План:
1.Похідні вищих порядків.
2.n −і похідні елементарних функцій.
3.Формула Лейбніца.
4.Диференціали вищих порядків.
Похідні вищих порядків.
Означення 20.1. Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (a;b) і в кожній точці x цього інтервалу диференційовна. Якщо в
точці |
x0 (a;b) існує похідна функції |
f (x), то кажуть, що в |
точці |
x0 існує друга похідна, |
або похідна другого порядку, яку |
позначають одним із символів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ''(x ), y '' , |
d 2 f (x0 ) |
, |
|
|
d 2 y |
, |
D2 f (x ) , |
f (2) (x ) . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dx2 |
|
|
|
dx2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ''(x) := ( f '(x))′ |
|
|
|
|
|
f ''(x ) = ( f '(x))′ |
|
|
|
|
|
(20.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо існує друга похідна f ′′(x) |
в кожній точці x з інтервалу (a;b), |
то можна говорити про функцію f ′′(x), яка визначена на інтервалі (a;b)
. Наприклад, швидкість v руху точки дорівнює похідній від пройденого точкою шляху S по часу t: v = dSdt , а
230
прискорення |
a |
є похідна від швидкості v по часу t: |
a = |
dv |
= |
d dS |
= |
d 2 S |
|
|
|
|
|
|
|
. |
dt |
|
|
dt |
2 |
|
|
dt dt |
|
|
|
Аналогічно, якщо функція y = f (x) має скінченну другу похідну на інтервалі (a;b), то її похідна (скінченна або ні) називається похідною
третього порядку (або третьою похідною):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ''' (x ), |
y''' , |
|
d 3 |
f (x0 ) |
, |
|
d 3 y |
, |
D3 |
f (x |
|
), |
f |
(3) (x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dx3 |
|
|
dx3 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно |
|
означається |
похідна |
y( n) довільного |
|
порядку як |
похідна від похідної (n −1) го порядку: y(n) := (y(n−1) )′. |
|
|
|
|
|
y |
(0) |
:= y, |
y |
(1) |
|
′ |
..., y |
(n) |
:=(y |
(n−1) ′ |
|
|
|
|
(20.2) |
|
|
|
|
:= y , |
|
|
) |
|
|
|
|
f (n) (x ), y(n) , |
d n f (x0 ) |
, |
|
d n y |
, |
Dn f (x |
), |
f (n) (x ), Dn y . |
|
|
0 |
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
dxn |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Також аналогічно можна означити і односторонні похідні вищих порядків.
Означення 20.2. Функція y = f (x) називається n раз неперервно
– диференційовною на деякому проміжку, якщо у всіх точках цього проміжку вона має неперервні похідні до порядку n
включно (n = 0,1,...) .
При цьому, якщо кінець проміжку належить самому проміжку, то під похідними розуміють односторонні похідні.
n і похідні елементарних функцій.
1. Степенева функція y = xα , x > 0,α R .
y ' =αxα−1; y '' =α(α −1)xα−2 , y ''' =α(α −1)(α − 2)xα−3 , ..., тобто:
(xα )(n) =α(α −1)...(α −n +1)xα−n
Якщо α = n N , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn )n |
= n(n −1) ... 1 = n!, |
(xn )(n+1) |
= 0 |
|
|
2. Тригонометрична функція y = sin x, x R. |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
+ |
π |
|
2 |
π |
|
, ..., тобто |
y ' = cos x = sin x + |
2 |
, y '' = cos x x |
|
|
|
= sin x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(sin x) |
(n) |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin x + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. y = cos x, x R , |
(cos x) |
(n) |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos x + n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Показникова функція y = ax , x R, a > 0, a ≠1. y ' = ax ln a, y '' = ax (ln a)2 , y ''' = ax (ln a)3 , ..., тобто
(ax )(n) = ax (ln a)n ; (ex )(n) = ex
5. Дробово – лінійна функція y = cxax++db , a,b,c, d R .
y' = a(cx + d) −c(ax +b) = (ad −bc)(cx + d)−2 , (cx + d)2
y'' = (ad −bc)(−2)(cx + d)−3 c,
y''' = (ad −bc)(−2)(−3)(cx + d)−4 c2 ,...
Отже, використовуючи метод математичної індукції, маємо
ax +b (n) |
(−1)n−1 n!(ad −bc) |
c |
n−1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
(cx + d) |
n+1 |
|
cx + d |
|
|
|
|
Формула Лейбніца.
Теорема 20.1. Нехай функції y1 = f1 (x) і y2 = f2 (x) мають похідні до n го порядку включно в точці x0 , тоді функції y1 + y2 = f1 (x)+ f2 (x) і y1 y2 = f1 (x) f2 (x) також будуть
мати похідні до n го порядку включно, причому правильні рівності:
|
(y + y |
2 |
)(n) = y (n) |
+ y (n) |
|
(20.3) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y1 y2 )(n) = y1(n) y2 +Cn1 y1(n−1) y2′ +Cn1 y1(n−2) y2″ +…+ y1 y2(n) |
|
|
n |
|
|
|
= ∑Cnk y1(n−k ) y2(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(20.4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де Cnk число комбінацій з n |
елементів по k : Cnk = |
|
|
n! |
|
. |
|
|
k |
!(n − k )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (20.4) називається формулою Лейбніца. Цю формулу ще
можна записати у вигляді, зручному для запам’ятовування:
(y1 y2 )(n) = (y1 + y2 ){n}.
Індекс {n} означає, що вираз (y1 + y2 ){n} записується подібно до бінома Ньютона, тобто у вигляді суми з тими ж коефіцієнтами, що і в біноміальній формулі, тільки степені функцій y1 , y2 замінюються їх похідними відповідного порядку.
Доведення. Формули (20.3) і (20.4) доводимо за методом математичної індукції.
1) |
При n =1: |
|
|
|
|
|
( y1 + y2 )′ = y1′ + y2′, ( y1 y2 )′ = y1′y2 + y1 y2′ (раніше доведено). |
2) |
|
Припустимо, що формули правильні для похідних n го порядку, |
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
( y1 + y2 )(n) = y1(n) + y2(n) , |
|
( y1 y2 )(n) = ∑Cnk y1(n−k ) y2(k ) . |
|
|
|
|
k=0 |
3) |
Доведемо їх правильність і для похідних (n +1) го порядку: |
|
|
( y1 + y2 )(n+1) =(( y1 + y2 )(n) )′ =(y1(n) + y2(n) )′ = y1(n+1) + y2(n+1) , |
( y1 |
|
n |
′ |
n |
y2 )(n+1) = (( y1 y2 )(n) )′ = |
∑Cnk y1(n−k ) y2(k ) = |
∑Cnk (y1(n−k ) y2(k ) )′ = |
|
|
k =0 |
|
k =0 |
n |
|
|
|
n |
= ∑Cnk (y1(n−k+1) y2(k ) + y1(n−k ) y2(k+1) )= y1(n+1) y2(0) |
+ ∑Cnk y1(n−k+1) y2(k ) + |
k=0 |
|
|
|
k=1 |
n−1 |
|
|
|
|
+∑Cnk y1(n−k ) y2(k+1) |
+ y1(0) y2(n+1) , |
|
k=0 |
|
|
|
|
оскільки |
Cn0 = Cnn |
=1. |
Тепер змінимо індекс сумування в другому |
доданку, |
поклавши |
k = p −1, тоді новий |
індекс сумування буде |
змінюватися від 1 до n . Після цього в одержаних сумах об’єднаємо попарно доданки, що містять похідні однакових порядків. Позначаючи загальний індекс сумування через p , матимемо
|
n |
n−1 |
( y1 y2 )(n+1) |
= y1(n+1) y2(0) + ∑Cnp y1(n+1−p) y2( p) |
+ ∑Cnp−1 y1(n−( p−1)) y2( p) + y1(0) y2(n+1) |
|
p=1 |
p=1 |
|
n |
|
= y1(n+1) y2(0) |
+ ∑(Cnp +Cnp−1 )y1(n+1−p) y2( p) + y1(0) y2(n+1) . |
|
p=1 |
|
Але Cnp +Cnp−1 = Cnp+1, Cn0+1 = Cnn++11 =1, тому |
|
n |
n+1 |
( y1 y2 )(n+1) = y1(n+1) y2(0) + ∑Cnp+1 y1(n+1−p) y2( p) + y1(0) y2(n+1) = ∑Cnp+1 y1(n+1− |
|
p=1 |
p=0 |
Теорема доведена.
Приклад 1. Дано функціюy = x2e2 x . Знайти y( 20) .
Розв’язання. f1 (x)= e2 x f1′ = 2e2 x f1″ = 22 e2 x ……… f1(20) = 220 e2 x , f2 (x)= x2 f2′ = 2x f2″ = 2 f2(3) =…= f2(20) = 0,
y(20) = (x2e2 x )(20) = f1(20) f2 +C201 f1(19) f2′ +C202 f1(18) f2″ +0 +…+0 = 220 e2 x x2 +
+20 219 e2 x +190 218 e2 x |
= 220 e2 x (x2 + 20x +95). |
Наслідок. Якщо C стала, а функція y = f (x) має похідну n го |
порядку в точці x0 |
, то функція C f (x) також має похідну n го |
порядку при x = x0 |
і |
Теорема 20.4. Якщо функції x =ϕ(t ), y =ψ (t ) мають похідні до другого порядку включно ϕtt'' (t), ψtt'' (t) в точці t0 , то параметрично задана функція y =ψ (ϕ−1 (x)) також має похідну другого порядку включно в точці x0 =ϕ(t0 ) і має місце рівність:
y |
|
″(x |
)= |
ψtt″(t0 ) ϕt′(t0 ) |
−ψt′(t0 ) ϕtt |
″(t0 ) |
(20.8) |
xx |
|
(t0 ) |
|
|
|
0 |
|
ϕt′3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення.
″ |
|
ψt' (t) ' |
dt |
|
|
|
ψtt″(t0 ) ϕt′(t0 )−ψt′(t0 ) ϕtt″(t0 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
yxx |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
' |
|
|
|
|
|
|
2 |
(t |
|
) |
' |
|
|
|
|
|
ϕ |
(t) |
t=t0 |
dx |
|
x=x |
|
|
ϕ′ |
0 |
|
ϕ |
(t |
) |
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
t |
0 |
|
|
=ψtt″(t0 ) ϕt′(t0 )−ψt′(t0 ) ϕtt″(t0 ).
ϕt′3 (t0 )
Аналогічно обчислюють похідні вищого порядку функцій, заданих параметрично.
Приклад 2. Знайти другу похідну функції, оберненої до функції y = x + x5 , x R .
Розв’язання. Дана функція неперервна і строго зростаюча як сума двох
неперервних і строго зростаючих функцій y = x |
і y |
2 |
= x5 . Знайдемо |
|
|
|
|
y′ =1+5x4 ≠ 0 x R . |
1 |
|
|
похідну: |
|
|
|
|
|
|
|
Тому для неї існує обернена функція x = x( y), першу і другу похідні |
якої знайдемо, наприклад, за формулами (20.7): |
|
|
|
′ |
1 |
|
1 |
|
″ |
|
|
yxx″ |
20x3 |
|
|
|
xy |
= |
|
|
= |
|
; |
xyy |
= − |
|
= − |
|
. |
|
|
|
yx′ |
|
1+5x4 |
yx′3 |
(1+5x4 )3 |
|
|
|
Зауважимо, що |
другу |
похідну |
xyy″ можна знайти |
|
з похідної xy′, |
застосувавши правило знаходження похідної складеної функції:
″ |
′ |
′ |
|
1 |
′ |
′ |
|
20x3 |
|
1 |
|
20x3 |
|
xyy |
= (xy |
)y |
= |
|
|
|
xy |
= − |
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
+5x4 |
(1 +5x4 )2 |
1 +5x4 |
(1 +5x4 )3 |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
Приклад 3. Для функції, заданої параметрично
|
|
|
|
|
x = 2sin t +sin 2t, |
знайти |
|
dy |
|
|
, |
|
d |
2 |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 cos t + cos 2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
t =0 |
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Використаємо формули (19.2) і (20.8): |
|
|
′ |
(t) = |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt |
(2sin t +sin 2t) = 2 cost + 2 cos 2t; |
|
|
|
|
|
|
′ |
(t) = |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
−2sin 2t, |
|
|
|
|
yt |
(2 cos t +cos 2t) = −2sin t |
|
|
|
|
x |
|
″(t) = −2sin t −4sin 2t; |
|
y |
″(t) = −2 cot− 4 cos 2t, |
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
y |
t |
′(t) |
= − |
sin t +sin 2t |
; |
|
dy |
|
|
|
|
= − |
sin 0 +sin 0 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
dx |
xt |
′(t) |
cos t + co2t |
|
dx |
|
|
|
cos 0 + cos 0 |
|
|
|
|
|
|
|
t =o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
= −2(cost + 2 cos 2t)(2 cos t + 2 cos 2t) −2(sin t +sin 2t)2(sin t + 2sin 2t) |
= |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(cost +cos 2 y)3 |
|
|
= |
|
|
|
−2(1+cost) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(cost +cos 2t)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диференціали вищих порядків. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо на інтервалі |
(a,b) |
|
функцію y = f (x), яка на цьому |
проміжку має похідні до n го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці інтервалу (a,b) існує диференціал
dy = f ' (x)dx ,
який називається диференціалом першого порядку від функції f (x) .
Диференціал першого порядку в свою чергу є функцією від x , і якщо функція f ' (x)dx (dx = const ) диференційовна на (a,b) , то вона
має диференціал. Цей диференціал називається диференціалом другого порядку від функції f (x) :
d 2 y = d(dy) = d (f ' (x)dx)= f '' (x)dxdx = f '' (x)dx2 ,
тобто
d 2 y = f '' (x)dx2 ,
оскільки dx приріст аргументу є величина стала.
Аналогічно означається диференціал третього порядку. Оскільки d 2 y = f '' (x)dx2 є функцією від x і ця функція за припущенням на інтервалі (a,b) диференційовна, тому для d 2 y існує диференціал d(dy)
, який називають диференціалом третього порядку і позначають: d3 y = d(d 2 y) = d (f '' (x)dx2 )= d ( f '' (x))dx2 = f ''' (x)dxdx2 = f (3) (x)dx3 ,
d 3 y = f ''' (x)dx3 .
Аналогічно означають диференціали четвертого, п’ятого, …, n го порядку, причому, використовуючи метод математичної індукції, можна довести, що
d n y := d(d (n−1) y) = d (f (n−1) (x)dxn−1 )= (f (n−1) (x))′ dxn−1dx = f (n) (x)dxdxn−1 = = f (n) (x)dxn ,
d n y = f (n) (x)dxn |
(20.9) |
В попередніх лекціях ми аналізували диференціал першого порядку і довели його інваріантну властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції z( y) є, в свою чергу, деякою функцією від x : y = y(x).
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Нехай маємо складену функцію z = z( y), y = y(x) , де функції z( y) і y(x) мають похідні по своїх аргументах до другого порядку включно. Тоді z( y) має диференціал dz = z′( y)dy , а dy = y′(x)dx. Знайдемо d 2 z . Згідно з означенням
d |
2 |
z |
' |
′ |
′ |
′ |
′ |
dy |
2 |
′ |
2 |
y = |
|
= d(z |
( y)dy) = d (z ( y))dy + z ( y)d(dy) |
= (z ( y)) y |
|
+ z ( y) d |
|
= z''yy ( y)dy2 + z'y ( y)d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тобто |
|
|
|
d 2 z = z''yy ( y)dy2 |
+ z'y ( y) y'' (x)dx2 |
|
|
|
(20.10) |
|
|
У випадку незалежної змінної маємо d 2 z = z''yy ( y)dy2 . Порівнюючи
ці дві формули, бачимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. Отже, диференціал другого порядку від складеної функції інваріантної властивості не має. Якщо розглянути формули:
dy = f ' (x)dx; d 2 y = f '' (x)dx2 ; |
d 3 y = f ''' (x)dx3 ; |
..., |
d (n) y = f (n) (x)dxn ; |
то з них одержимо: |
|
|
|
|
|
|
|
f ' (x) = |
dy |
; |
f '' (x) = |
d 2 y |
; |
f ''' (x) = |
d 3 y |
; ...; |
f (n) (x) = |
d (n) y |
. |
dx |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx3 |
|
|
dxn |
Приклад |
4. |
Обчислити |
другий диференціал |
функції y =sin x2 , |
вважаючи змінну x :
а) функцією x(t) деякої незалежної змінної t;
б) незалежною змінною.
Розв’язання.
а) 1 спосіб. Згідно з означенням другого диференціала маємо:
d 2 y = d(d sin x2 ) = d(2x cos x2 dx) = d(2x cos x2 )dx + 2x cos x2 d 2 x = (2cox2 −
− 4x2 sin x2 )dx2 |
+ 2x cos x2 d 2 x. |
|
|
2 спосіб. Використаємо формулу (20.10) і знайдемо похідні функції |
y =sin x2 : |
|
|
|
yx′ = 2x cos x2 ; |
yxx″ = 2 cos x2 −4x2 sin x2 ; |
|
|
d 2 y = y′xx′(x)dx2 |
+ yx′(x) x′′(t)dt2 = (2 cos x2 |
−4x2 sin x2 )dx2 |
+ 2x cos x2 d 2 x. |
б) Якщо x – незалежна |
змінна, то |
d 2 x =0, тому |
d 2 x = (2cos x2 −4x2 sin x2 )dx2 . |
|
|
