- •Кафедра физики
- •Общие методические указания
- •Самостоятельная работа по учебным пособиям
- •Выполнение контрольных работ
- •Рабочая программа
- •Тема 1.5. Элементы релятивистской динамики
- •Тема 1.6. Физика колебаний и волн
- •Статистическая физика и термодинамика
- •Тема 2.1. Молекулярно-кинетическая теория
- •Тема 2.2. Основы термодинамики
- •Тема 2.3. Статистические распределения
- •Электричество и магнетизм
- •Тема 3.1. Электростатика.
- •Тема 3.2. Постоянный электрический ток
- •Тема 3.3. Магнитное поле
- •Тема 3.4. Электромагнитное поле
- •Квантовая оптика
- •Тема 5.9. Элементы квантовой электроники
- •Тема 5.10. Фазовые равновесия и фазовые превращения
- •Состояние вещества
- •Тема 6.1. Вещество в различных условиях
- •Современная физическая картина мира
- •Контрольная работа № 2
- •Электромагнетизм
- •Волновая оптика
- •Квантовая теория
- •Учебные материалы по разделам курса физики
- •Электромагнетизм основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •П. Волновая оптика основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •Ш. Квантовая теория основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •Основные физические постоянные
- •Удельное сопротивление проводников (при 00с, мкОм.М)
- •Приложение
- •443100, Г.Самара, ул.Молодогваржейская, 244. Главный корпус
Примеры решения задач
Пример 1
Потенциометр с сопротивлением R = 100 Омподключен к батарее, ЭДС которой = 150 Ви внутреннее сопротивлениеr = 50 Ом.Определить показание вольтметра с сопротивлениемRv = 500Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?
Дано: Решение
R = 100 Ом V
= 150 В
r = 50 A
Rv = 500 Ом B
UI, U2 = ?
Рис.2
Показание U1вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис.2) определяется по формуле
U1 = I1R1, (1)
где I1 – сила тока в неразветвленной цепи; R1–сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I1найдем по закону Ома для всей цепи:
, (2)
где Re– сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление Re есть сумма двух сопротивлений:
. (3)
Сопротивление R1параллельного соединения может быть найдено по формуле
откуда
R1=.
Подсчитав числовые значения, найдем
.
Подставив в формулу (2) выражение внешнего сопротивления Rvиз равенства (3), определим силу тока:
Если подставить значения I1иR1в формулу (1), то можно определить показания вольтметра:
U1 = 1,03.45,5В = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками АиВпри отключенном вольтметре равна произведению силы токаI2на половину сопротивления потенциометра:
Подставляя в эту формулу числовые значения, получим
Проверка размерности:
Пример 2
Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Омнарастает в течение времениt = 2 спо линейному закону отI0=0 доI= 6 А (рис.3). Определить теплотуQ1, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, иQ2– за вторую, а также найти отношение Q2/Q1.
Дано:
t = 2 с I0 = 0 A I = 6 А Q1, Q2, Q2/Q1-?
|
Решение
I, A 6
3 0 1 2 t,c
Рис.3
|
Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I2Rtсправедлив для случая постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде:
dQ = I2Rdt. (1)
Здесь сила тока Iявляется некоторой функцией времени. В нашем случае
I = k t, (2)
где k– коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т.е.
С учетом (2) формула (1) примет вид
. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах отt1доt2:
При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t1=0, t2=I cи, следовательно,
При определении теплоты Q2пределы интегрированияt1 = I c, t2 = 2 c, тогда
Дж.
Следовательно, Q2/Q1 = 420/60=7, т.е. за вторую секунду теплоты выделится в 7 раз больше, чем за первую.
Проверка размерности:
Q = .
Пример 3
Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивление и гальванометра (рис.4). В этой цепи R1 =100 Ом, R2 =50 Ом, R3 =20 Ом. ЭДС элемента = 2ВГальванометр регистрирует токI3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС2второго элемента. Сопротивление гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Дано: Указание
R1=100Ом В 1 С
R2=50 Ом I1 + - I2
R3=20 Ом
1=2 В A F D
I3 = 50 Ма I3 R1 R2
2 = ? R3 Г
+
Н 2 G
Рис.4
Для расчета разветвленных цепей применяют законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа.Алгебраическая сумма токов, сходившихся в узле, равна нулю, т.е.
.
Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цеп равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в контуре:
.
На основании этих законов можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и ЭДС). Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать следующие правила:
1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать:
а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.
2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла – отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.
3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком «плюс», если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведениеIRвходит в уравнение со знаком «минус»; б) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае ЭДС входит в уравнение со знаком «минус».
Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.
Решение
Выберем направления токов, как они показаны на рис.4, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.
По первому закону Кирхгофа для узла Fимеем
I1 – I2 – I3 = 0 (1)
По второму закону Кирхгофа имеем для контура АВСDFA:
-I1R1 – I2R2 = -1.
или после умножения обеих частей равенства на –1
I1R1 + I2R2 = 1. (2)
Соотвественно, для контура AFGHA
I1R1 + I3R3 = -2. (3)
После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:
-I1 – I2R2-0,05 = 0;
50I + 25I2 = I
100I1+ 0,05.20 = -2.
Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные – в правые, получим следующую систему уравнений:
I1 – I2 = 0,05;
50I1 + 25I2 = I;
100I1 + 2 = -1.
Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию. Задачи требуется определить только одно неизвестное из трех, то воспользуемся методом определителей.
Составим и вычислим определитель системы:
Составим и вычислим определитель 2:
2=
Разделив определитель 2 на определитель, найдем числовое значение ЭДС2:2= - 300/(-75) = 4 В.
Пример 4
Ток 100 А течет по коническому медному проводнику, размеры которого показаны на рис.5. Определить плотность тока и напряженность электрического поля на торцах проводника.
Дано: Решение
I= 100 A
j, Е = ? а = 6 мм у
D=10 мм
х
=20 мм
Рис.5
Диаметр проводника в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от меньшего сечения, равен
Плотность тока и напряженность поля в произвольном сечении
Подставив исходные данные для левого и правого сечений, получим
а) j = 3,5.106 A/м2; Е = 6,2.10-2 В/м;
б) j =1,3.106 А/м2; Е = 2,2.10-2 В/м.
Проверка размерности:
Пример 5
В цепь, состоящую из аккумулятора и сопротивления R=10Ом,включают вольтметр, сначала последовательно, затем параллельно сопротивлениюR. Оба показания вольтметра одинаковы. Сопротивление вольтметраRv=1000 Ом.Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?
Дано: Решение:
R = 10 ОмТак как показания вольтметра одинаковы,
Rv = 1000 Омзначит, падение напряжения на вольтметре в
U1 = U2 первом случае (последовательное соединение),
r = ?равно падению напряжения на вольтметре и
параллельно включенном сопротивлении во
втором случае.
Подсчитаем силу тока и падение напряжения на вольтметре в обоих случаях. Пусть - ЭДС аккумулятора,r– его внутреннее сопротивление. Тогда:
а) ток в цепи при последовательном включении вольтметра
падение напряжения на вольтметре
б) ток в цепи при параллельном включении вольтметра
падение напряжения на вольтметре
Условие U1=U2дает
Откуда
Проверка размерности:
r=.
Пример 6
Два параллельных бесконечно длинных провода DиС, по которым текут в одном направлении электрические токи силойI = 60 А, расположены на расстоянииd = 10 смдруг от друга. Определить магнитную индукциюполя, создаваемого проводниками с током в точкеА(рис.6), отстоящей от оси одного проводника на расстоянииr1 = 5 cм, от другого– r = 12см.
Дано: Решение
I= 60 A
d = 0,1 м А
r1=0,05 м r1
r2 = 0,1 м Ic
В = ? d
I D
Рис.6
Для нахождения магнитной индукции в точкеАвоспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направление магнитной индукции полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
Абсолютное значение магнитной индукции Вможет быть найдено по теореме косинусов:
(1)
где - угол между векторами.
Значение магнитных индукций (здесь и далее, если не указана среда, имеется в виду, что проводник находится в вакууме и, следовательно, =1),выражаются соответственно через силу токаIи расстоянииr1 и r2 от проводов до точкиА:.
Подставляя выражения В1 иВ2 в формулу (1) и выносяза знак корня, получим:
(2)
Вычислим cos.Заметив, что = DAC(как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем
d2=,
где d – расстояние между проводами. Отсюда
После подстановки числовых значений получим
Подставляя в формулу (2) значения входящих величин, определяем искомую индукцию:
Проверка размерности:
.
Пример 7
По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной а= 10смтечет ток силойI = 100 A. Найти магнитную индукциюв точке 0 пересечения диагоналей квадрата.
Дано: Решение
a= 0,1 м
I= 100 А
В = ? I
0 o
a1 r0 a2
a
Рис.7
Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (рис.7). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:
(1)
В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции будут направлены перпендикулярны плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображения симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: В1=В2=В3=В4. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством:
В = 4В1. (2)
Магнитная индукция В1поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой
(3)
Учитывая, что 2=-1и cos2= -cos1(рис.9), формулу (3) можно переписать в виде
.
Подставив это выражение В1в формулу (2), найдем
.
Заметив, что r0 = a/2иcos1=( так как1=/4), получим
.
Подставив в эту формулу числовые значения физических величин, произведем вычисления:
.
Проверка размерности:
.
Пример 8
Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силойI = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле(В = 1 Тл). Определить работуА, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 1 = 900;2)2 = 30. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Дано Решение
:
а = 0,1 м а
I = 100 Ф I
B = 1 Тл
1 = 900
2 = 30 a I
А1, А2 - ?
Рис.8
Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил (рис.8)
М = mBsin.
где m– магнитный момент контура;В – магнитная индукция; - угол между вектором ,направленным по нормали к контуру, и вектором .
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М=0), а значит, = 0, т.е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной формеdA = Md. Подставив сюда выраженияМпо формуле (1), и учтя, что Pm = IS = Ia2, гдеI – сила тока в контуре;S = a2– площадь контура, получимdA = IBa2sind.Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:
. (2)
Работа при повороте на угол 1=900
(3)
Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 A, B = 1 Тл, a = 10 см=0,1 м и подставим в (3):
А = 100.1.(0,1)2 = 1 Дж.
Работа при повороте на угол 2= 30. В этом случае, учитывая, что угол2мал, заменим в выражении (2) sin :
Выразим угол 2в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем
А2 = .1.(0,1)2.(0,0523)2Дж = 1,37.10-3Дж = 1,37 мДж.
Проверка размерности:
=А.Тл.м2=.
Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура равна произведению силы тока на изменение магнитного потока через контур: А=IФ=(Ф1–Ф2),гдеФ1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;Ф2 - то же после перемещения.
Если 1= 900, тоФ1 = ВS, Ф2 = 0. Следовательно,A=IBS=IBa2, что совпадает с полученным выше результатом (3).
Пример 9
Тонкое кольцо радиусом 10 см несет на себе равномерно распределенный заряд. Кольцо равномерно вращается с частотой 1200 об/минвокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Определить заряд на кольце, если индукция магнитного поля в центре кольца равна3,8.10-9 Тл.
Дано Решение
R = 0,1 м Магнитная индукция в центре
n = 1200 об/мин = 20 с-1 кругового тока
B = 3,8.10-9 Тл
q= ?
.
Сила тока по определению
I = q/t.
За один оборот кольца, т.е. при t = Тсила тока
где .
Тогда
Полагая в формуле скорость вращения окружности кольца r, где = 2 n, получим искомый заряд
.
Проверка размерности:
q =
Пример 10
Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящегося на расстоянииb = 20 cмот его середины. Сила тока, проходящего по проводу,I = 30 A,длина провода.
