Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Винницкий государственный педагогический университет им. М. Коцюбинского
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

mat.analiz_1

.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
6.59 Mб
Скачать
☆

{xnk

}: lim xnk = x0 . Оскільки

a ≤ xnk

≤ b , перейдемо

до границі при

 

k→∞

 

 

 

 

k → ∞ (nk → ∞):

 

 

 

 

 

lim a ≤ lim xn

≤ limb,

 

 

k→∞

k→∞

k

k→∞

 

 

 

 

 

.

 

 

 

a ≤ x0

≤ b.

 

Отже, точка x0 [a;b], тому в цій точці функція f (x)

неперервна (якщо

x0 (a;b)), або неперервна зліва (якщо x0 = b ), або неперервна справа

(якщо x0

= a). За означенням за Гейне неперервної функції маємо:

 

 

 

 

lim f (xnk )= f (x0 )

(15.2)

 

 

{

 

k

→∞

 

З (15.1)

випливає, що

k

}

необмежена послідовність,

а з (15.2)

 

f (xn

)

випливає, що вона обмежена, оскільки збіжна. Отримали суперечність, що і доводить нашу теорему.

 

 

 

Y

 

 

Зауважимо, що обидві умови в теоремі є суттєвими.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Функція

f (x)=

1

 

 

на

інтервалі

 

(0;1) є

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

неперервною,

але необмеженою: lim

= +∞ (рис.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

15.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0+0

x

 

 

 

 

 

 

Рис.15.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

2.

Однак

є функції,

які

задані

на

 

відрізку,

 

 

 

 

 

 

 

обмежені,

але

не

 

є неперервними на ньому,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

0 ≤ x ≤

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наприклад y =

 

1

 

 

(рис. 15.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< x ≤1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0.5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.15.2

 

 

 

 

 

(

)

 

 

 

[

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут

 

f x

 

≤1 x 0; 1 , хоча в точці x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

180

функція розривна.

Найбільше і найменше значення неперервної на відрізку функції.

Означення 15.2. Нехай маємо функцію y = f (x) задану на деякій

множині X . Значення функції

f (x0 ) називається найбільшим на

множині

X , якщо x X

f (x) ≤ f (x0 ), найменшим на

множині

X , якщо x X f

(x) ≥ f (x0 ).

Приклади:

3. y =1 − x , x (−∞; +∞).

x ≥ 0 x R, − x ≤ 0, +1

 

Y

 

1− x ≤1,

 

 

 

 

1

 

y(x)≤ y(0).

 

 

 

 

 

X

 

-1

0

1

 

 

 

 

Рис. 15.3

 

Отже, найбільше значення функції дорівнює 1 в

 

 

точці x0 = 0 : y (0)=1.

 

 

 

 

Y

4.

y = x2 . Найменше значення функції дорівнює 0 в

 

 

точці x0 = 0 : y (0)= 0 (рис.15.4).

 

 

5.

y = sin x . Найбільше значення функції дорівнює

 

 

1

і

досягається

у

точках

x =

π

+ 2πn, n Z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

X

найменше

значення

дорівнює

–1

в точках

 

0

x = −

π + 2πn, n Z .

 

 

 

 

 

Рис. 15.4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

Проте є функції, серед множини значень

 

 

яких

не

має

найбільшого

або

найменшого

1

 

 

 

 

 

 

значення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X

 

 

Y

 

Приклади.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15.5

 

 

 

 

 

6. y = x,

x (0;1) (рис.15.5),

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Рис. 15.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

181

 

 

 

 

 

7. y = ax , (−∞; +∞) (рис.15.6).

Теорема 15.2 (друга теорема Вейєрштрасса). Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [a;b], то серед її значень на цьому відрізку існує найбільше і найменше.

Доведення.

Згідно з теоремою 15.1 неперервна на відрізку [a ;b] функція f (x) є обмеженою на цьому відрізку. Тому існує точна нижня і точна верхня межі множини значень цієї функції:

x [ a;b]{

f

(

x

)}

df

 

 

 

x

[

 

]

f

(

x

)

≥ m,

 

 

 

m = inf

 

 

 

1)

 

a;b :

 

 

 

 

 

2) ε > 0 xε [a;b]: f (xε )< m +ε.

 

 

 

 

 

 

Зокрема,

 

для

ε =

 

1

,

n N

знайдеться

точка

xn [a;b]

така, що

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ≤ f (xn )< m +

.

 

Оскільки

(xn ) [a;b] ,

то з

неї можна

виділити

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

збіжну підпослідовність (теорема Больцано Вейєрштрасса):

(xnk ) (xn ): lim xnk = x0

x0 [a;b]:

m ≤ f (xnk )< m +

1

.

 

k→∞

 

 

nk

 

 

 

 

В останній нерівності перейдемо до границі при k → ∞, враховуючи неперервність f (x):

lim m ≤ lim f (xnk

)≤ lim m +

1

,

m ≤ f (x0 )≤ m,

f (x0 )= m.

nk

k→∞

k→∞

 

k→∞

 

 

 

Отже,

ми

вказали точку

x0

на

відрізку [a;b],

в якій функція

приймає найменше значення. Аналогічно доводиться і друга частина теореми.

Ще раз підкреслимо, що властивості функції, виражені теоремами 15.1 і 15.2, не поширюються, взагалі кажучи, на функції, неперервні в інтервалі, півінтервалі.

182

Приклади:

8. y = 1x неперервна на (0;1), однак вона необмежена, і не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

Y

1

0

1

2

3

 

Рис.15.7

y

9. y = x − E (x)={x} – не має найбільшого на відрізку [0,1] значення (рис. 15.7).

X 10. Приклади графіків функцій, які не мають найбільшого (найменшого) значення на відрізку

[a ;b] (рис. 15.8):

y

(b;1)

a

0

b x

 

a

0

b x

y

a

0

b

x

 

 

 

1

 

 

 

b;−

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(b;−1)

 

 

Теореми про проміжне значення функції.

Теорема 15.3 (перша теорема Больцано – Коші, або теорема про перетворення функції в нуль). Нехай функція f (x)

визначена і неперервна на відрізку [a;b] і на його кінцях приймає

183

значення різних знаків. Тоді між a і b знайдеться принаймні одна точка c , в якій функція дорівнює нулю:

f (c) = 0, a < c < b .

 

Доведення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема має досить просту y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

геометричну інтерпретацію (рис. 15.9):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо неперервна крива переходить з

a

 

 

 

 

 

 

нижньої півплощини в верхню через вісь

 

 

 

 

 

b x

 

 

 

 

Ox , то вона перетинає вісь Ox .

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

b

 

 

 

f (a)< 0 ,

 

f (b)> 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Нехай

а

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

a2

 

b

Розділимо відрізок [a;b]

 

 

 

 

 

 

 

 

навпіл точкою

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Рис. 15.9

x =

a +b

. Якщо функція

f (x)

дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a +b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулю в цій точці, тоді теорема доведена. Якщо ж

f

 

 

 

≠ 0 , тоді на

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a +b

 

a +b

 

 

кінцях одного з відрізків

a;

 

 

;

 

 

;b

функція буде приймати

2

2

 

 

 

 

 

 

 

значення різних знаків, причому від’ємне – на лівому кінці і додатне – на правому. Позначимо цей відрізок через [a1 ;b1 ], розділимо його

навпіл і знову відкинемо той випадок, коли f

a1 +b1

 

= 0, оскільки тоді

2

 

 

 

 

теорема доведена. Позначимо

через [a2 ;b2 ]

ту з

 

половин відрізка

[a1 ;b1 ], для якої f (a2 )< 0 , f (b2 )

> 0 .

 

 

 

Продовжимо цей процес побудови відрізків. При цьому або ми після скінченного числа кроків виявимо, що точка поділу – це точка, в якій функція дорівнює нулю і доведення теореми закінчено, або одержимо нескінченну послідовність вкладених один в один відрізків:

184

1)

[a;b] [a1 ;b1 ]

[a2 ;b2 ] ... [an ;bn ] ...;

 

 

 

 

 

 

b − a

 

 

lim a

n

= lim b = c

2)

b − a

=

, отже lim(b − a )= 0;

 

n→∞

n→∞ n

 

 

 

 

n n

2

n

n→∞ n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) f (an )< 0; f (bn )> 0.

Згідно з умовою 3), враховуючи неперервність функції f (x), маємо

f (a

n

)< 0,

 

lim f (an )≤ lim 0,

f (c)≤ 0,

 

 

 

 

n→∞

n→∞

 

f (c)= 0 .

 

 

 

 

lim f (bn )≥ lim 0,

 

f (bn )> 0,

 

 

f (c)≥ 0,

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

Зауваження. Умова неперервності функції f (x) не відрізку [a;b] є суттєвою: функція, яка має розрив принаймні в одній точці, може перейти від від’ємного значення до додатного, і не перетворюючись в нуль.

 

Приклади.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

11.

y =[x] −

1

,

x [0;1] (рис. 15.10);

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

O

1

x

 

1

1

> 0 .

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (0)= − 2

< 0, f (1)= 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маємо стрибок в точці x =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

f (a)> 0, f (b)< 0 (рис. 15.11). Маємо розрив другого роду в точці

x0 .

І) Теорему Больцано – Коші застосовують при розв’язуванні рівнянь, зокрема для встановлення існування коренів.

Приклад 13. Встановити існування коренів рівняння: 2x = 4x (рис. 15.12).

Розв’язання.

Легко бачити, що x = 4 – корінь. Але a є ще один корінь. Розглянемо

y

O

x0

b x

Рис. 15.11

185

неперервну функцію f (x) = 2x − 4x .

y

y = 4x

 

 

 

f (0)= 20 − 4 0 =1 > 0,

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

f

 

 

= 22 − 4

 

= 2

− 2

< 0.

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(c)= 0 , або

y = 2

x

 

 

Отже, існує

 

 

c

0;

 

така, що

f

 

O c

 

 

 

2

 

 

2c = 4c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15.12

ІІ) Теоремою Больцано – Коші можна

 

 

 

 

користуватися і для наближених обчислень.

 

 

 

 

Приклад 14. Розв’язати рівняння x4 − x −1 = 0.

 

 

 

 

Розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо

 

 

неперервну функцію:

f (x)= x4 − x −1,

f (1)= −1 < 0;

f (2)=13 > 0 ,

отже існує корінь між числами x =1 і x = 2 .

Поділимо

[

 

]

на

10 рівних частин точками 1,1;

1,2;

 

1,3;

1,4; ... 2 і

відрізок

1; 2

 

 

обчислимо

f

(1,1)

= −0, 63... < 0; f

(1, 2)= −0,12... < 0;

f (1,3)= 0,55... > 0;

… Отже, корінь міститься між числами 1, 2 і 1,3 . Якщо розділимо і цей

[

]

(

)

= 0,066... > 0;

відрізок 1, 2; 1,3

 

на 10 рівних частин, тоді f 1, 21

f (1, 22)= −0, 046... < 0; .... Отже з точністю до 0,01 коренем рівняння є c =1, 21 з недостачею або c =1,22 з надлишком.

Ми бачимо, що шуканий корінь розміщується у проміжку як завгодно малої довжини, тобто можна обчислити цей корінь з

довільним степенем точності.

Теорема 15.4 (друга теорема Больцано – Коші, або теорема

про проміжне значення). Нехай функція f (x) визначена

і

неперервна в деякому проміжку X . Якщо в двох точках x = a

і

x = b (a < b)

цього проміжку функція приймає нерівні значення

f (a)= A, f

(b)= B (A ≠ B), то для довільного числа C , яке

 

186

лежить між A і B , знайдеться така точка c (a < c < b), що f (c)= C .

Доведення. Нехай A <C < B . Розглянемо на відрізку [a; b] допоміжну функцію ϕ(x) = f (x)−C . Ця функція неперервна на [a; b] як різниця неперервних функцій і на кінцях відрізка приймає значення різних знаків:

ϕ(a)= f (a)−C = A −C < 0, ϕ(b)= f (b)−C = B −C > 0 .

