- •Задания на лабораторные работы по курсу «Алгоритмы задач в электроэнергетике»
- •Схемы сети:
- •4. Содержание лабораторных работ на 5 семестр
- •Пример выполнения лабораторных работ в среде MathCad Составление схемы замещения электрической сети, определение ее параметров и нагрузок в узлах
- •Составление элементарных матриц параметров режима сети и матриц соединений
- •Расчет матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений
- •Расчет режима электрической сети по линейным узловым и контурным уравнениям при задании нагрузок в токах
- •Расчет режима электрической сети по линейным узловым уравнениям с использованием метода Гаусса
- •Расчет режима электрической сети по узловым уравнениям в форме баланса токов при их решении методом ускоренной итерации
- •Расчет режима электрической сети по обращенным узловым уравнениям
- •Расчет режима электрической сети методом Ньютона
- •Расчет утяжеленного режима с применением матриц обобщенных параметров электрической сети
- •Схемы электрической сети с результатами расчета режимов
- •Приложения Приложение 1. Матрицы и их преобразования
- •Приложение 2. Список условных обозначений
- •Литература
Расчет режима электрической сети по обращенным узловым уравнениям
Организуем итерационный процесс на базе матричного уравнения:
, (25)
где - матрица узловых проводимостей без учета балансирующего узла,- вектор-столбец падений напряжений в узлах сети, относительно балансирующего узла,- вектор-столбец задающих токов (токи содержат свой знак).
Оставим в левой части уравнения (25) лишь вектор-столбец падений напряжений.
. (26)
Распишем как разность напряжений в узлахи напряжения в балансирующем узле:
. (27)
Приравняем правые части уравнений (26) и (27):
(28)
Выразим вектор-столбец напряжений в узлах:
(29)
Выразим через задающую мощность в узлах и напряжения в узлах схемы:
(30)
Подставим выражение (30) в выражение (29):
(31)
Обратную матрицу в выражении (31) обозначим через Z. Она носит название – матрица собственных и взаимных сопротивлений. Элементы матрицы узловых сопротивленийZijпредставляют собой коэффициенты частичного падения напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки вj-том узле на напряжение вi-том узле.
(32)
С учетом нового обозначения (32), уравнение (31) примет вид:
(33)
Итерационная процедура определения напряжения по обращенным уравнениям может быть ускорена, если на k-той итерации для расчета i-того неизвестного принимать из этой жеk-той итерации, а остальные неизвестные Ui+1 брать из (k-1) итерации, то есть вести процесс по методу ускоренной итерации. Так и поступим.
На основе уравнения (33) составим систему уравнений для итерационного процесса:
Точность итерационного процесса будет равна: ε= Ui+1-Ui ≤0.04 кВ, где i- номер итерации.
Вычислим обратную матрицу узловых проводимостей .
Зададимся нулевым приближением узловых напряжений и рассчитаем первую итерацию:
Первая итерация:
Сравнивая эти значения с рассчитанными напряжениями в первом приближении по методу узловых уравнений в не обращенной форме, можно сделать вывод, что данный метод дает уже в первом приближении значения узловых напряжений с очень хорошей точностью.
Вторая итерация:
Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:
Рисунок 3
На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.
Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:
Определяем токи в ветвях схемы:
Определяем падения напряжения в ветвях схемы:
Определяем потоки мощности в ветвях схемы:
Определим потери мощности в ветвях сети:
Определяем суммарные потери мощности в ветвях:
Определим токи в узлах схемы:
Определим мощности в узлах сети:
Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.
Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет как по напряжению, так и по мощности.
Расчет режима электрической сети методом Ньютона
Итерационный процесс будет базироваться на уравнении:
, (34)
где - матрицу узловых проводимостей без учета балансирующего узла,- вектор-столбец падений напряжений, относительно балансирующего,- вектор-столбец задающих токов (токи содержат при себе свой знак).
Распишем как разность напряжений в узлахи напряжения в балансирующем узле:
. (35)
Выразим через задающую мощность в узлах и напряжения в узлах схемы:
(36)
Подставив уравнения (36) и (35) в уравнение (34) получаем:
(37)
Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, запишем выражение для i-того узла схемы в общем виде:
(38)
где j- количество узлов в схеме, i- номер узела в сети.
Запишем систему уравнений для нашей сети и приравняем ее вектор-функции W(U):
(39)
Проводимость между i-тым узлом и балансирующим будет находиться по формуле:
(40)
где n- количество узлов в схеме.
Или при вычислении через матрицув начале расчета.
Составим матрицу Якоби, взяв частные производные по dUjот каждой i-той строчки системы (39) :
(41)
Тогда итерационная формула запишется в виде:
, (42)
где
. (43)
Точность проверяется следующим образом:
(44)
Зададимся начальным приближением напряжений в узлах и рассчитаем приводимости :
Рассчитаем первую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах в первом приближении W1:
Теперь берем частные производные :
Находим напряжения в первом приближении по формуле :
Аналогично рассчитаем вторую итерацию, по результатам которой получим вектор-функцию небаланса токов в узлах во втором приближении W2:
Снова берем частные производные и получаем обратную матрицу:
Найдем напряжения уже второго приближения согласно формуле :
Как и ожидалось, метод Ньютона дал одну из самых быстрых сходимостей итерационного процесса. Можно смело утверждать, что его основное преимущество — быстрая сходимость, однако он более трудоёмок на каждой итерации.
Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где I – номер итерации:
Рисунок 4
На основе проведенного итерационного процесса, производим расчет режима нашей сети.
Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:
Определяем токи в ветвях схемы:
Определяем падения напряжения в ветвях схемы:
Определяем потоки мощности в ветвях схемы:
Определим потери мощности в ветвях сети:
Определяем суммарные потери мощности в ветвях:
Определим токи в узлах схемы:
Определим мощности в узлах сети:
Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не должен превышать 1%.
Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет.