Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий государственный педагогический университет им. М. Коцюбинского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat.analiz_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

6.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

S OAB

< ScektOAB < S OBC , або

sin x <

R2 x <

R2tgx

Поділимо усі частини нерівності на

отримаємо

0 < sin x < x < tgx,

або

sin x

1 <

, або 1 >

> cos x .

Рис. 11.4

sin x

cos x

Останню

нерівність,

яка,

врахуванням парності, правильна x : 0 <

π , домножимо на –1 і

sin x

додамо

−1 < −

< −cos x ,

або

sin x

0 <1− sin x

<1−cos x = 2sin2

< 2

або

0 <1 −

(11.3).

Нерівність (11.3) правильна

;

−

\ {0}. Візьмемо тепер

довільне ε > 0 , задамо для нього δ > 0 таким чином, щоб δ =

2ε .

Тоді

нерівності

0 <

x − 0

< δ =

2ε

випливає

sin x

−1

=1 −

sin x

(

2ε )2 = ε .

Отже,

sin x

−1

< ε ,

звідки

lim

sin x

=1.

n→∞

Геометричний зміст границі функції в точці:

(

)

df (Кошi)

(

)

x→x

ε > 0

δ > 0 x : 0 <

<δ

− A

<ε,

A = lim f

x − x

−δ < x < x

+δ

A −ε < f (x)< A +ε,

x ≠ x0

x Oδ*

f (x) Oε (A)

140

f (x0 ) Y

A +ε

A −ε

			X

0	x −δ	x0	x +δ
	0		0

Рис. 11.5

Число А є границею функції f (x) в точці x0 , якщо для будь якого ε околу точки А можна вказати такий проколений δ окіл точки x0 , що як тільки x попадає в цей проколений δ окіл точки x0 , так і зразу відповідне значення функції попаде в ε окіл точки А (рис. 11.5):

A =lim f (x)

Oδ* (x0 ),

x D( f )∩Oδ* (x0 )

f (x) Oε (A),

Oε (A)

x→x0

або A = lim f (x)

(x0 ):

f (D( f )∩Oδ* (x0 )) Oε (A).

Oε (A)

Oδ*

x→x0

(

)

(

0 )

(

)

Означення

11.3.

Якщо

x→x

= f

, то

функція f

lim f

називається неперервною в точці x0 .

Односторонні границі.

Означення 11.4 (за Гейне). Число А називається правою (лівою) границею функції y = f (x) в точці x0 , якщо для довільної

послідовності значень	аргумента	(xn ) (x0 , x0	+δ )∩ X (
(xn ) (x0 −δ, x0 )∩ X ),	збіжної до	точки x0 ,	відповідна

послідовність значень функції ( f (xn )) збіжна до числа А.

A = lim f (x)

x→x0 +0

A = lim f (x)

x→x0 −0

(xn ) X ∩(x0 , x0 +δ)

: lim xn	= x0	lim f (xn )= A,
n→∞		n→∞
: lim xn	= x0	lim f (xn )= A.
n→∞		n→∞

Означення 11.5 (за Коші). Число А називається правою (лівою) границею функції y = f (x) в точці x0 , якщо для будь якого як

завгодно малого додатного числа ε знайдеться додатне число

141

таке, що для всіх

x X таких,

що

< x < x0 +δ ( x0 −δ < x < x0 ),

виконується нерівність

f (x)− A

< ε .

(

)

(

)

− A

x→x +0

A = lim

ε > 0 δ > 0, x X : x < x < x +δ

(

)

(

)

− A

x→x

−0

ε > 0

A = lim

δ > 0, x X : x

−δ < x < x

Теорема 11.2. Для того, щоб функція y = f (x) в точці x0

мала границю, необхідно і достатньо, щоб в цій точці

функція f (x)

мала ліву і праву границі і щоб вони були рівні між

собою.

Доведення. Необхідність. Нехай y = f (x) має в точці x0 границю

(

)

(

)

x→x

= A ε >0 δ >0,

x X : 0 <

<δ

− A

<ε .

lim f

x −x

−δ < x − x <δ,

x −δ < x < x +δ,

x ≠ x0 ,

x ≠ x0 .

Отже, функція

y = f (x) в точці x0

має праву і ліву границі і ці границі

дорівнюють А.

Достатність. Нехай lim f

(x)

= lim

f (x)= A, це означає, що

x→x0 +0

x→x0 −0

ε > 0 δ1 > 0, x X : x0 < x < x0 +δ1

f (x)− A

< ε ,

ε > 0 δ2 > 0, x X : x0 −δ < x < x0

f (x)− A

< ε .

Виберемо δ = min{δ1 , δ2 }, отже

(

)

(

)

x→x

ε > 0

δ > 0 :

0 <

x − x

<δ

− A

< ε

lim f

= A.

Границя функції на нескінченності.

Нехай функція f (x)

визначена на X = (−∞;b) (a; +∞).

Означення 11.6 (за Гейне). Стале число А називається границею функції y = f (x) на нескінченності, якщо для

142

довільної нескінченно великої послідовності значень аргумента (xn ) X відповідна послідовність значень функції ( f (xn ))

збі жна до числа А.

(x)

) X : lim xn = ∞ lim f

(xn )= A .

A = lim f

(xn

x→∞

n→∞

Означення

11.7 (за Коші). Число А

називається

границею

функції

на нескінченності, якщо для будь якого як

завгодно малого додатного числа ε найдеться таке додатне

число δ , що для всіх значень аргумента x X таких, що

> δ ,

виконується нерівність

f (x)− A

< ε .

А налогічно

можна означити границю

функції

на

−∞

(таблиця 11.1).

Пр иклад 5. Покажемо, що 1) lim arctgx =

; 2) lim arctgx = −

π .

x→+∞

x→−∞

Доведення.

lim arctgx =

δ (ε )> o : x >δ

(ε )

arctg x −

< ε

ε > 0

x→+∞

−ε < a rctg x <

+ε

− ε

< x.

Отже, ε > 0 ми вказали δ (ε )= tg π −ε

таке, щ о як тільки

π			, то	π	−ε < arctg x ≤	π	<	π	+ε . А це й означає, що
x > tg	2	−ε	, то	2	−ε < arctg x ≤	2	<	2	+ε . А це й означає, що
	2			2		2		2
					lim arctgx =		π .
					x→+∞		2
					x→+∞

2) Другу границю доведіть самостійно.

Означення 11.8. Якщо для будь якого як завгодно великого

143

y	y

x0 −δ x0 x0 +δ

y = f (x)

x0 −δ x0 x0 +δ

lim

f (x)= +∞

f (x)

= −∞

lim

x→x

x→x0

Рис. 11.6

Рис. 11.7

додатного числа M існує додатне число δ > 0 таке, що для всіх

значень аргумента x X

таких,

що

x − x0

< δ , виконується

нерівність

f (x)

> M , то кажуть,

що

границею

функції f (x) в

точці x0 ∞ (або функція f (x) е нескінченно великою) і записують

lim f (x)= ∞.

x→x0

Означення 11.9. Кажуть, що +∞ є границя функції f (x) в точці x0 ,

якщо M > 0 δ =δ (M ), x X : 0 < x − x0 <δ f (x)> M .

Означення 11.10.

144

Позначення

A = lim f (x)

x→x0

або

f (x) → A

при x → x0

A = lim f (x)

x→x0 +

або

f (x) → A

при x → x0 + 0

A = lim f (x)

x→x0 −

або

f (x) → A

при x → x0 −0

Означення границі

Геометричний зміст

за Коші

за Гейне

Число A називається границею функції

f (x) при x → x0 , якщо

f (x0 )

ε > 0, δ =δ (x) > 0,

(xn )

xn X , n N,

A +ε

x : x X

f (x)− A

xn ≠ x0 ,

A−ε

0 <

x − x0

<δ,

<ε

x → x f (x

) → A

n→∞

−δ

x0 x0 +δ

f (x)

Число A називається правосторонньою границею функції

при

x → x0 , якщо

A +ε

ε > 0, δ =δ (x) > 0,

(xn )

x X , n N,

A−ε

x : x X

f (x)− A

< ε

xn > x0 ,

0 < x − x0 <δ,

f (xn ) → A

→ x0

n→∞

x0 +δ

Число A називається лівосторонньою границею функції

f (x)

при

x → x0 , якщо

A +ε

ε > 0, δ =δ (x) > 0,

(xn )

x X , n N,

x : x X

f (x)− A

< ε

xn < x0 ,

A−ε

−δ < x − x0 < 0,

xn → x0 f (xn ) → A

145

n→∞

x0 −δ

A = lim f (x)

Число A називається границею функції

f (x)

при

x→∞

x → ∞, якщо

або

ε > 0, δ =δ (ε ) > 0,

(xn ): xn X , n N,

f (x) → A

x : x X ,

xn → ∞ f

(xn ) → A

A +ε

при x → ∞

(

)

− A

<ε

>δ

n→∞

A −ε

A = lim f (x)

с−δ

δс

Число A називається границею функції

f (x)

при

x→+∞

A +ε

x →+∞, якщо

або

ε > 0, δ =δ (ε ) > 0,

x X ,n N,

f (x) → A

A−ε

(xn ): n

при x →+∞

x : x X ,

(

)

− A

< ε

xn > 0

x >δ

xn →+ ∞ f (xn )

→ A

n→∞

A = lim f (x)

f (x)

A +ε

Число A називається границею функції

при

x→−∞

x → −∞ , якщо

або

A−ε X

ε > 0, δ =δ (ε ) > 0,

x X ,n N,

f (x) → A

(xn ): n

при x → −∞

−δ

x : x X ,

(

)

− A

< ε

xn < 0,

x <δ

xn →−∞ f (xn )

→ A

n→∞

146

План:

1.Основні властивості границь функцій у точці.

2.Границя композиції функцій.

3.Таблиця “чудових границь”.

4.Нескінченно малі і нескінченно великі функції, порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні функції.

Мета лекції: знати основні властивості границі функції в точці.

Основні властивості границь функцій у точці.

Будемо розглядати функції, визначені на множині X R, а точка

x0 є граничною точкою множини X

(скінченною або нескінченно

віддаленою).

Теорема 12.1 (теорема про збереження знаку). Якщо функція

y = f

(

)

x→x

(

)

= A і

має скінченну границю при x → x , тобто lim f

A > p

(A < q), то x O* (x0 )∩ X : f (x)> p

( f (x)< q).

Доведення.

lim f (x)= A,

A > p

ε > 0

δ > 0

x Oδ* (x0 )∩ X

f (x)− A

< ε

x→x0

A −ε < f (x)< A +ε

Виберемо

число ε

так, щоб

p < A −ε < A .

Тоді

p < A −ε < f (x)

x Oδ* (x0 )∩ X .

Теорема 12.2. Якщо функція y = f (x) в точці x0

має границю, то

існує окіл точки x0

такий, що для будь яких значень x

з цього

околу, крім можливо,

x = x0 , множина значень f (x) є обмеженою.

Доведення. Нехай

147

x→x

(

)

(

)

(

)

lim f

= A ε >0

ε =1 ,

δ >0,

x X : 0 <

x −x

<δ

− A

<1.

Оцінимо

f (x)

( f (x)− A)+ A

≤

f (x)− A

+1 = M ,

тобто

f (x)

< M

x Oδ* (x0 ) X , що й потрібно було довести.

Теорема 12.3. Якщо функції

f (x)

і ϕ (x) в точці x0 мають

скінченні границі, то сума і добуток цих функцій також мають у

цій точці границю, причому правильні рівності

(12.1)

(12.2)

Теорема 12.4. Якщо функції

f (x)

і ϕ (x) в точці x0 мають

границі і limϕ(x)≠ 0, то і функція

f (x)

має в цій точці границю,

x→x0

ϕ(x)

і правильна рівність

(12.3)

Доведення.

limϕ(x)= B , тоді означенням границі функції

Нехай lim f (x)= A,

x→x0

в точці за Гейне маємо:

(xn )

O* (x0 )∩ X : lim xn

= x0

(xn )→ A, n →∞,

ϕ(xn )→ B,

n →∞

n→∞

А для числової послідовності правильні рівності:

lim (

f (xn )+ϕ(xn ))= lim f

(xn )+ limϕ(xn )= A + B,

n→∞

lim

( f (xn ) ϕ

(xn ))= lim f (xn )

limϕ(xn )= A B ,

n→∞

f (xn )

n→∞

(xn )

n→∞

lim

lim f

(B ≠ 0),

n→∞

ϕ(xn )

limϕ

(xn )

n→∞

причому ці рівності виконуються (xn ) O* (x0 )∩ X : lim xn = x0 .

Теорема 12.5. Якщо f (c)= C,

n→∞

x X , то lim f (x)= C .

x→x0

148

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

Теорема

12.6.

Якщо

f (x)≥ a,

x X

і існує

lim f (x),

то

lim f (x) ≥ a .

x→x0

Теорема

12.7

(теорема

про

сендвіч).

Якщо

ϕ(x)≤ f (x)≤ψ (x),

x X

limϕ(x)= limψ (x)= A,

то

lim f (x)= A (рис. 12.1).

x→x0

ψ (x)

f (x)

ϕ(x)

Рис. 12.1

Теореми 12.5 – 12.7 доведіть самостійно.

Границя композиції функції.

Теорема 12.8 (теорема про границю складеної функції). Нехай

існують

скінченні

границі

x→x

(

)

u→u

(

)

= A

і нехай в

lim

= u

lim f

деякому

проколеному

околі

точки

має

місце

нерівність

ϕ(x) ≠ u0 . Тоді в точці x0

існує границя складеної функції

f (ϕ(x)) і

(

)

ε (

(12.4)

)

Доведення. Оскільки

x→x

0 )

(

−ε;u

+ε

lim f

= A, то існує O

, на якому визначена функція f (u ), крім, можливо, точки u0 . А

x→x

(

)

, то для такого

оскільки limϕ

= u

149

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2019329.22 Кб3lektsiya_4_.doc
#
21.11.2019649.22 Кб3Lektsiya_5.doc
#
14.11.201964.91 Кб2lektsiya_Ivanitskoyi.docx
#
24.08.2019110.57 Кб2Magna Carta.docx
#
11.11.2019550.91 Кб13main text2do.doc
#
08.06.20156.59 Mб71mat.analiz_1.pdf
#
08.06.201518.25 Кб14matematika2.docx
#
20.11.201982.25 Кб1Materiali_dlya_chitannya.docx
#
09.09.2019135.68 Кб2metodika_36-40 44-46.doc
#
22.11.2019176.13 Кб3Metodi_naukovikh_dosl_lekts.doc
#
30.11.201866.05 Кб2Metod_recom_ekol_projekt.doc