VII. Релятивистское тяготение.

Кроме специальной теории относительности, которую мы использовали при рассмотрении вышеизложенных вопросов, Эйнштейном в 1911 г. была разработана общая теория относительности.

Общая теория относительности представляет собой современную релятивистскую теорию тяготения.

Классическая теория тяготения Ньютона дает:

,

где F – мгновенно действующая сила (сигнал или энергия передается мгновенно).

Такой вывод противоречит принципу теории относительности – ни энергия, ни сигнал не могут распространяться быстрее скорости света.

Это противоречие привело Эйнштейна к постулированию принципа эквивалентности:

Поле силы тяжести эквивалентно ускоряющей системе отсчета (т.е. тождественность гравитационной и инертной масс).

Пример: пусть пассажир при старте ракеты движется вверх с ускорением а = 2q относительно земли. При этом вес Р пассажира увеличится в 3 раза, а гравитационная сила в точности пропорциональна инертной массе.

В общей теории относительности устанавливается ещё более глубокая, чем в частном принципе, связь между материей, пространством и временем:

а) Эйнштейн устанавливает, что пространство является евклидовым лишь при отсутствии масс, приводящих к появлению поля тяготения.

Наличие массы делает пространство неевклидовым (пространство имеет кривизну). Отклонение от прямолинейного движения трактуется как действие поля тяготения.

б) одно из следствий общей теории относительности состоит в том, что свет, обладая инертной массой, теряет энергию на преодоление гравитационного притяжения испускающего его тела. Этот эффект называется гравитационным красным смещением. Такое смещение наблюдается в спектральных линиях Солнца и тяжелых звезд.

в) в области действия масс (в поле тяготения) меняется и скорость течения времени. Причем, чем больше поле тяготения, тем медленнее течет время.

Пример: двое идентичных часов помещают на Земле по высоте 1 м одни от других. Нижние часы будут ежесекундно отставать на 10^-16 секунды.

В заключении отметим опытные факты, подтверждающие правильность общей теории относительности:

а) искривление звездного света около Солнца;

б) красное смещение в спектрах тяжелых звезд;

в) движение перигелия Меркурия (43″ за 100 лет).

VIII. Элементы релятивистской динамики.

Принцип относительности – это принцип, утверждающий единство законов природы во всей Вселенной. Законы релятивистской динамики то же должны учитывать принцип относительности, а, следовательно, чтобы удовлетворять его принципам уравнения должны иметь более сложный вид и лишь в пределе, когда v‹‹С переходить в классические. Не останавливаясь на методах нахождения релятивистских уравнений, укажем только, что при переходе от одной инерциальной системы к другой должны соответствующим образом преобразовываться компоненты вектора силы и должна изменяться масса.

1. Масса.

Масса движущегося тела m зависит от его скорости V и минимальна в системе отсчета, в которой тело покоится (масса покоя). Эта зависимость, имеющая вид:

, (10)

была впервые получена Лоренцом для электронов и приписывала им возрастание массы (инерции) за счёт электромагнитного поля движущегося электрона. Эйнштейн показал, что уравнение (10) – совершенно универсальный закон, не зависящий от частных свойств частиц.

График зависимости m от С имеет вид:

В т.А увеличение массы на 15% от mо. Световые частицы – фотоны, нейтрино движутся со скоростью света в пустоте, v = C. Применяя к фотонам (10), получаем: (11)

Так как фотоны имеют конечную и, вообще говоря, различную массу, то следует считать массу покоя фотона m₀ тождественно равной нулю. Тогда отношение математически является неопределенным и может принимать разные значения, которые определены далее.

Частицы вещества и света материальны и обладают массой. Однако между ними имеется существенная качественная разница.

Частицы вещества имеют «массу покоя» и могут двигаться с любыми скоростями, всегда меньшими скорости света в пустоте:

m₀ ≠ 0 и 0 ≤ v < C (12)

Частицы света не имеют массы покоя и могут двигаться только со скоростью света:

m₀ = 0 и v = C (13)

Если бы фотон двигался с меньшей скоростью v чем скорость света C, то, согласно (10), его масса:

обратилась бы в нуль, т.е. такой фотон не мог бы существовать. Таким образом, фотон, не имея массы покоя m₀, имеет только массу движения, и то только когда он движется со скоростью с.

Распространение света в среде со скоростью:

,

меньшей скорости света в пустоте с, не означает уменьшения скорости движения самих фотонов. Грубо этот факт можно толковать так: каждый отдельный фотон летит со скоростью с, но при встрече с атомами среды как бы поглощается ими, а затем снова испускается. Благодаря наличию таких «остановок» средняя скорость света в среде v оказывается ниже скорости движения фотонов с.

При поглощении атомом фотон, обладающий массой m_ф, исчезает. Однако при этом не происходит исчезновения массы, так как масса возбужденного атома возрастает на ту же самую величину m_ф. При обратном излучении света масса возникшего фотона в точности равна уменьшению массы излучившего атома. Этот пример и целый ряд других случаев взаимного превращения материальных частиц показывает, что не существует непроходимой границы между разными формами материи. Материя может изменяться и переходить из одних форм в другие. При этих процессах часть или вся масса покоя может переходить в массу движения и обратно. Однако полная масса М всех участвующих в этих превращениях материальных частиц остается постоянной. Для замкнутой системы, через границы которой не переходят частицы вещества или света и не обменивающейся энергией с окружающими телами:

М = const (14)

2. Энергия.

Рассмотрим тело, покоящееся в «неподвижной» системе отсчета, относительно которой «подвижная» система перемещается со скоростью v.

В математике известно разложение: …(для всех |x| ≤ 1) Применим его к формуле (10): .

Пусть скорость «подвижной» системы не очень велика, чтобы можно было пренебречь членами высших степеней β по сравнению с β². Тогда

и

Иначе mc² = m₀c² + T, (15)

где Т – кинетическая энергия тела в «подвижной» системе.

Из формулы (15) ясно, что выражение:

Е = mc² (16)

представляет собой некоторую энергию материальной точки, движущейся со скоростью v относительно данной системы отсчета (это энергия рассматриваемой точки в «подвижной» системе). Её называют полной энергией материальной точки. Мы получили закон взаимосвязи массы и энергии, установленный Эйнштейном в 1905 году:

Всякий объект, масса которого m, имеет соответствующую полную энергию Е.

В системе отсчета, относительно которой точка покоится, её кинетическая энергия Т = 0 и полная энергия Е = m₀с² = Е₀ равна энергии покоя.

Следовательно, Е = Е₀ + Т – полная энергия материальной точки в данной системе отсчета складывается из её энергии покоя и кинетической энергии. Мы это получили для достаточно медленно движущейся системы; но разность Т = mc² – m₀c² равна кинетической энергии тела и в любой другой движущейся системе отсчета, даже если использованное разложение нельзя оборвать на определенном близком слагаемом, т.е. энергия движения не обязательно равна mv²/2, как было в классической механике. Там рассматривалось только первое приближение кинетической энергии, при котором скорость v << C и все члены приведенного разложения, содержащие β, пренебрежимо малы.

Если же не пренебрегать высшими степенями разложения, то

,

и кинетическая энергия в общем виде будет представлена рядом:

Закон взаимосвязи массы и энергии (16) является одним из основных законов природы. Так, на основе этого закона подсчитываются энергии ядерных, в частности термоядерных, превращений. Использование колоссальных запасов термоядерной энергии и ещё более грандиозных запасов энергии антивещества связано с применением этого закона.

3. Законы сохранения.

Физическую природу увеличения массы со скоростью можно понять, если рассмотреть случай малых скоростей. При

,

т.е. – добавка к массе покоя частицы (тела).

В случае системы взаимодействующих частиц свою долю в массу всей системы вносит не только кинетическая энергия частиц, но и потенциальная энергия их взаимодействия.

Обозначим кинетическую энергию i-й частицы системы через T_i, а потенциальную энергию взаимодействия i-й и k-й через U_ik. Тогда кинетическая и потенциальная энергия системы частиц Е равна:

(17)

(половинка перед второй суммой учитывает, что каждая энергия взаимодействия между i-й и k-й частицей появляется в ней дважды, в виде U_ik и U_ki).

Обозначая массу покоя i-й частица через m_0i, получим для массы М всей системы:

(18)

Если система изолирована, то ее полная масса сохраняется:

(19)

Формула (19) выражает закон сохранения массы в теории относительности.

Если выражение для полной массы системы (19) умножить на квадрат скорости света c², то получим релятивистский закон сохранения энергии W замкнутой системы:

(20)

Слагаемые m_0ic² имеют следующий физический смысл. Это собственная энергия или энергия покоя частиц, обладающих массами m_0i.

Собственная энергия сохраняется (как и масса покоя) за каждой частицей, пока она не превращается в другие частицы. Отсюда можно сделать вывод о пределах применимости классического закона сохранения энергии замкнутой системы:

(21)

Если в рассматриваемой замкнутой системе не происходит превращений элементарных частиц, то в сумме все члены остаются без изменений и сама сумма остается постоянной. Но тогда из (20) следует постоянство Е, т.е. классический закон сохранения энергии (21). В общем случае, когда в системе происходят превращения элементарных частиц, можно пользоваться лишь релятивистским законом сохранения энергии (20).

Очень существенно то обстоятельство, что релятивистские законы сохранения массы (19) и энергии (20) не являются независимыми: любой из них можно рассматривать как следствие другого, так как они связаны совершенно универсальным отношением

W = Mc² (22)

Следует отметить встречающиеся в литературе неправильные толкования релятивистского закона сохранения энергии – массы.

Часто можно было встретить утверждения, что согласно теории относительности имеет место превращение массы в энергию и энергии в массу. Они ошибочны. Действительно, согласно (19) и (20), и масса и энергия замкнутой системы сохраняются. Что же в действительности может иметь место? При превращениях элементарных частиц может уменьшаться или увеличиваться сумма масс покоя частиц , а в соответствии с этим увеличиваться или уменьшаться сумма кинетической и потенциальной энергии остальных частиц системы.

Релятивистских закон взаимосвязи энергии и массы (22) проверен на огромном опытном материале (физика ядра и элементарных частиц). Он может быть положен в качестве исходного постулата в основу частного принципа относительности (вместе с принципом эквивалентности всех инерциальных систем отсчета) взамен постулата (также взятого из опыта) о постоянстве скорости света. В этом случае постоянство скорости света будет получено из теории как одна из теорем, следующих из указанных исходных постулатов теории.

4. Релятивистский импульс.

Так как процессы протекают в движущихся телах медленнее, чем в неподвижных, то и результат взаимодействия тел изменяется, а следовательно изменяются и все динамические характеристики тела, в том числе и его импульс. Импульс материальной точки:

(23)

Связь между импульсом тела и его полной энергией можно получить из уравнения (10):

,

учитывая, что ,

получим: (24)

Из уравнения (24) легко получаются уравнения взаимосвязи импульса и энергии, используемых при решении практических задач:

(25)

(26)

Вывод:

1. Частица называется релятивистской, если v сравнимо с С. Чтобы определить, является ли частица релятивистской, надо сравнить Т с Е₀. Если – частица классическая.

2. Чтобы определить, является ли частица, обладающая импульсом р релятивистской, надо сравнить его с её комптоновским импульсом – m₀c. Если – частица классическая.