Позначення похідної y′(x0 ) вперше запропонував французький
|
математик Лагранж, |
він також ввів термін «похідна». Для похідної |
|
застосовують також |
і такі позначення: |
dy |
, |
df (x0 ) |
– позначення |
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
Лейбніца, або D y, Df (x0 ) – позначення Коші.
З означення похідної випливає алгоритм знаходження похідної:
1) |
надати аргументу x0 деякого приросту |
x , тобто ввести в розгляд |
|
точку x0 + x ; |
|
2) |
обчислити приріст функції f (x0 ):= f (x0 + |
x)− f (x0 ); |
3) |
знайти відношення приросту функції до приросту аргументу |
|
y |
= |
f (x0 |
+ x) − f (x0 ) |
; |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
знайти границю цього відношення |
+ x) − f (x0 ) |
|
|
lim |
y |
= lim |
|
f (x0 |
. |
|
x |
|
|
x |
|
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
Якщо дана границя існує і скінченна, то вона і дорівнює похідній f '(x0 ) . Отже похідна функції в точці – це число. Якщо в кожній точці деякого проміжку X існує похідна, то можна говорити про похідну як про функцію від змінної x X .
Приклади. Використовуючи означення, знайти похідну функції:
1. y = C .
Розв’язання. 1) x0 , x ;
2)y (x0 )= y (x0 + x)− y (x0 )= C −C = 0 ;
|
3), 4) lim |
y (x0 ) |
= lim |
0 |
= 0 . |
|
x |
x |
|
x→0 |
x→0 |
|
Отже, 
.
2. y = sin x
Розв’язання. 1) x0 , x ;
2) y (x0 )= y (x0 + x)− y (x0 )= sin (x0 + x)−sin x0 =
= 2sin 2x cos 2x0 2+ x = 2sin 2x cos x0 + 2x ;
|
|
|
2sin |
x |
|
+ |
x |
|
|
y(x0 ) |
|
2 |
cos x0 |
2 |
|
|
3), 4) lim |
= lim |
|
|
|
|
= cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут ми використали першу «чудову» границю і неперервність функції y = cos x .
|
|
|
|
Отже, |
|
|
|
(sin x)′ = cos x. |
|
|
|
|
|
3. |
y = cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cos(x + x) − cos x = −2sin x + |
2 |
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
x |
|
|
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −lim |
2 |
sin x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −limsin x + |
|
= sin x. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
|
|
|
(cos x)'= −sin x . |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показникова функція |
|
: y = ax . |
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
1) |
x0 , |
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
y(x0 )= ax0 +Δx −ax0 = ax0 a x −ax0 = ax0 (a x −1); |
|
|
|
y(x0 ) |
|
|
|
ax0 (a x −1) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3), 4) |
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= a |
0 ln a . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
|
|
|
(ax )′ = ax ln a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наслідок: |
|
|
(ex )′ = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
Остання рівність показує, |
|
|
|
особливу властивість: |
|
що число |
e має |
показникова функція з основою e має похідну, яка співпадає з самою функцією. Цим і пояснюється той факт, що в математичному аналізі за основу степеня і основу логарифмів використовують переважно число e. Це дуже зручно, оскільки значно спрощуються обчислення.
|
5. |
Степенева функція: y = xn , n N . |
|
|
Розв’язання. 1) x0 , x ; |
|
|
|
|
2) y(x0 ) = y(x0 + x)− y(x0 ) = |
n(n −1) |
|
|
|
= (x0 + x)n − x0 n = x0 n + n x0 n−1 x + |
x0 n−2 x2 |
+…+ |
|
2! |
|
|
|
n(n −1) |
|
|
|
|
+Δxn − x0 |
= n x0 n−1 x + |
x0 n−2 |
x2 +…+ xn ; |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3), 4) lim y(x0 )
x→0 x
+ n(n −1)x0 n−2 x
2!
|
n x0n−1 x + |
n(n −1) |
x0n−2 |
x2 |
+…+ xn |
|
|
= lim |
|
2! |
|
|
|
|
|
= lim(n x0n−1 + |
|
|
|
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+…+ xn−1 = nx0 n−1 + 0 +…+ 0 = nx0 n−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
|
(xn )′ |
= n xn−1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пізніше покажемо, що ця формула правильна і для довільного дійсного числа n .
6. |
Довести, що функція y = |
|
x |
|
у точці x = 0 похідної немає. |
|
|
Доведення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y(0 + |
x) − y(0) = |
|
x |
|
, |
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
1, |
|
x > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
x < 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
Звідси випливає, що |
y |
при |
x →0 границі не має. Це відношення має |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правосторонню границю, яка дорівнює одиниці, і лівосторонню границю, яка дорівнює мінус одиниці.
Означення 17.2. Нехай функція f (x) визначена в деякому околі точки x0 і нехай x O(x0 ). Функція f (x) називається
диференційовною в точці x = x0 , якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді:
|
|
(17.4) |
де A – стала, яка не залежить від x , α ( |
x) – нескінченно мала |
функція при x →0 . |
|
|
Приклад 7. Довести, що функція f (x)= 3x2 |
+ x +1 диференційовна |
в точці x0 . |
|
|
Доведення. Обчислимо приріст функції в точці x0 : |
|
f (x0 )= f (x0 + x)− f (x0 )= 3(x0 + x)2 + x0 + x +1−3x02 − x0 −1 = |
= 3 x(2x0 + x)+ x = 6x0 x +3 x2 + x = x(6x0 +1)+3 x |
x. |
Тут A = 6x0 +1; α ( x)= 3 x . Оскільки α( |
x) → 0 при |
x →0 , то |
функція диференційовна в кожній точці x числової прямої.
Теорема 17.1. Означення 17.1 і 17.2 диференційовної функції в точці рівносильні, тобто для того, щоб функція y = f (x) була диференційовною в точці, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.
Доведення: |
|
|
|
1). Нехай функція f (x) |
диференційовна в точці x за означенням |
17.1, тоді ця функція в точці x має похідну f ' (x) : |
|
lim |
f (x) = f ' (x) |
f (x) − f ' (x) =α( x) |
нескінченно мала |
x→0 |
x |
x |
|
функція при |
x →0 , |
|
|
f (x) |
= f ' (x) +α( x) f (x) = f ' (x) x +α( x) x . |
x |
|
Отже, функція f (x) диференційовна в точці x за означенням 17.2.
|
′ |
Роль числа A тут виконує f (x) . |
2). Нехай функція |
f (x) диференційовна в точці x за означенням |
17.2. Тоді вираз y = A |
x +α( x) x поділимо на x ≠ 0, матимемо: |
y |
= A + α( x) |
x , |
а |
границя |
цього |
відношення |
x |
y |
x |
|
|
|
|
|
lim |
= lim(A +α( |
x))= A, тобто в точці x |
функція |
f (x) має похідну |
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
|
|
f '(x) , причому |
f '(x) = A, отже функція f (x) диференційовна в точці |
x за означенням 17.1. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
У формулі (17.4) приріст функції містить |
два доданки |
f '(x) x і |
α( x) x, які є нескінченно малими функціями при |
x →0 . Але ці |
нескінченно малі функції не однакового порядку малості, оскільки |
|
lim |
α( |
x) x |
= lim |
α( x) = 0, |
|
|
(17.5) |
|
x→0 |
f ' (x) x |
x→0 |
f ' (x) |
|
|
|
|
тобто α( |
x) x є нескінченно мала функція вищого порядку малості, |
′ |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ніж f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тому перший доданок у рівності (17.4) називається головною |
частиною приросту функції. |
|
|
|
|
|
|
Означення 17.3. |
Лінійна |
відносно |
x частина |
приросту |
диференційовної |
функції в точці x називається диференціалом |
цієї функції в точці x і позначається |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(17.6) |
|
Диференціалом незалежної змінної x називається приріст цієї |
незалежної змінної : |
dx = |
|
′ |
x =1 |
x = x). |
x (dx := (x) |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
df (x) = f (x)dx |
|
|
тобто похідна функції в точці x дорівнює відношенню диференціала цієї функції в точці x до диференціала аргументу.
Приклад 8. Знайти диференціали функцій: 1). y = C; dy = 0 ;
2). y = xn ; dy = nxn−1dx ; 3). y = sin x; dy = cos xdx.
Приклад 9. При достатньо малих x приріст функції f (x) можна замінити її диференціалом df (x) з як завгодно малою відносною похибкою, оскільки виконується умова (17.5):
|
f (x0 ) ≈ df (x0 ), |
|
або |
. |
(17.7) |
Ця рівність застосовується для наближених обчислень, оскільки обчислити диференціал функції простіше, ніж приріст функції.
|
Знайдемо, |
|
наприклад, наближене |
значення |
4 17 . Для цього |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x =17. |
|
|
|
|
розглянемо функцію y = |
4 |
|
x = x |
|
, |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Нехай |
|
x0 |
=16 . |
|
|
|
Тоді |
y(16) = 4 16 = 2; |
x =17 −16 =1; |
|
|
′ |
|
|
1 |
′ |
1 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
′ |
4 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
y (x) = ( |
x ) |
= x |
|
= |
4 |
x |
|
|
= |
|
|
x3 |
; y (16) = |
32 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
Отже, 4 17 ≈ 4 16 + 321 1 = 2 + 321 = 2,03125.
Теорема17.2 (необхідна умова диференційовності). Якщо функція f (x) диференційовна в точці x , то вона в цій точці неперервна.
Доведення. Нехай |
в |
точці |
x існує |
похідна f '(x) = lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо границю приросту функції: |
|
|
|
|
lim |
f (x) = lim |
f (x) |
|
x = lim |
f (x) |
lim |
x = f ' (x) 0 = 0 . |
|
|
x→0 |
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, згідно з четвертим означенням функція f (x) неперервна в точці x .
Односторонні похідні.
Означення 17.4. Нехай функція y = f (x) визначена на пів відрізку 
[x0 ,b) ((a, x0 ]). Кажуть, що функція f (x) в точці x0
205
має праву (ліву) похідну, якщо в цій точці існує права (ліва) границя
lim |
f (x) − f (x0 ) |
= lim |
f (x0 ) |
, |
lim |
f (x) − f (x0 ) |
= lim |
f (x0 ) . |
|
x |
|
x→x0 +0 |
x − x0 |
|
x→x0 −0 |
x − x0 |
x |
|
x→0+0 |
|
|
|
x→0−0 |
|
Тоді з означення 17.4 і означення похідної випливає: для того, щоб |
в точці x0 |
існувала похідна функції |
|
f (x) , необхідно і достатньо, щоб в |
цій точці існувала права і ліва похідна цієї функції, і права похідна дорівнювала лівій похідній.
|
Приклад |
10. |
|
|
|
|
Розглянемо |
функцію |
y = |
|
x |
|
, x0 = 0. Обчислимо |
|
|
|
односторонні похідні в точці x0 = 0 : |
|
|
|
|
|
1. |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
0 |
|
|
|
= lim |
|
|
x |
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
|
|
x |
|
− |
|
0 |
|
|
|
= lim |
−x |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, |
|
|
функція |
y = |
|
x |
|
в точці |
x0 = 0 не |
має похідної, тобто вона є |
|
|
|
|
недиференційовною в точці x0 = 0 , хоча вона і неперервна в цій точці.
Якщо функція f (x) в точці x0 має праву похідну, то ця функція в точці x0 є неперервною справа, оскільки
lim |
f (x ) = lim |
f (x0 ) x = lim |
f (x0 ) lim x = 0 . |
x→0+0 |
0 |
x→0+0 |
x |
x→0+0 |
x |
x→0+0 |
|
|
|
|
Аналогічно доводиться неперервність функції в точці x0 зліва.
Нескінченні похідні.
Означення 17.5. Нехай функція y = f (x) визначена в околі точки
x . Якщо при x →0 |
відношення f (x0 ) |
має одну з трьох |
0 |
x |
|
|
|
нескінченних границь: а) ∞; б) +∞; в) −∞, то кажуть, що функція f (x) в точці x0 має нескінченну похідну, яка дорівнює ∞, +∞, −∞
.
Теорема 17.3. Якщо функція f (x) |
|
неперервна в околі точки x0 , |
то одностороння |
нескінченна |
похідна в |
точці |
x0 |
може |
дорівнювати тільки +∞, або −∞. |
|
|
|
|
|
|
|
Доведення проведемо методом від супротивного. Нехай в точці x0 |
функція f (x) має нескінченну праву похідну: |
|
|
|
|
|
lim |
f (x) − f (x0 ) |
= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді M > 0 δ > 0, x : 0 < x − x <δ |
|
|
f (x) − f (x0 ) |
|
> M . |
(17.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відношення |
f (x) − f (x0 ) |
є неперервною функцією від |
x . Якби |
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воно змінювало знак у довільному малому околі точки x0 , то за першою теоремою Больцано–Коші це відношення обов’язково перетворювалося б у нуль в точках xk , які лежать справа від точки x0 і
знаходяться як завгодно близько від точки |
x0 , |
|
xk → x0 |
(k → ∞) . |
Оскільки |
f (xk ) − f (x0 ) |
= 0 , то |
нерівність |
(17.8) |
|
не |
може |
бути |
|
|
xk − x0 |
|
|
|
|
|
|
f (x) − f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правильною x (x ; x +δ) . Тоді |
lim |
|
= +∞ (−∞) .■ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
x→x0 +0 |
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
= 0. |
|
|
|
|
Приклад 11. Розглянемо |
функцію y = x3 , |
Відношення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
приросту функції до приросту аргумента дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
1 |
= 1 |
|
→ +∞, x → 0, |
|
Y |
|
|
|
|
f (x) − f (0) = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 0 |
|
|
x |
|
|
x2 / 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отже |
функція |
|
y = x3 |
в |
точці |
|
Рис. 17.1 |
|
|
|
|
|
|
x0 = 0 |
має нескінченну похідну, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яка дорівнює +∞(рис.17.1).
|
12). y = |
|
x , |
|
x0 = 0 . |
Y |
|
f (x) − f (0) |
= |
|
x |
|
= |
1 |
→ +∞, x → 0 + 0 , |
|
x −0 |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
X |
отже, в |
точці |
|
x0 = 0 існує |
права |
нескінченна похідна (рис.17.2). |
Рис. 17.2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
= 0 . |
|
|
13). y = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Y
X
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17.3 |
|
|
f (x) − f (0) |
= x |
2 |
= 1 |
+∞, |
x → 0 + 0, |
|
|
|
3 |
(рис.17.3). |
■ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞, x → 0 −0. |
|
|
|
x −0 |
|
x |
|
3 x |
|
|
Розглянувши приклади, може скластись враження, що неперервні функції в інтервалі (a,b) не мають похідної лише в окремих точках цього інтервалу. Однак це не так. В останній чверті минулого століття німецький математик Вейєрштрасс побудував функцію, неперервну в інтервалі (a,b) і недиференційовну в кожній точці цього інтервалу. Виходячи з геометричного змісту похідної, важко собі уявити графік такої функції. Цей факт свідчить про те, що в ряді питань аналізу, пов’язаних з нескінченністю, небезпечно покладатись на інтуїцію і наочність.
208
План:
1.Геометричний і механічний зміст похідної і диференціала.
2.Похідна і диференціал суми, добутку і частки функцій.
3.Похідна і диференціал складеної функції.
4.Економічний зміст похідної.
Геометричний і механічний зміст похідної і диференціала.
Поняття похідної і диференціалу функції в даній точці зв’язані з поняттям дотичної до графіка функції в цій точці.
Означити дотичну до незамкненої кривої як пряму, яка має з кривою лише одну спільну точку (так, до речі, означалась дотична до кола), не можна. Наприклад, для параболи y = x2 координатні осі мають з нею лише одну спільну точку, однак інтуїтивно зрозуміло, що вісь ординат ( x = 0) не є дотичною до цієї кривої. А якщо розглянути криву y = sin x , то прямі y = ±1 мають з нею безліч спільних точок (а не одну!) і є дотичними до синусоїди в кожній із цих точок.
|
дотична |
Отже |
розглянемо |
довільну |
|
|
криву l і точки M0 , |
M l |
(рис. |
|
M0 |
18.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведемо |
пряму |
M 0 M , |
яку |
T |
M |
назвемо січною. |
|
|
|
|
Нехай |
точка |
M |
|
рухається |
|
|
|
|
M |
вздовж |
кривої l |
до |
точки |
M0 . |
|
При |
цьому |
січна |
M 0 M , |
|
Рис. 18.1 |
|
приймаючи різні |
|
|
|
|
209
