Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пособие 6 по матану (2 курс)

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
386.75 Кб
Скачать

Ǒ•

….‚. ƒ ¤®è-¨ª®¢

 

—…

… ‡€•Ÿ’ˆŸ

ǑŽ Œ€€…ŒŠ’ˆ€’ˆ—‘Šˆ…ŠŽŒ“ €•€‹ˆ‡“

 

 

— ì 6

 

—€‘’•›… Ǒ•Žˆ‡‚Ž„•›…

“ ¥¡-®-¬¥ ®

®¥

 

¯® ª

"Œ ¥¤¨¬ ¥¨®«ìª¥ ª¨©¯® ®¡¨- «¨§"¥ (3 ¥¬¥ , ®- - ï ¡® ü6)

ˆ‡„€’…‹œ‘’‚Ž ‘€•€’Ž‚‘ŠŽ2011 ƒŽ “•ˆ‚…•‘ˆ’…’€

••“„Š 22517.161ï722.262(075.32)

 

 

 

 

 

 

 

ƒ

 

 

 

 

ƒ

ƒã¤®è-¨ª®¢ ….‚.

 

 

 

 

 

Ǒà ªâ¨ç¥áª¨¥ § -ïâ¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã - «¨§ã. — áâì 6: — áâ-

-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥: “祡.

¯®á®¡¨¥. { ‘ à ⮢: ˆ§¤{¢® ‘ à â. ã-{â , 2011.

{ 24

á.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

ªãàᮢ,¥¥«ì¤¥-¥¨ï«ì£à¨§ãç®-¯®àë姮¡à¥è¬îé¨å¥-â--¤¨ï¥¬çë.¨â¨ç¥¬â¯à¨¬Šà®¬¥â¥ªáâë¥áª¬¥¥

â¨çàëâ¬ã¥®à-Ǒ®á®¡¨Ǒ®á®¡¨â஫ì॥᪨©-¥â¨ç諨§ã¥-¥-¨ï᪥¥ISBNëå-¯àᮤ®©¨§«¨§¥¥â¨¯®¢ë¤çà978¡®-.áç,§¨â.-ã¯à5-çªà¥91879¥¯®á®¡¨¨-¬âª¨¥-⮤뤫ï-¥125впбвг¤¥¯а¨¢®¤пвбпа-®à¤«ï7¥è¥¥â¨ç¥--⮢¨ï¬®áâ®ïâ¥áª¨¢ëç¨á«¨â1-¥2¯®¤à®¡á¢

 

 

 

 

 

•¥ª ¬¥-¤ãîâ ¯¥ç

 

 

 

 

 

ª 䥤à

⥠ਨ äã-ªæ¨©

¯à ¡«¨ ¥-¨©

 

 

 

 

‘ à ⮢᪮£® £®áã-¨¢¥àáâ¨:â¥â

“„Š 517.262(075.3 )

 

ISBN 978-5-91879-125-7

 

 

••Š 22.161ï722

 

 

 

 

—€‘’•›”“•Š… Ǒ•Žˆ‡‚Ž„•›–ˆˆ Œ•Žƒˆ•… ˆǑ…„ˆ””•…Œ……••›•… –ˆ€‹›

— áâ-ë¥

 

¤-ë¥ ¯¥à¢®£® ¯®à

 

.

 

 

¢¨á¨¬®©- -äã¨å-ªæ¨ï¬®¯¥à¥¥¬â¥=¨§¬--®©(¥-;ïâìá). ï,’ 浪¤àãª

£ ï¨ á®åà- -¥§-ïâ좨ᨬë᢮¥¥§¯-¥à祥¬-¥¨--¥.

„ëǑãáâ쥤¨¬, â®--®¤¥§-¯à®¨§¢®¤

z

f x y

 

 

 

x y

 

- §¬¥ ë¬. ’®£¤

 

 

x ¯à¨à é¥-¨¥ x, á®åà -ïï §- ç¥-¨¥ y

¯à¨à é¥-¨¥¬

 

z ¯®«ãç¨â ¯à¨à é¥-¨¥, ª®â®à®¥ - §ë¢ ¥âáï ç áâ-ë¬

z

¯®

 

 

¥âá xz

. ˆâ ª,

 

 

x ¨ ®¡®§-

 

 

 

 

 

Ǒ®«-®¥ ¯à¨à é¥-¨¥ y z = f (x; y + y) − f (x; y).

, â®

€- «®£¨ç-® ¯®«ãç ¥¬xçz =áâ-f®(x¥ +¯à¨àx;éy)¥−-¨f¥(x; y).

®-

 

 

 

 

 

 

 

 

z ¯® y:

 

 

 

 

z äã-ªæ¨¨ z ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥-á⢮¬

 

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1. …᫨z =áãéf (x¥áâ¢ã+ x¥;ây +¯à¥¤y¥)«− flim(x; y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x+ x;y)−f (x;y)

 

- §ë¢ ¥âáï ç áâ-®© ¯à®¨§¢®¤-®© (¯¥à¢®£® ¯®à浪 ) äã-ªæx ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

â®çª¥ Œ(

 

 

 

 

 

 

 

 

z = f (x; y) ¢

x; y) ¯® ¯¥à¥¬¥--®© x ¨ ®¡®§- ç ¥âáï ®¤-¨¬ ¨§ ᨬ¢®«®¢:

 

 

 

∂z

 

 

∂f

 

€-®©- «®£¨ç-®¡à®¯à¥¤¥«ï¥ ᮯàz¨¥®¡®§,¤¥«ï-¥âç,á ¥âáïf

,ç áâ- .ï ¯à®¨§¢®¤- ï ¯® ¯¥à¥¬¥--

 

 

 

x

∂x

x

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ле¡®«ми’¯ª¨¬.¥а¥¬) ¥¯--¥ал姮¬,.¥¬¥--¯а¨Ǒзленбвгб«®- г¢лз¨б«¨¨¯а®¨§¢®¤бв¯®бв®л¥¥¨п¯а®¨§¢®¤--ªбв¢пªдг¯а®¨§¢®¤--ªж¨¨-лз¥-дг¨©--¥-бªп®бвªж¨¨®«мª¨едг-ªж¨¨-ле(¤¢ге,®¥§-®©¢¨б¨ва¥е§

íâ¨åy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥âá⢥-- -

 

 

 

 

 

-®©- 寥¤ïâà¥

 

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤-ëå äã-ªæ¨¨( ®; )

 

 

 

 

®®â¢¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥à

í⮬¨¯à ᢨ«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®à¬ã«(¯à¨©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒਬ--ä

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x y

 

¯®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ©).

1.

• ©â¨ ç

-ë¥ ¯à®¨§¢®¤x ¨«¨-ë¥yäãáç¨â-ªæ¨¨¥âáï ¯®áâ®ï--®© ¢¥«¨ç¨-

•¥è¥-¨¥:

 

 

y + ex22 + 1)

 

 

 

z = 2y + ¥x2−y + 1.

 

 

 

z

 

 

y)

ex −y )

 

 

 

 

=x0+=(2

 

 

 

2

x = (2

 

x + (

x + (1)x =

 

 

 

 

 

x2−y

· (x

 

 

x2−y

 

x2

−y ;

 

 

 

 

e

 

 

− y x + 0 = e

 

· (2x − 0) = 2x · e

 

 

 

 

 

 

 

 

zy

= 2 + ex2

−y · (1).

 

 

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2. — áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

∂f (x;y) ¨ ∂f (x;y)

¬® ® «áᥤãî騬âਢ âì ª ª äã-ªæ¨¨ ®â ¯¥à¥¬¥ -ëå

 

 

 

∂x

 

∂y

ç¢ б¢®оовбпбв-л¬¨®зб¥а¯а®¨§¢®¤¥¤м ¬®£гв-®¡ал¬¨¨¬§®¬:¥вм¢в®а®з бв£® -¯®ап¤ªл¥ ¯а®¨§¢®¤. Ž--¨л®¯а¥, ª®в®ал¥x¤¥¨«повбпy. ¥•â¨- §ë¢¨ä㮡®§-îâáïªæ¨¨- -

 

 

∂x µ ∂x

=

∂x2 = zxx = fx2 (x; y);

 

 

 

 

 

 

 

∂z

 

2z

 

 

′′

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

∂z

 

 

 

∂ z

 

 

′′

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zxy

fxy x y

 

 

 

∂x

∂y

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

 

 

∂y µ

∂x

 

 

 

∂x∂y = zyx = fyx(x; y);

 

 

 

 

∂z

=

 

∂ z

 

 

′′

 

′′

 

 

 

 

Ǒав.®¢л¤§«¨з—€. -¯®абв¨«®--п¤ªл¬п¢«повбп,£¨з®¢

 

∂y µ ∂y

=

∂y2

3

 

zyy = fy2

x y .

 

 

 

 

 

 

∂z

 

2z

 

 

′′

 

′′

 

 

 

 

 

¯-¥à®¨§¢®.®¯à६¥--¥¤ë¥-¯а¨«¬,повбп¬-¢â®à®¥§ë¢çà, £®á¥ââᨫ-ïë¨á¬¥=¯à®¨§¢®¤¡®«¥è¥¥--¢ë᮪®®©-ç(ë¥;áâ£)®à-¥®©¯®à浪â쥯ந§¢®¤£®, ç¥, ⢢§ïâ¥-àâ®®©.ï’¯®£® ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

z

 

′′′

 

 

 

 

 

ªæ¨ ¬¥à 2. • ©â¨ ᬥè --ë¥zç ,áâ

-ë¥

¯à®¨§¢®¤, z .

-ë¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 äã--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

∂x∂y2

 

xyz

 

 

 

 

 

•¥è¥z-=¨¥x:4’ª2xª2yª3 +

y5 + 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zx = 4x3 4xy3 ¨ zy = 6x y2 + 5y4,

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

3

4xy

3)′

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

zxy = (4x

2

 

y = 12xy

;

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

y

2

+ 5y

4)

 

 

 

2

.

 

Žª § «®áì, çâ®

 

zyz = (6x

 

x =

12xy

 

’॥¬®à:¥¬

 

′′

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (˜¢ zàæ).

zǑà¥. ¤¯®«®•â®â २¬,§ã«ìçâ®-1)¥ á«ãç ¥-. ˆ¬¥¥â ¬¥á⮠⥮

 

 

xy = yx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x; y) ®¯à¥¤¥«¥-

¢ ®¡«

D, ¢â®àë2) í⮩¥

®¡« á⨠áãé¥áâ¢ãîâ ¯¥à¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ f

f

ª ¥

ᬥè --ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥

 

 

 

 

x íâ¨y ,

á«¥¤-¨¥ ¯à®¨§¢ ¤-ë¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

′′

f ′′

 

 

¯®-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy ¨ yx, ¨, - ª® ¥æ, 3)

â®çª¥ (

 

 

fxy′′

 

 

fyx′′

, ª ª äã-ªæ¨¨ x ¨ y, -¥¯à¥àë¢-ë ¢ -¥ª®â®à®©

x0, y0) ®¡« á⨠D. ’®£¤

 

 

í⮩ â®çª¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ′′

x0; y0) = f

′′

x0; y0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yx(

 

 

 

 

 

 

®ªàŽ¯à¥á⥤-¥®á⨫¥-¨¥â®çª¨3. Ǒãáâì äã-ªæ¨ï z

= f (x; y) ®¯à ¤¥«¥-

 

¢ -¥ª®â®à®©

 

 

 

 

M (x; y). …᫨ ¯®«-®¥ ¯à¨à é¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ z =

f (x + x; y + y) − f (x; y) ¬® -® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

 

£¤¥

 

 

z = A · x + B · y + α x + β y,

 

 

 

(1)

 

α α( x, y(1),0 ¤¨äβ = β( x, y) 0 ¯à¨ x → 0, y → 0, â®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

äã¬левбп-ªæ¨¢á¨¬¢®«®à¨,¢-¥--¢¨á¨¬ëå§ë¢á⢧뢥¥âáï¥âáï¯à®«¥¤áâ-ë¬ä¥¢«ïî館ääà¥-æ¨àã¥à¥ï¥-¬®©,æ¨á®¡®©«®¬£á㬬í⮩« ¢-ãîäã¯ç¥-à¢ëåªæ¨¨áâ줢ãå¯à¨à®¡®§á«é-¥£-ç¨ï¥

¥

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„«ï -¥§

¯¥à¥¬dz¥--=¯ëå¥A෥寨áx B¯®«· y£. îâ å =

 

 

 

(2)

Ǒ®í⮬ã à ¢¥-á⢮ (2) ¬® -®

 

âì ¢ ¢¨¤¥:

 

dx ¨ ã = dy.

ªæ¨ï’¥®à¥¬

 

2 (-áã饮¡å¥á⢮¢¤¨¬®¥æ¨àãá«®¢¨dz¥= Adx¥ ¤¨ää+ Bdy¥à¥-æ¨à㥬®áâ¨). …᫨ äã(3)--

í⮩ zâ®çª= f¥(,x;¨¬y)¥¤¨ää¥â ¥à¥¥©- ç áâ¬-륢¯à®¨§¢®¤â®çª¥ Œ(-ëx¥; y), â® -

-¥¯à¥àë¢- ¢

z

 

 

 

 

 

zx

zy, ¯à¨ç¥¬ zx= €,

 

 

 

-®ª,¥-¨ïãâ¢-¥¯àç¥àá«¥à뢥-¤¤á⢨ëå¥-- ¯à®¨§¢®¤ï¥-äã⥢-®à¥ªæ¨ïà¥-¬ë-®, åâ.-¥.᫨§¥¤ã- ¯àâ ¤¨ää¥àë¢-¥®áâ¨à¥--

æ¨àãäãy Žâ¬=-ªæ¨¨¥‚¬®áâì.¥â¨¬,¨«¨äãç-ªæ¨¨®¡à. ’

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ëç¨á«à¥-æ¨àã¥-¨ï ¢¯®«

 

z

p

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

â®çª-®£®(0;0)¤¨ää. Š¥à¥ª-æ¨

:

¯®«ãç= 2¥¬+ä®à¬ã«ã2 -

¤«ï

 

 

 

 

∂z

∂z

 

 

 

 

 

 

ªæ¨ï’¥®à¥¬

 

3 (¤®áâ â®ç-®æ¨à㥠dzá«®¢¥= ¨¥dx¤¨ä+ ä¥dy.à¥-æ à㥬®áâ¨). …᫨ äã(4)--

 

 

 

 

∂x

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(å; ã) ¨¬¥¥â -¥¯à¥àë¢-ë¥ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥

 

 

 

z =âf¥®áï-¨-ä®à¬ã«®©¥ 4¤¨ää. „¨ää¥à¥(4)-¥à¥.-樬

¬í⮩ â 窥 ¨ ¥¥ ¯®«-ë©z¤¨ääz ¥à¢¥â®çª-æ¨ «¥

Ž¯à¢ëàŒ(å;¥ã),¤¥«

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

k-£® ¯®à浪 - §ë¢ ¥âáï ¢ëà ¥- ¥

k

 

k−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

йz ¥=-¨пеd(d 1z), £¤¥ ¢б¥ ¤¨дд¥а¥-ж¨ «л ¡¥агвбп ¯а¨ ®¤-¨е ¨ в¥е ¥ ¯а¨-

x ¨ y.

äã-ªæ¨¨ k

-ë¥ ¤® n ¯¥à¥¨¬¥--¥âëå z = f (x1, ... xn) áãé¥áâ¢ãî⮣®ç«áâ¥-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-

í⮩ äãk--ªæ¨¨£® ¯®à浪

¢ª«îç¨â¢¨¤:

 

 

 

¥«ì-®, â® ¤¨ää¥à¥-æ¨

 

k-

¯®à浪 ¤«ï

᪮¡ª®«ãç•â®¥å,--¢ëàä®à¬ë¥ ç«¥-«ì-¨ë¯®á«¥-d"ã¬á«z

µ ∂x1 dx

 

 

...

 

 

 

 

∂xn dxn

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k¢®§¢®¤¥¥¤ã-=í⮥⣨âᯮîâá® -館ï"¢1áâ-+쥯¥+-ì:

¯®á-

¯àç ¢¨«¬-¬

 

«£¥¡àë,- áâ®ï騩§â¥¬ ¢á¥

®¨§¢®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (ª®â®à¤¨ä䤮¯¨á뢥ॠ¥âáï ¢ ç¨á«¨â¥«¨

¯à• ¯à¨¬),¤-ëå⮫쪮¨¤«ï¤¨¥à,

ää-¥ªæ¨¨à¥-樤¢ãå«®¢¥¬.¯¥á¨¬¢®«à¥¬¥--ë嬢®§¢à é ¥-âáïæ¨ ¨å«ë§¡ã¤ãâ- ç¥-¨¨¬¥ ª¥âìª

¢¨¤:k

3

 

 

 

d2z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

∂2z

dx + 2

 

∂2z

 

dxdy +

2z

dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

3z 3

 

 

 

 

3z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

∂3z

 

2

 

3z

⮬¤¨ä䢨¤¥¥àdâ¥-zª®¢:æ¨=

« 3-

£dx® ¯®à浪+ 3

¤«ïdxäãdy-ªæ¨¨+ 3

 

 

âà¥ådxdy¯¥à¥¬+¥--ëådy¢ ,à §¢¥à-ã-

d3u =

 

 

 

 

∂x3

 

 

 

 

 

 

∂x2∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x∂y2

dx2dy

 

∂y3

 

 

∂3u

dx3+

3u

dy3 + +

3u

dz3 + 3

 

∂3u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x3

 

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

∂z3

 

 

 

 

 

 

 

∂x2∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ u

dxdy2

 

 

 

∂3u

 

dx2dz + 3

 

∂3u

dxdz2

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3

∂x∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x∂z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

∂x2∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ u

 

 

 

 

 

 

 

∂3u

 

 

 

2

 

 

 

∂3u

 

Ǒਬ¥à 3. • ©â¨ ¤¨ä䥥à॥-dxæ¨dy« 2+-£3® ¯®à浪dydzäã+-ªæ¨¨3

dxdydz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2∂z

 

 

 

 

 

 

∂y∂z2

 

 

 

∂x∂y∂z

•¥è¥-¨¥: ‚â®à®©

 

 

 

 

 

 

-

 

« äã-ªæ¨¨

 

 

 

 

 

 

f (x; y) = exy .

ä®à¬ã«¥

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ¬® ¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥- ¯®

 

 

 

 

 

 

 

2f

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2f 2

 

 

 

∂2f

 

 

 

‚ëç¨á«¨¬ d¯¥fà¢ë(xy,) =§

⥬(x¢â®àë; y)dx¥ +ç áâ-ëdy¥ ¯à®¨+ 2 §¢®¤-(ëxy: )dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂f

= yexy ,

 

∂f

= xexy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

∂y

 

 

 

 

 

 

 

2f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2f

 

 

2

xy

 

 

 

 

∂2f

 

 

xy

 

xy ;

’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç2 xy¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y e ,

 

 

 

 

 

= x

 

 

e ,

 

 

 

 

 

 

 

= e

+ xye

 

 

 

∂x2

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

d2f (x; y) = y2exy dx2

+ x2exy dy2 + (exy + xyexy )dxdy.

• ©â¨ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢ ®â á«¥¤ãîé¨å

äã-ªæ¨©:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) uŽâ¢=¥â:x4 + y4 4x2y2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

= 4x3 8xy2,

 

 

∂u

= 4y3 8x2y,

 

= 12x2 8y3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 16xy,

 

u =

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

∂y

∂x2

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

2u

= 12y2 8x3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = xy + x ;

 

 

 

 

 

1 , ∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 , 2u = 2x

 

 

Žâ¢¥â:

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , ∂2u = 0, ∂2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

;

 

 

 

 

= y + y

 

 

 

 

 

 

 

= x −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(3)

u =

∂x

∂y

y2

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

y2

∂y2

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 , ∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 , 2u = 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥â:y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

 

2x , 2u = 0, 2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

,

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xx y

 

∂y

y3

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂x∂y

y3

 

∂y2

 

 

y4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

∂u = y

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

, ∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

, 2u

 

 

 

 

3xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥â: x2 +

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

x + y23/

∂y

x2 + y 3/2

 

∂x2

x2 + y25/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

=

 

y 2x2 − y2)

,

2u

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x2 2y2)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

x2 + y25/2

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y25/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uŽâ¢=¥â:x sin(x + y);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= sin(x + y) + x os(x + y),

 

 

 

 

= x os(x + y),

 

 

 

= 2 os(x + y) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

äã•-(6)ªæ¨©:©â¨sin(¤¨ää+ ),¥à

¥-æ¨=«ëos(¯¥+ࢮ) £®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®

¯®à浪®¢= sin( ¤«ï+

).á«¥¤ãîé¨å

 

x

x

 

 

 

 

y

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

− x ¨sin(¢â®à®x + y),£ ∂y2

−x

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u =

 

os(x2)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥â:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

2x sin x2

 

 

 

 

 

os x

 

dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin x2 + 4x2 os x2

 

 

 

 

2x sin x2

 

 

 

 

 

 

 

2 os x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

d2u = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdy +

 

 

 

 

 

 

 

dy2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = tg

x2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥â: y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x se 2 x2

 

 

 

 

 

 

 

x se 2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y2

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2u = µ

2 se 2 x2 + 8x3 sin x2 se 3 x2

dx2 + 2

 

 

2x

 

 

 

2 x2

 

4x3

 

 

 

x2

 

 

3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

 

 

se

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

se

 

 

dxdy

y

 

 

 

y

 

 

y3

 

 

 

 

y

 

 

 

y

y2

 

y

y3

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

2x2

 

 

 

2 x2 + 4x4

 

 

x2

 

 

3 x2

dy2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

y

 

 

y4

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

u

xy

 

 

 

1

 

 

 

 

2y

 

 

 

1)xy−2dx2 +2xy−1(1+y ln x)dxdy +

(9)

 

 

du = yxy−1dx +xy ln xdy, d2u = y(y

 

xy ln2 xdy2(x > 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uŽâ¢=¥â:ln(x + y2);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

x + y2 dx +

x + y2

dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

d2u =

(

1

 

dx2

2

(

2y

 

dxdy + 2(x − y2) dy2.

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y )2

 

 

 

 

x + y2)2

 

 

 

 

 

 

u

ar tg

y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥â:

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

( xy

 

 

( x2 − y2

 

 

 

2

 

du =

 

 

 

dx +

 

dy, d2u =

dx2

 

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

x2 + y2

 

 

x2 + y2)2

 

x2 + y2)2

 

 

(

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•1)©â¨ ¤¨ää¥dyà¥2-. æ¨ « âà¥â쥣® ¯®à浪

®â á«¥¤ãîé¨å äã-ªæ¨©:

 

 

 

x2 + y2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux2y;

2

d u

dx2dy.

ux3 + y3 + 3xy(y − x);

3d u 6(dx3 + dy3 + 3dxdy(dy − dx)).

 

 

 

u

 

 

 

sin(x2 + y2);

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

(áâà®(0)

 

 

R¬¨.-¨¬ã¬’®çª(áâà®,x¥(0)᫨£®£®)áãéE -¥бв¢г§л¢¥¥ввбп в®зª®©п ªа¥бвбва®-®бвм£®£® ¬

 

 

£®£®

(14)

 

 

 

d3u = 8 os(x2 + y2)(xdx + ydy)3 12 sin(x2 + y2)(xdx + ydy).

 

(

 

 

 

 

x (0S)

 

x(0)) ∩ E, x 6= x(0) ¢ë¯®«-ï¥

áï -¥à ¢¥-á⢮ f (x) < f x(0))

 

 

 

 

=¥â:

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢

xyz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ž¯à¥•Š‘’•¤¥«¥-¨du¥…Œ“Œ1=.6dxdydzǑãáâ씓•Š. äã-ªæ¨ï–ˆˆ’¥¬Œ•Ž2. ƒˆ• Ǒ…•…Œ…••›•

 

f (…x᫨)> fxа ¢¥-.бв¢® -бвабва®¥ £®¥, в® (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ®¯à¥¤¥«¥- -ªá¨¬ã¬-® ¥á⢥ E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

 

 

¤«ï ¢á¥å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(

x

 

) â®çª¨

x

, çâ

 

 

 

 

 

 

 

∂f (x(0)) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n, â® ®-

- 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥®а¥¬¨(¬¨-1¨¬г¬. -¥. ®¡е’®зª¨нª®¯а¥¤¨¬®¤¥(бва®г¬¥ .¬г¬б«®¢¨£®£®) ¬ ¥ªб¨¬г¬-нª§л¢бв ¥вбп¬г¬¨ ¬¨¯а®бв®-)¨¬г¬. Ǒгбвмв®зª®©- §л¢дг¬-овбªжб¨п-

¬ã¬â®çª’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fǬ(

 

)-= ïf (x ,¥...âáï, xnâ®çª®©))

íªáâà«¥- ¥¢ -¥ª®â®à®©äã-ªæ¨¨®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨áãé

 

áâ¢ã. …¥â-

x

¥x

ª ª ï-«¨¡® ¨§ ¯à®¨§¢®¤-ëå

 

 

 

f ¨ ¥á«¨ ¢ -¥©

 

 

 

 

 

 

 

1,2,..,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂f

, £¤¥ j ¬® ¥â ¯à¨-¨¬

ì ®¤-

¨§ §- ç¥-¨©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xj

ª

(0), â®à®©¥¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨ « à ¢¥- -ã«îë¢ í⮩ â 窥: df (

 

(0)) = 0. ’®ç-

x

x

 

 

 

(0)

 

 

 

 

(0). Ǒãáâì x(0)

ï¥âáï ªà¨â¨ç¥áª®©

 

 

 

 

 

 

â®çª® äã-ªæ¨¨

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

(0)

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

¢äã’¥--®àx æ¨ï¥¬- f§ë¢2®¯à. ®ªà¥¥(¤®áâ¤âá便«áâ¥-ªà®áâ¨â®ç¨¬-çë¥â®çª¨¥¥áª®©¥âãá«®¢¨ï¥¯àâ®çª®©¥ -áâà®.ë¥ ¯à£ä®à¨§¢®¤£® íªáâà-ë¥ ¥¢â®à®¬ã¬£)®.¯®à浪Ǒãáâì

 

(0)

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f . ’®£¤ , ¥á«¨ ª¢ ¤à â¨ç- ï

 

¬

 

 

 

¥.®¯à. ¥¢â®à®©¤¥

 

( 1

äã-ªæ¨¨

∂2f (x )

 

 

 

 

 

¤¨ääA¥àdx¥-æ¨, ...«, dxn) =

∂xi∂xj

dxidxj ,

 

 

 

 

 

 

 

i,j=1

 

 

 

 

 

 

«ìâ®çª- ®¯à¥¤¥«¥--®© (®âà¨æ ⥫ì-® ®¯àf ¥¢¤¥â®çª«¥--¥®©)x ª¢, ¤à¢«ïâ¨ç¥âáï-®©¯®«®ä®à¬®©,¨-

â®зª®© «бва¥--®©,£®£п¢«п®в®¬ ¥ªб¨¬г¬в®зпв®зª®©бвавб );¥¬г¬¥б«¨ а®£¥®£ª¢® ¤а¨-в¨з¨¬г¬- п(б®®в¢д®а¬ ¥вбв¢п¢«п¥¥вбп--

-

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®âë᪥¬ -«ì¨ï íª¯à®¨§¢®- ç¥--¨ï¥âäãíªáâà. -„«ïªæ¨¨¥¬ã¬â®£®, .ç⮡ë - ©â¨ â®çª¨ íªá-

âà€«¥¬ã¬£®à¨â¬íªáâà

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¡«1.áâ¨,Ǒà¨à-ã¢--ïâì®: ç áâ-ë¥

 

 

 

¤-ë¥ -ã«î: u = f (x1, ..., xn) ¢ § ¤ --®©

 

 

 

 

∂u

= 0,

... ..........,

 

 

∂u

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤¢§ï«ï¨ -¥32â.©â¨ìªà¨â¨ç•„«ï⥩⨤,-¥ëå®â®àë©á⢨â

∂x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢á¥ ¨ªã©®¯à¥ ¢â®à륥«â®çªã¥-쥤-¥©¤ë¥«¨â쥯ந§¢®¥--àä㮩¥è--¥¤ªæ¨¨-ªà¨â¨çª¨¨ï--¤ ®©¢ëàë.í⮩‘ॠ®¡«(¢¥áª®©¥á¨áâ⮬¤¨¥áâ¨-¨©¢á¥â®çª¨ç¨á«.¬ë¥å .ªà¨â¨ç¥Šá¬- ©â¨¤®¥è¥áª¨å¥--§à¥ëèç¥â®ç¥)¥.--¨ï¨¥¥ª®¯à¢â®àëå-㥤-¥-

2u

¯à®¨§¢®2 =

∂x12

 

∂x1∂x2

 

¯

 

∂ u

 

 

 

∂ u

∂ u

¯

-(᪮©J4®«ìª¨. -â®=Ǒà®ï窨(Ž¡ï§ã-äã,¢á«¨¥J-ªæ¨¨â¨à®¢-¥«ìª¨-¯®!)"+",âìᯮ«ãç¥2६"⮥--íâ®ëå,¥2--â®çªë©á⮫쪮, à¥J¬¨

¯

 

u

 

 

 

∂ u

 

∂ u

¯ , ...

 

∂x12

 

 

∂x1∂x2

∂x1∂x

 

 

¯

u

 

∂ u

 

¯

 

 

 

¯

∂x

12

∂ u

 

∂ u

 

∂x ∂x2

 

 

∂x2

∂x2∂x3

 

∂x1∂x2

 

∂x2

 

¯

 

2u

 

 

 

2u

2u

¯

1

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

§ã«ìâ3 =-¨á®¯à¨¬ã¬â: ¥¥¤á«¨;¥¥«¨â᫨¤«ï§¥«¥©)ª¨-®©¥àªà¨â¨ç¥¤говбп,¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

 

3

 

2 3

 

 

32

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

∂x

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x ∂x

 

 

∂x ∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

-

 

 

 

 

 

 

 

", â®

 

ª

 

 

 

 

 

;

 

 

Jk

 

 

®¬®¤¨¥-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¥¢«ïïïå=ªà¨â¨ç«ì§0,,¢â®-¢ë८¡å¯¥áª

â®çª¬®éì5¤®¯®«.äã¢â®àëå‚ëç¨á«¨âì--¥ªæ¨¨-â¥ï«ìª®®à¤¨¥âáï-®íªáâà¥â®çª¨áá«--¥âëë宩¬¥¤®¢«ìâ®çíªáâà-¨ç-ë-¥¥¨ª¥£¥§íªáâà¬ã¬.-®¯à‚®ç¥¥¢á.¥-¤¬ã¬¨ï¥«å¥äã®áâ--. ®-£ªæ¨¨,«ì® -áªë姯®¤áâá«ãçâì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

樨•¥uè¢ëç¨á«ï=¥-2¨x¥2:„«ïxy¥¬ +¥-¥2çå®xzáâ¤-y¥ë-+¥¨ï¯à®¨§¢®¤y3â®ç+ z¥2ª. ¢®§¬®-륤¨¬¯à¨à-®£® íª¢-áâਢ¥¬ã¬¨å ¤ª -ã«î:-®© äã-ª-

¬ã¬•¥è ux íâã= 4á¨x − y¥¬ã+ 2âàz =¥å0ãà,

-ë=-¥¨©,¢â®à®- å£1®+ 3 ¤¢=¥ â®ç0

¨ ¢®§¬®= 2 +-2®£®=íªáâà0

¥

¢uy

 

−x −

 

y

 

,

uz

x

z .

 

 

áâ2-ë3¥ ¯à®¨§¢®¬áï13)¤®áâ-2â®ç(1-묨4 1ãá«®¢¨ï¬¨¯®à浪21 4). ¤íª--áâன¥¬ã¬äã-ªæ¨¨:.„«ï í⮣®

¢ëç¨á«¨¬„«¥M¥1¢®á¯®«ì§ã(1ç/3, / , − /

 

M

 

− / , −

/ ,

/

 

 

 

 

 

uxx

4,

 

 

uxy

 

uyx 1,

 

 

uxz

uzx = 2,

 

Ǒ®¤áâ ¢¨¬=¢6- ©¤¥--ë¥ ¢â®àë= ¥ ¯à®¨§¢®¤= 0 -ë¥ ª®®à¤¨-= âë2 â®çª¨

 

uyy

y,

 

 

uyz

 

uzy

,

 

 

uzz .

 

 

áâ ¢¨¬ ਠ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï (¯® ç¨á«ã ª®®à¤¨- â) ¨ ¢ëç ᫨¬ ¨å §- çM¥-1,¨ï:á®-

‘«¥J¤®¢1 = 4â¥>«ì0-,®, ¢J2â®çª= ¥

 

 

 

= 15 > 0,

J3 = ¯

21

04

20

¯ = 14 > 0.

 

 

¯

 

4

 

1

¯

 

 

 

¯

4

1

 

¯

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

äã-ªæ¨¨ ¢ â®çªâ¥¯¥¬¨àì-¨¬ã¬M1 äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â «®ª «ì-ë© ¬¨-¨¬ã¬. ‡- ç¥-¨¥

 

ˆáá«¥¤ã¥¬

 

 

â®çªã

u(1/3, 2/3, −1/3) = 13/27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2. „«

í⮩ â®ç ¨

 

 

¯à¨à

 

 

 

室¨¬ ux

− x

 

 

 

xy

 

=

uy

x

− y

 

21

 

= 14 < 0.

‘«J1¥¤®¢= 4 >⥫ì0, -®,J2¢=â®çª¥

1

 

 

13 < 0,

J3 = ¯

03

20 ¯

 

 

 

 

¯

4

¯

 

 

 

 

 

¯

4

−1

¯

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

Ǒਬ¥à 2. • ©â¨ â®çª¨M2«®ªäã-«ìªæ¨ï-®£®-íªáâॠ¨¬¥¥¥¬ã¬â «®ªäã«ì--ªæ¨¨®£® íªáâ६㬠.

 

ª•¥-uèã«î:=¥-3¨x¥2:y ‚ë− x3¨á«ï− y4¥.¬

áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ äã-ªæ¨¨

 

 

¢-¨¢á¨á⥬ã¨å

-

 

¤¢¥=â®çª¨3 2¢®§¬®+ 6 -=®£0,® íªáâà=¥¬ã¬3 2 : 4 3 = 0). •¥è ï íâã

,

 

ëç¨á«ï¥¬

áâ-ë¥

 

 

¤-ë¥ ¢â®à®£® M¯®à浪1(0,

¨¤ M--2(6®©, 3)äã.-ªæ¨¨:

 

uxx=â®çª6x + 6y, uxy

 

6x, uyy =

 

12y2.

 

 

 

 

 

 

 

 

¬ã â®çª

M1: uxx = 0, uxy = 0, uyy = 0, §- ç¨â J1 = 0 ¨ J2 = 0. Ǒ®íâ®-

§- ç¥-¨¥ äãM1-(0ªæ¨¨, 0) âॡã¥â ¤®¯ «-¨â¥«ì

¨áá«¥¤®¢ -¨ï. Ǒ஢¥¤¥¬

£ :

 

 

 

 

u ¢ í ®© â®çª

 

à -

-ã«î, ¯à¨ x < 0, y = 0 ¨¬¥¥¬

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.