Кіровоград олімпіади

Якщо u = v = w, то система вироджується в одне рівняння u2 + u − 2 = 0 . Звідси знаходимо єдиний невід’ємний корінь цього рівняння u = 1, а разом з ним й один розв’язок (1;1;1) цієї системи. Якщо u > 1, то, враховуючи монотонність

функції v = u2 + 2u − 2 , матимемо v > 1; аналогічно матимемо w > 1. Додавши всі рівняння системи, дістанемо рівність u2 + v2 + w2 + u + v + w = 6, яка не може виконуватися для u > 1, бо її ліва частина більша за 6. Це означає, що система не має розв’язків, компоненти яких більші за 1. А тому й рівняння не має розв’язків більших за 1. Отже, 1 – єдиний цілий розв’язок рівняння. 14. Див.

задачу 9 для 9-го класу.

2003 – 2004 навчальний рік

VII КЛАС

1. Нехай x – довжина сторони квадрата, найменшого після заштрихованого. Тоді з рівності протилежних сторін прямокутника маємо рівняння 8x − 8 = 4x + 12 , розв’язком якого є число 5. Тому 29 і 32 – довжини

При цілих значеннях чисел a і n остання рівність може виконуватися тільки тоді, коли

З першої і останньої систем знаходимо a = 6 і a = 0 , друга й третя системи рівнянь не мають цілих розв’язків. Відповідь: 0, 6. 3. Якщо хоч одна із замальованих клітинок шахівниці (мал. 47) не буде покрита квадратом 2× 2 , то зрозуміло куди ще можна покласти квадрат 2× 2 . Тому надалі вважатимемо, що ці клітинки покриті квадратами. Прибудь-якому розміщенні інших чотирьох квадратів 2× 2 на вільних клітинках (вони на малюнку заштриховані) ще знайдеться вільне місце щонайменше для одного такого квадрата.

Мал. 47

111

4.Покладемо на кожну шальку терезів по три монети. Якщо терези не зрівноважені, то фальшива монета на шальці, яка знаходиться вище. Коли ж терези зрівноважені, то фальшиву монету треба шукати серед монет, які не лежать на шальках терезів. Таким чином, одне зважування дозволяє виокремити три монети, серед яких одна фальшива. Наступне зважування двох монет з виокремлених трьох дає можливість встановити фальшиву монету.

5.Зрозуміло, що Г = 0, В = 1. Тому рівність запишеться так: АБ1+ АБД = 10 ДА.

Зрозуміло, що a = 1 і 1−4b – ціле число. Останнє може бути тільки у випадках,

коли b дорівнює 1, 5 або 9. Тоді c дорівнює 7, 6 або 5 відповідно.

7. 264 − 1.

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)= =(2 −1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)=

=(22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)=

= (24 −1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)= (28 −1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)=

= (216 −1)(216 + 1)(232 + 1)= (232 −1)(232 + 1)= 264 −1.

8. Пронумеруємо мішки числами від 1 до 10. З кожного мішка візьмемо таку кількість монет, яка відповідає його номеру, і всі монети зважимо. Якщо вага монет буде (1+ 2 + ... + 10) + k = 55 + k грамів, то двограмові монети містяться в

мішку з номером k .

9. − 2, 2.

10. 45 хв. Нехай велосипедист подолає весь шлях за x годин, а автомобіль – за y годин. Тоді нескладно отримати такі рівності:

48), тому BAD = = ABD, BEC = CBE. Знайдемо BOE.

112

B

E

O

A D C

Мал. 48

BOE = 180° − ( BEO + OBE) = 180° − 90° = 90°. Кути BOE і DOE – суміжні.

Тому DOE = 90°. 12. Припустимо, що не існує жодного слова, яке б написали всі учні. Позначимо через k , m і n кількість слів, які написали І і ІІ, ІІ і ІІІ, І і

ІІІ учні відповідно. Тоді k + m = 18, m + n = 29, n + k = 27. Додаючи всі рівності, одержимо рівність 2(k + m + n) = 69 , яка не може виконуватися при цілих невід’ємних значеннях k , m і n . Тому припущення неправильне. 13.