Тоді за першою теоремою Больцано – Коші між точками a і b знайдеться така точка c, що:

ϕ(c)= 0 ϕ(c)= f (c)−C = 0 f (c)= C.

Таким чином, ми встановили важливу властивість функції, неперервної на відрізку: переходячи від одного свого значення до другого, функція принаймні один раз приймає кожне проміжне число своїм значенням (рис. 15.12).

Очевидно, що перша теорема Больцано – Коші є частинним випадком другої теореми Больцано – Коші: якщо А і В – різних знаків, то за С можна взяти і 0.

Якщо

ж

функція

f (x)

неперервна

на

відрізку

[a;b] і

f (a)= A, f

(b)= B , то C , яке

y

B

міститься між А і В , існує така точка c [a;b], що f (c)= C , або іншими словами, неперервна на відрізку функція, приймаючи якісь два значення, приймає і будь яке значення між двома даними.

C

A

O

a c1 c2

c3

b

x

Рис. 15.12

187

План:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Рівномірна неперервність функцій. Теорема Кантора.

 

 

 

 

 

2. Неперервність оберненої функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

Обернені тригонометричні функції, їх неперервність.

 

 

 

 

 

 

4. Логарифмічна функція та її неперервність.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Степенева функція.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівномірна неперервність функцій. Теорема Кантора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нехай функція

 

y = f (x) визначена на деякому проміжку X

і неперервна в точці x0

цього проміжку, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f

 

 

x

 

= f

 

x

df

 

δ >0, x X :

 

x −x

 

 

 

 

f

 

x

 

− f

 

x

 

 

 

 

 

ε >0

 

 

 

<δ

 

 

 

<ε.

x→x

(

 

 

)

 

(

0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

(

 

)

 

 

(

0 )

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Припустимо тепер,

що функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x) неперервна

 

в

усьому

проміжку X .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді для кожної точки

x0 X

окремо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за

заданим

 

 

ε > 0

знайдеться

δ > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таке, що як тільки x попадає в окіл

2ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки

x0 ,

так

і

зразу

 

відповідне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значення функції попадає в окіл точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Якщо змінювати

 

x0 в X ,

навіть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x0′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 −δ

 

x0

 

x0 +δ

 

 

 

якщо не змінювати розміри

ε околу,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

число δ ,

взагалі

кажучи,

буде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2δ

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змінюватись. З рисунка 16.1 видно, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 16.1

 

 

 

 

число δ , яке використовуються на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одній

ділянці, де функція

змінюється

повільніше, може виявитися дуже великим для ділянки швидкої зміни

188

функції (де графік круто піднімається або спускається). Тобто, число δ взагалі кажучи, залежить не тільки від ε , але й від x0 : δ = δ (ε, x0 ).

Однак може бути випадок, коли ε > 0 існує число δ (ε )> 0 , яке залежить від числа ε і не залежить від точки x0 X і таке, що з нерівності

x − x0 < δ f (x)− f (x0 ) < ε x, x0 X .

Означення 16.1. Функція y = f (x), визначена на проміжку X , називається рівномірно неперервною в цьому проміжку, якщо

ε > 0 δ (ε )> 0, x′, x′′ X : x′− x′′ < δ (ε ) f (x′)− f (x′′) < ε .

В цьому означенні рівномірної неперервності функції f (x) не вимагається, щоб функція була неперервною в заданому проміжку X . Неперервність функції f (x) випливає з її рівномірної неперервності в цьому проміжку. Дійсно, якщо:

Покладемо x′ = x; x′′ = x0 , одержимо означення неперервної функції в точці x0 .

Висновок. Рівномірна неперервність означає, що у всіх ділянках проміжку достатній один і той же ступінь близькості двох значень аргумента для того, щоб добитися заданого ступеня близькості відповідних значень функції.

Обернене твердження, взагалі кажучи, неправильне. Існують неперервні функції у всіх точках проміжку, які не є рівномірно неперервними в цьому проміжку.

( f (x)

− не є рівномірно неперервна на

X )

 

( ε0 > 0, δ > 0

x′, x′′ X :

 

x′− x′′

 

<δ , однак

 

f

(x′)

− f (x′′)

 

≥ε0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

189

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности