§ë¢ ¢¨âì1¢),®¡«

 

--¥à

D

 

 

¢¨¤áâì¥

¥£¢à¨à®¢¥-áâ¢:-¨ï

 

®¡« áâìî ¯¥à¢®£® ⨯ , ¥á«¨

(ᬠà¨áã-ª¨ 1 , 1¡,

£

D = {a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}

à¨á. 1

ϕ(x) ¨à¨áψ(x.)1¡{-¥¯à¥àë¢-ë¥ äã-ªæ¨¨à¨á. . 1¢

-®¬ã:…᫨ äã-ªæ¨ï f (x, y) -¥¯à¥àë¢- - D, â® ¤¢®©-®© ¨-â¥£à « ¢¥- ¯®¢â®à-

f (x, y)dxdy =

Z

b à ψ(x)f (x, y)dy!dx =

Z

b dx

ψ(x)f (x, y)dy.

Z Z

Z

 

 

Z

 

D

a

ϕ

x

 

a

ϕ

x

 

 

 

(

 

)

 

 

(

 

)

¥¥ ¬® -® ¯à¥¤áâ ¢¨âì2¢), ¢¨¤¥ -¥à ¢¥-áâ¢:

D

(á¬. à¨áã-ª¨ 2 , 2¡,

£

 

D = {c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}

à¨á. 2

 

ϕ(y) ¨ à¨áψ(y.)2¡{ -¥¯à¥àë¢-ë¥ äã-ªæ¨¨à¨á. . 2¢

-®¬ã…᫨-âä㥣-àªæ¨ï«ã: f (x, y) -¥¯à¥àë¢- - D, â® ¤¢®©-®© ¨-â¥£à « ¢¥- ¯®¢â®à-

 

 

d ψ(y)

 

d ψ(y)

 

 

 

⨯

 

- §ë¢( îâáï) í«¥=¬¥-â à-묨(®¡«) áâﬨ ¨-â¥

£Ž¡«à¨à®¢áâ¨-¯¨ï.¥à¢®f x,® ¨y)¢â®à®dxdy =£®

 

Ã

(

 

f x, y dx!dy

dy

 

f x, y dx.

 

Z Z

 

Z

 

 

)

 

Z

( )

 

 

 

Z

 

 

 

Z

 

 

D

 

c

ϕ y

 

 

c

ϕ y

 

 

áã-®ª…᫨3), ®¡« áâì D -¥ ï¥âáï ®¡« áâìî ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ⨯

(á¬. à¨-

 

 

 

 

 

 

à¨á. 3

 

 

 

 

 

â® á«¥¤ã¥â à §¡¨âì ®¡« áâì D ¯àï¬ë¬¨ x = constáâ¨(¨«¨) y = const -

®¡« áâ¨

D’®1£, D2, D3..., ª ¤ ï ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¢¨¤ ®¡«

¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ⨯ .

Z Z

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

f (x, y)dxdy = i=1 Z Z

f (x, y)dxdy.

 

 

D

 

 

 

 

 

X Di

 

 

 

 

 

¬ã«¥Ǒ«®é ¤ì ®¡« á⨠D, à ᯮ«® ¥--®© ¢ ¯«®áª®á⨠Oxy, - 室¨âáï ¯® ä®à-

Z Z

S = dxdy.

D

2

ˆ§®¡à §

£ªà ªä¨ç®¬ã¥áª¨¨§®¡«âà¥åáâ좨¤

-

- ¡«. áâì - ¥£à¨à®¢ -¨ï.

31).

…᫨ ®¡« áâì -

-¨ï

á¨âáï ª

⨯ã, ®:

 

稢--¥â¬¨ï¥§£ ¯¨áŽ¯à(í⮨஢¥¤--¥¨«¨âì,£¨ïà--(í⮨©¨æë¯à¢â¨§¬¥¤£¥åà¨à®¢«-¥¨©- -â¯à¨ï¥£¥à¨à®¢x¤:¥«®â-áâ-¨ï),¬®©¥£à¨à®¢«¤®®á¨âᥠ®©¯¥¬®©à¢®¬ã¨ï)â 窨. ¯à’ ®¡«ª¨¬¢®© áâ¨â®çª¨®¡à §®¬-⮡«¥£à¨à®¯®«ãáâ¨

 

 

§ a ≤ xâì£bà. -¨æë ¨§¬¥- -¨ï

 

 

 

- © £à -¨æë ®¡« áâ¨

 

 

y. „«ï íâ® -ã - § ¯¨á âì ãà ¢-¥-¨¥ -¨

¥ å

 

 

D

 

 

£® y: y = ϕ(x). €- «®£¨ç-® ¤«ï

஢

¥© £à -¨æë

 

¢ëà §¨âì ¨§

 

 

 

¯®

y = ψ(x). ϕ(x) ψ(x) { -¨ -¨© ¨ ¢¥àå- © ¯à¥¤¥«ë

 

-…§á«¨¯¨á®¡«ìy áâì£à®®â¢-¨¨æë-¥ââá⢥£¨§¬¥--¥-.-¨ï ®â-®á¨âá⥨ï),ª£à¨à®¢¢â®à®¬ãâ®çª¨¯ã, â®:

 

 

 

 

 

 

 

-à¨à®¢¨ï (íâ®--¨ï¨ (íâ®-¨© ¯¢¥à¥â夥-¥£«¨©à¨à®¢¯à⥥£¤à¨à®¢¥: «®â - -¬®© -¤®¨ á-¥¨ï)© ©. ¢’¥à媨¬-®¡«¥© ®¡àâ®çª¨á⨧®¬®¡«-⯮¥£áâ¨ãà¨

£¨ç-¥â¬¥£

 

 

 

 

y

 

 

 

 

- § c¯¨á≤ y âì≤ d£.à -¨æë

§¬¥-

¨ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

¢®©

-¨æë ®¡« áâ¨â¥£à¨à-

 

x-.¨ï„«ï¢ëàí⮣§¨âì® -ã ¨§- -¥§£®¯¨á âì ãà ¢-¯à-¥¨¤¥¥«ë

-

¤«ï ¯à ¢®© £à -¨æë

 

 

x: x = ϕ(y). €- ®-

 

 

 

 

 

бв¨бв¢-б¡«¥¥-ª,--=¨п¨пбвмзв®¡л. «(ббв¤¢®©-¨¥з)-.¥п¢«пва¢¨вмª¥¥-(£§леа¨а®¢)¥¯®¢в®а¤¯авб¨ï¥-(¤¨§í«â-¥)¥-«ë¥¨ïç{£¬à¥©-áâ-¨¯àï¬ë¬¨,¨(¨«¨«®¢-¥â©¥-£-¡ë«¨©.à¨à®¢®©,á㬬ãâ®:¢¯¥¥àåà¢-¯®¢â®à¨ï-¨©««£.® ¥¨«¨«ì-ëå)-묨¢â®-

2¢ëç¨á«¨âìà®®áï¬-.1£4)-….3®á«¨-.⨯.ª‡Ǒਬ®à¤¨¡å®¡«¯¨á.¤¨¬®„«ï¥-£-áâ쮥¨ï.,ª¤¢®©¨á®®â¢àë-à-¢ëç¨á«§¡¨â줮©-¥

x

ψ y ϕ y

ψ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒਬ¥à 2.1.1. ‚ëç¨á«¨âìä¨ç¥-᪨⥣஡«ZDZ

xydxdy⥣à¨à®¢,¤¥ D: y = x + 3, y = 0,

x•¥=è¥-2,¨¥x. 1)=. .ˆ§®¡à §¨¬ £à

áâì ¨-

-¨ï (à¨á. 4).

à¨á. 4

¨ â3)¥£.à¨à®¢‘- ç -«¨ï)§(ᯨá뢬®¥ «¥¥¢®¬¥¯à§-¥¤ç¥¥«ë-¨¥)-⥣à ஢ - ï ¯® x. •¨ -¨©

¤¥«

§- ç¥- ¥)

x = 2. ‚¥àå-¨© ¯à¥¤¥« (á ¬®¥ ¯à ¢®¥

-¨ -¥© x-=¨æë2. ’¨-¥¯â àì£à¨à®¢ááâ-¨ï¢¨¬ ¯à¥¤¥«ë ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¯® y. “à ¢- ¨ï)-

“à

-¨¥ ¢ àå-¥© £à - æë ¨-⥣yà¨à®¢= 0 (íâ®-¨ï-¨ -¨© ¯à¥¤¥« ¨-⥣à¨à®¢ - .

4)

‡ ¯¨è¥¬ ¤¢®©.-®©

-â¥£à « ç¥à¥§ ¯®¢â®ày-ë©= x¯®+ä®à¬ã«3 (íâ® ¢¥¥àå

 

¥

 

¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¥f£®:(x, y)dxdy =

Z

b à ψ(x)f (x, y)dy!dx =

b dx

ψ x)f (x, y)dy

 

 

 

 

Z Z

2

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

D

x+3

 

a ϕ x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2ϕ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(

)

 

 

 

 

 

Z Z

xydxdy = Z2=dx21 Z2 xydy = Z2

xµ y2

 

x+3

 

 

 

Z2

x((x + 3)2 0)dx =

¶¯y=0dx = 2

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

 

2

 

¯

 

 

 

x44

 

1

 

 

3 + 9x22

2

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

¯

 

1

 

+ 6x3

 

 

 

 

 

 

 

 

ë Z2

x

 

 

6¨x-â¥+£à9x«)dx 2

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯x=

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒਬ¥à 2.1.2.

ç¨á«¨âì(+

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

= 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

á ¢¥à

¬¨ ¢ â®çª å

 

 

 

 

 

ZDZ

3xy + yâ¥dxdy£à¨à®¢, ¤¥ D { âà¥ã£®«ì-¨ª

 

è -¨¥. 1). ˆ§®¡à A§¨¬(,à0)ä¨ç, B(0¥,᪨1), C®¡«(1, 0)áâì. ¨-

 

 

 

 

 

-¨ï (à¨á. 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à . 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž¡« áâì

-

 

 

 

 

 

 

 

¢â®à®¬ã ⨯ã.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¨ï ®â-®á¨âáï ª

 

 

 

 

 

 

¢¥àå32). ¥¥‡§-¯¨è祥-¬¨¥¯à⥥£¤à¨à®¢â¥«ë¥£¨§à¨à®¢-¥-¨ï y. ‘ ¬®¥ -¨ -¥¥ §- ç¥-¨¥ y = 0, á ¬®¥

 

y = 1, ª¨¬ ®¡à §®¬ 0 ≤ y ≤ 1. ‡ ¯¨è¥¬ ¯à¥¤ «ë ¨§¬¥-¥

1.

-¨¢--¨©- ¯à« ¢®© - -¨æë:

 

=-¨ï+¯®1, ¢ëà §¨¬ ¨§ ãà ¢- -¨ï

 

:

 

=

y −

x•â®. “à

 

y

x

 

x

 

x

 

 

£à -¨æë:

 

 

x. ’¥¯¥àì

¬ ãà ¢â-¥£-à¨à®¢¨¥ ¯à ¢®©

¯®

y = 1−x, ¢ëà §¨¬ x : x = 1−y. •â® ¢¥àå-¨© ¯à ¤¥« -

 

 

 

-¨ï

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

2

 

¯

1

 

 

 

 

¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¥f£®:(x, y)dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d dy

 

 

 

 

 

 

 

dà ψ(y)f (x, y)dx!dy =

ψ(y)f (x, y)dx

 

 

 

 

Z Z

 

 

 

 

1

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

01

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

c

ϕ y

 

 

 

 

 

c ϕ y

44 + 3

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

22 +

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1y

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1−y

 

 

 

 

Z Z

 

xy + y dxdy = Z

 

dy Z1

3xy + y dx

 

 

Z µ

y

 

 

y x¶¯x=y

1dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

= 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥. 1). ˆ§®¡ày = x

 

¬x2£à+ y2 = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¡««¥ áâìé ï¨-¢â¥¢£¥à¨à®¢å-¥© ¯-®¨ï«ã(á¬.¯«®áªà¨á®áâ¨.6). .