Нескладно переконатися, що добуток усіх дробів дорівнює 1001 . Оскільки

1001 = 101 101 , а 101 − 101 = 0 , то вираз дорівнюватиме нулю, якщо дев’яту зірочку замінити знаком дії віднімання, а всі інші – знаком дії множення. 14. Нехай

abc, acb, bac, bca, cab, cba – шукані числа. Тоді повинна виконуватися така рівність:

abc + acb + bac + bca + cab + cba = 3376

200a + 200b + 200c + 20a + 20b + 20c + 2a + 2b + 2c = 3376222(a + b + c) = 3376.

Якщо a b c ≠ 0 , то остання рівність неправильна, бо 3376 не ділиться без остачі на число 222. Тому одна з цифр повинна бути нулем. Нехай c = 0 . Тоді

маємо рівність abc + acb + bac + bca+ = 3376 , яку запишемо так: 211(a + b) = 3376 a + b = 16 a = 7, b = 9.

Відповідь: 0, 7, 9.

15. Позначимо фішки літерами C, C, B, B, A . Перший гравець виграє, якщо

першим своїм ходом поставить фішку A на крайню праву клітинку, а відповідаючи на ходи суперника гратиме так, щоб фішки з однаковими літерами весь час були поруч.

VIII КЛАС

1. Розглянемо тотожність 17(x + y) − 4(2x + 3y) = 9x + 5y. Оскільки зменшуване й від’ємник лівої частини тотожності діляться на 17, то й різниця 9x + 5y також

ділиться на 17. 2. Точка перетину висот трикутника (її ще називають ортоцентром трикутника) має таку властивість: точки, симетричні ортоцентру відносно сторін трикутника, містяться на колі, описаному навколо цього трикутника. Тому спочатку треба побудувати точку C′ , симетричну точці H

113

відносно відрізка AB , потім провести коло через точки A, B, C′ . Шукана точка

C буде перетином побудованого кола і прямої C′H . 3. Припустимо, що таке можна зробити. Візьмемо два сусідні числа x і y . Для них може мати місце

один з трьох випадків: або вони непарні, або різної парності, або парні. У першому випадку наступне число z буде парним, бо x ± z = y – непарне.

Продовжуючи міркування, отримаємо такі трійки чисел: Н, Н, П; Н, Н, П; ...; Н, Н, П. Нехай на тринадцятій позиції стоїть число a . Оскільки x = a ± y , то число

aмусить бути парним. Водночас воно повинно бути непарним, бо його сусіди

–числа різної парності. Отже, поруч не можуть бути непарні число. Якщо числа x і y різної парності, то наступні два числа повинні бути непарними, а

це знову приведе до суперечності. Насамкінець розглянемо випадок, коли числа x і y парні. Нескладно переконатися, що всі тринадцять чисел будуть парні.

Поділивши ці числа на 2, одержимо 13 натуральних чисел, кожне з яких є сумою або різницею своїх сусідніх чисел. Ділити на 2 будемо до тих пір, поки серед чисел не з’явиться непарне число. Але тоді ми прийдемо до розглянутих випадків, які приводять до суперечності. 4. 2; 3. Запишемо рівняння так:

55y2 = (xy3 + 1)(229 − 55x2 ).

Ця рівність може виконуватися тільки для двох натуральних значень змінної x : 1 або 2. Якщо x = 1, то приходимо до рівняння y2 (55 − 174y) = 174 , яке не має розв’язків на множині натуральних чисел. У другому випадку маємо рівняння y2 (55 − 18y) = 9 , натуральним розв’язком якого є тільки число 3. 5. Це може бути тільки тоді, коли дискримінант квадратного тричлена, який міститься у

цикл «веслування – відпочинок», який триває 45 хв, він віддалятиметься від бази на 2,55 км. Тобто об 11 годині він буде на відстані 2,55 км від бази. За один цикл «веслування – відпочинок» проти течії він зможе наблизитися до бази тільки на 0,45 км, бо за півгодини веслування пройде 0,8 км, а за 15 хв відпочинку течія знесе його на 0,35 км. Враховуючи, що за 2 год він здійснить два цикли «веслування – відпочинок» і буде ще веслувати 30 хв, то він наблизиться до бази на 1,7 км, а тому не зможе повернутися до 13 год на базу. Якщо турист вирушить з бази проти течії, то за 2 год він віддалиться від бази на 1,7 км і в нього ще залишиться 45 хв на повернення. За 15 хв відпочинку течія знесе його на 0,35 км, а останні 1,35 км, рухаючись із швидкістю 4,4 км/год, він пройде приблизно за 18 хв і вчасно повернеться на базу. 7. Нехай R1 і R2 –

радіуси кіл, діаметрами яких є бічні сторони AD і BC трапеції ABCD відповідно (мал. 49), MK – середня лінія трапеції.

114

Оскільки відстань між центрами M і K кіл дорівнює сумі їхніх радіусів, то кола дотикаються. 8. Так, обов’язково. Якщо розфарбувати клітинки дошки й жуків, які на них сидять, у два кольори за схемою шахівниці, то клітинок одного кольору, наприклад чорного, буде на одну більше, ніж білих клітинок. Оскільки чорні жуки переповзуть на білі клітинки, а 12 білих жуків переповзають на 13 чорні клітинки, то щонайменше одна чорна клітинка залишиться вільною. 9. Виходячи з означення модуля, маємо

2x, якщо x > 0, x + x = 0, якщо x < 0.

Тому функція означена тільки на множині додатних чисел і її графіком є пряма

ділиться на 10, то число B закінчується цифрою 1, а число B + 41 – цифрою 2 і не може бути квадратом натурального числа; число B − 48 повинно закінчуватися цифрою 3 і також не може бути квадратом натурального числа.

115

14. Продовжимо одну сторону кута в протилежному напрямі, а від іншої 4 рази відкладемо заданий кут. Одержимо кут, величина якого дорівнює 5° . 15. На відрізку AM побудуємо точку P так, щоб трикутник APB був рівнобедрений

(мал. 50). Тоді

BPK = PAB + PBA = 48°, PBM = 90° − 24° = 66° ,

PMB = 180° − (66° + 48°) = 66° ,

2. Зазначимо, що коренями рівняння не можуть бути числа 1 і − 1. Після

Нескладно помітити, що такими числами є m = 5, n = 2, k = 1. Тому

31(x + 2y) − 5(6x + 11y) = x + 7 y .

Оскільки і зменшуване, і від’ємник діляться на 31, то й різниця також ділиться на 31. 6. Спочатку перетворимо ліву частину нерівності, а потім використаємо співвідношення між середнім арифметичним і середнім геометричним:

OPQ = KNQ = KNO = DNO випливає подібність трикутників OQP і

OMN . Для визначення коефіцієнта подібності k цих трикутників порівняємо їхні відповідні висоти. Висота OD трикутника OMN дорівнює радіусу вписаного півкола, а висота OF трикутника OQP – половині цього радіуса.

Тому k = 2 , а NM = 2PQ. 8. Оскільки 11111 = 41 271 і 11111 – найменше число,

записане цифрою 1, яке ділиться на 41, то задане число записане 5n цифрами, де n – деяке натуральне число. 9. Розв’язки рівняння, якщо вони існують, містяться на проміжку [0; 2]. На цьому відрізку рівняння рівносильне такому:

x5 + 2x3 − 2x2 + x − 42 = 0 (x − 2)(x4 + 2x3 + 6x2 + 10x + 21)= 0 x = 2.

10. Зробимо це для точки A1 (мал. 52). Точки серединного перпендикуляра l , проведеного до відрізка A1 A2 , рівновіддалені від точок A1 і A2 . Цей

перпендикуляр поділяє всю площину на дві півплощини. Відстань точок півплощини, в якій міститься точка A1 , до точки A1 менша за їхню відстань до

точки A2 . Щоб знайти точки площини, відстань яких до точки A1 менша за їхню відстань до інших точок A3 і A4 , проведемо серединні перпендикуляри m і n до відрізків A1 A3 , A1 A4 відповідно і виберемо півплощини, яким належить точка A1 . Шуканою множиною точок буде трикутник з вершинами B1 (−3;1), B2 (2; − 4), B3 (2;1) , що є перетином трьох вказаних півплощин. Для точок

2

Більший корінь заданого рівняння обчислюється за формулою

Тому для коефіцієнтів a, b, c N повинна виконуватися нерівність 2 ≤ a + b ≤ 3.

виконується. 12. Число n треба шукати серед чисел, для яких 6n і 9n трицифрові числа, а 13n – чотирицифрове:

Утворимо число a :

a= 13n 106 + 9n 103 + 6n = 13009006n .

Удесятковому запису цього десятицифрового числа використовуються всі цифри десяткової системи числення. Тому a ділиться на 9. Оскільки число

118

13009006 взаємно просте з 9, то число n повинне ділитися на 9. Отже, число n треба шукати серед чисел 81, 90, 99, 108. Відповідь: 81. 13. Ні, не завжди. Приклад потрібного розфарбування наводиться на мал. 53.

Мал. 53

14. 1-й спосіб. З очевидної рівності

(ax + by + cz)x + (ax + by + cz) y + (ax + by + cz)z = 0

після перетворень маємо таку рівність:

bxy + cxz + axy + cyz + axz + byz = −ax2 − by2 − cz2 .

Далі перетворимо ліву частину заданої нерівності.

(a + ab + b)xy + (b + bc + c) yz + (c + ca + a)zx =

=xy ab + yz bc + zx ca − (bxy + cxz + axy + cyz + axz + byz) =

=xy ab + yz bc + zx ca − ax2 − by2 − cz2 =

=− ((x a − y b )2 + (y b − z c )2 − y b )2 )≤ 0.+ (z c1

2 2-й спосіб. Виконаємо перетворення в лівій частині нерівності і посилимо її,

використовуючи нерівність Коші:

(a + ab + b)xy + (b + bc + c)yz + (c + ca + a)zx =

= axy + abxy + bxy + byz + bc yz + cyz + czx + cazx + azx ≤

=axy + bxy + byz + cyz + czx + azx + ax2 + by2 + cz2 =

=(ax + by + cz)x + (ax + by + cz) y + (ax + by + cz)z = 0 .

3-й спосіб. Знову виконаємо перетворення в лівій частині нерівності і посилимо її, використовуючи нерівність Коші-Буняковського:

(a + ab + b)xy + (b + bc + c)yz + (c + ca + a)zx =

=axy + abxy + bxy + byz + bc yz + cyz + czx + cazx + azx =

=axy + bxy + byz + cyz + czx + azx + ( ax b y + b y cz + cz ax)≤

≤ axy + bxy + byz + cyz + czx + azx + ax2 + by2 + cz2 by2 + cz2 + ax2 =

=axy + bxy + byz + cyz + czx + azx + ax2 + by2 + cz2 =

=(ax + by + cz)x + (ax + by + cz) y + (ax + by + cz)z = 0 .

119

15. Відновити трикутник ABC можна виконуючи такі побудови (мал. 54). 1. Через точки M і H проведемо пряму h 2. Через точку H проведемо пряму a , перпендикуляру до прямої h . 3. Будуємо коло ω , яке проходить через точки M , Q і дотикається до прямої a . 4. Через точку Q і центр кола ω проводимо

A

P

пряму, що перетнеться з прямою h в точці A. 5. З точки A проводимо дотичні до кола ω , які перетнуться з прямою a в точках B і C . Нескладно довести, що трикутник ABC – шуканий. Примітка. Для побудови кола ω спочатку потрібно побудувати точку T , в якій воно дотикається до прямої a . Нехай L точка перетину прямих a і MQ . Оскільки LT 2 = LQ LM , то відрізок LT є

середнім геометричним відрізків LQ і LM . Його побудова наведена на мал. 55, де m, q, x – довжини відрізків LM , LQ, LT відповідно.

Х КЛАС