0

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Z

 

y(1 2y + y2 − y2 + 2y − 1) + y2

(1 − y − y + 1)=dy2 = 2 Z −y3 + y2dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µy

 

 

 

3

¯0=

 

 

Ǒਬ¥à 2.1.3. ‚ëç¨á«¨âì ä¨ç-⥥£áª¨à «

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZDZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

ç¥-- ï ªà¨¢ë¬¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xydxdy, £¤¥ D {

¡« áâì, ®£à -¨-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à¨á. 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•â

 

 

áâì

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¨ï { ®¡« áâì ¯ ࢮ£® ⨯ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¨è£à â¥-¥¬¨ç¨¢£à¨à®¢-îé¨å¨æ먧¬®¡«¥-áâì¥-¨ï¨-â.¥„«ï£à¨à®¢íâ®-£®¨ï:- ©¤¥¬ â®çª¨ ¯¥à¥-

á¥ç32)¥-.¨ï‘-ªà¨¢ëå,管« § ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª®áâ¨,’ª ⮪â®çª¨-¯®¬

 

y = x2,

 

,

 

 

y2 + y

 

 

 

 

y

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

½ x

2

y

2

 

 

2 = 0

½ y

 

− .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=¢ 2¢¥àå-¥© ¯®«ã¯«®á

 

 

 

 

 

 

 

¯®¤åãá«®¢¨î¤¨â+

®¡«ª®à= 2áâì¥- ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï «¥ ¨â

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«ã稫¨

 

 

 

¯¥à¥á¥ç¥-¨ï:

 

 

 

y = 1.

’®£¤ x = ±1.

 

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, -

x : 1 ≤ x ≤ 1.

 

 

 

 

 

A(−1, 1), B(1, 1), â.¥. ¯à¥¤¥«ë ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¯®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

¨ç¨¢ î騩 ®¡« áâì ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï á y¨§ã:

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

¯

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

x6

 

¨-⥣à¨à®¢ -¨ï. “à ¢-¥-¨¥ ª ¨¢®© ¢ àå-¥© ⥣y-à =æë:x2.

 

•â® -¨ -¨© ¯à¥¤¥«

-¥£®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

= 2, ¢ëà §¨¬ ¨§

4). ‡: ¯¨è= ¥¬2

¤¢®©2-. ®©•â®¨-¢â¥¥àå£à-¨©« 篥।§¥¯®¢â®à« - -멨஢¨ ¢ëç¨á«¨¬-¨ï ¯® . ¥£®:

y y

− x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

x

2

 

 

 

 

x(2−x2 −x4)dx =

2xydxdy =

1

dx

 

2xydxdy= 1

=

1

2

¯y

 

 

dx =

1

2

2x · y

 

 

x2

 

Z Z

 

Z

 

 

Z

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

•¥è¥-¨¥. 1). ˆ§®¡àx§¨¬+ y®¡«= 4áâì¨ ¨-⥣à¨à®¢îé-¨ïïáï£à¢ «ä¨ç¥¢®©¥áª¨¯®«ã¯«®áª(á¬. à¨á®áâ¨.7).

D

 

x

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1

¯

µx −

¶¯x=−1

 

 

Ǒਬ¥à

 

 

x − x − x dx

 

 

.

 

2.1.4. ‚ëç¨á«¨âì ¨2-⥣ᯮ«à

 

=

 

 

¯

= 0

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

®£à -¨ç¥-- ï ªà¨¢ ©

 

 

ZDZ (x − yx)dxdy, £¤¥ D { ®¡« áâì,

à¨á. 7 •â ®¡« áâì ï¥âáï ®¡« áâìî ¢â®à®£® ⨯ .

£à¨à®¢32). ‡-¯¨è¨ï,¯à£¥¥¬¤¥£«ëà -¨æë ¨§¬¢¥-¥à-¨ï y: ®â á ¬®© -¨ -¥© â®çª¨ ®¡« á⨠¨-â¥-

¢¥àå-¥© â®çª¨, £ y =

-¨ -¨©¯à¥¤¥« ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï) ¯® y), ¤® á §®¬©

2•©¤y ≤¥¬2.

 

y = 2 (íâ®

å-

 

¨-

-

. ’ ª¨¬ ®¡à

 

 

¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¯®

 

 

 

 

 

 

 

«¥¢®© £à -¨æë. “à ¢ -¨¥ ®ªàã -®áâ¨:x, ¤«ï í⮣® á- ç «

- ©¤¥¬

 

¥

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 = 4, ¢ëà ¥¬ ¨§ ãà ¢-¥-¨ï

 

¢¥àå- p

4

 

 

 

 

 

p

4

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

x : -x¨= ±

− y2. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ãà ¢-¥-¨¥ «¥¢ © £à -¨æë: x = −

− y2

íâ®

¨© ¯à¥¤¥« ¨-

-¨ï ¯®

 

“à

- -¨¥ ¯à ¢®© £à -¨æë:

 

= 0,

 

 

 

 

 

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

¯2

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y33 + y4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

 

Z

Z

 

 

 

 

 

42y2

 

 

 

y

 

 

 

 

Z µ

x22 − y x2

¶¯x

 

 

 

 

2 dy =

=(x21 2yx)dxdy =

2 dy

4

 

y2

(x − yx)dx =

2

 

 

0

=

 

 

4

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z2

(0 − (4 − y )) − y(0 − (4 −=y21))dy = 2

 

Z2

(−4 − 4y + y

+ y )dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ− y −

 

 

 

 

 

 

 

¶¯y=

 

2= 3

Ǒਬ¥à 2.1.5. ‚ëç¨á«¨âìä¨ç-⥥᪨£à

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

®£à -¨ç¥-- ï ªà¨¢ë¬¨

 

 

 

 

ZDZ (8x + 10y)dxdy, £¤¥ D { ®¡« áâì,

•¥è¥-¨¥. 1). ˆ§®¡à

§¨¬y = £xà , y = 2x +®¡«3, y áâì=6¨−-x⥣à¨à®¢á®¤¥à -¨â¨ïâ®çªã(á¬.à¨áA(0.,8)1)..

à¨á. 8

®â®çª¤¨¬®¡«ªà¨¢®©®¡«áâì-áâì(§¡¨â줥¬-(¯âª®®à¤¨¥¥)¥£à-à¨à®¢¥á¥ï¢«ï-ç-¥¥áª®«ìªâë-¥¨ï:âáïâ®çâ®çª¡«®¡«¥ª(¯áâìî¥à‚(©¥á¥-.¨ç¥¯-¥¨ïࢮ¢á£®,¥å-¨ªà¨¢ëå,¢â®à®£® ⨯®£à -.

-•¨ç¨¢32)¬ .-•â¥îé¨å‘®¡-

OBCD 2

 

‘(1, 5)

−1, 1) (¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ ¯àאַ©

y 2x + 3

y = x

), â®çª

-¨¥ ¯àï¬ëå y = 2x + 3 ¨

y = 6−x),

D(2, 4)

-¨¥¯à®ï¬®© y = 6−x ªà¨¢®© y = x2), â®çª

O(0Ǒ஢, 0). ¥¤¥¬ ¢¥à⨪ «ì-ãî ¯àï¬ãî,

å ¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã

 

-¥-¨¥

 

 

 

2

 

C(1, 5). …¥ ãà ¢-

¯® ãç x = ¤¢1. ¥Ǒãáâ쮡«áâ¨:íâ ¯àï¬ ï ¯¥à¥á¥ª ¥â ªà¨¢ãî y =®¢ëåx

â®çª¥ K. ’®£¤ ¬ë

ﬨ¥¬ ¯а¥а¢®¥¤¥«л£® в¨¯-в¥.£а¨а®¢( -1¨п)¨¤«п ª ( ¤®©2). ¨§Ž¡«- бв¨ ®¡«1 ¨бв¥2©.п¢«повбпŽ¡«бвм

®¡«•á⩤

BCK D

KCD D

 

D

D

D1 : 1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2x + 3, ®¡« áâì D2 :

1 ≤ x ≤ 2, x2

≤ y ≤ 6 − x.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.