Дано: Решение
b= 0,2м I a0 a at
I = 30 A
ℓ0 = 0,6 м
=? ℓ dl
b r
A
Рис.9
Физическую систему составляют отрезок проводника с током и магнитное поле этого тока. Для определения индукции магнитного поля воспользуемся принципом суперпозиций.
Так как точка А,в которой необходимо определить расположена симметрично относительно концов провода, то можно определить - индукцию от каждой половины провода и умножить на 2, т.е.
. (1)
Индукцию магнитного поля найдем следующим образом: на расстоянииот середины провода выделим элемент с токомd(рис.9), индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа,
(2)
Элемент с током dи рассматриваемая точкаАнаходятся в одной плоскости, следовательно, выражение (2) можно записать в виде
, (3)
где - угол междуdи(рис.11). Учитывая, что
,
получаем
(4)
В связи с тем, что векторы индукции магнитного поля, создаваемого элементами с током d, совпадают по направлению (направлен от нас), результирующее значение можно найти, интегрируя выражение (4):
(5)
где (6)
Индукция магнитного поля, создаваемого всем проводником, с учетом выражений (1), (5) и (6) будет равна
.
Проверка размерности:
.
Пример 11
Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностьюН=103А/м. Определить радиусRкривизны траектории и частотуnобращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.
Дано Решение
U = 400 В Радиус кривизны траектории электрона определим
H = 103 A/м исходя из следующих соображений: на движущийся
в магнитном поле электрон действует сила Лоренца
R, n =? (действием силы тяжести можно пренебречь).
Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать Fл = man, гдеan– нормальное ускорение или
(1)
где е– заряд электрона, скорость электрона,В– магнитная индукция,m- масса электрона,R– радиус кривизны траектории, -угол между направлением вектора скоростии вектором( в данном случаеи = 900, sin = 1).
Из формулы (1) найдем
R = m/ .(2)
Входящий в равенство (2) импульс может быть выражен через кинетическую энергию Тэлектрона:
. (3)
Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством
.
Подставив это выражение Тв формулу (3), получим:
.
Магнитная индукция Вможет быть выражена через напряженностьНмагнитного поля в вакууме:
В = 0Н.
где 0 – магнитная постоянная.
Подставив найденные выражения Виmв формулу (2), определим
. (4)
Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ: m=9,11.10-31 кг; - 1,60.10-19 Кл; U= 400 В; 0 = 4.10-7 Гн/м; H = 103 А/м. Подставим эти значения в формулу (4) и произведем вычисления:
Для определения частоты обращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:
n = /R 2. (5)
Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим
Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены в единицах СИ. Подставим их и произведем вычисления:
Проверка размерности:
Пример 12
Электрон, разогнанный в электрическом поле напряжением 20 кВ,влетает в однородное магнитное поле с индукцией0,1 Тл. Вектор скорости образует угол750с направлением вектора индукции. Определить форму траектории.
Дано: Решение
U = 20 кВ
В = 0,1 Тл
= 750
R, h = ?
Рис.10
В поле электрон приобретает кинетическую энергию 20 кэВ, которая много меньше энергии покоя (511 кэВ), следовательно, в данной задаче это нерелятивная частица. Разложим скорость электрона на две составляющие: вдоль силовой линии=, поперечная составляющая =(рис.10). В продольном направлении на электрон никакие силы не действуют, поэтому вдоль оси аппликат электрон будет двигаться равномерно согласно уравнению
Z = z0 + t=z0 + .
В поперечном направлении (т.е. в плоскости xy) на электрон действует сила Лоренца, вследствие чего он движется в этой плоскости по окружности с радиусом
и с периодом Т = 2meB. В пространстве электрон движется по винтовой линии, которая навивается на силовые линии. Радиус окружностиRуказан выше. Шаг винта
.
Подставим исходные данные. Получается винтовая линия, навивающаяся на силовые. Параметры винтовой линии R = 23 мм, h =39 мм.
Проверка размерности:
Пример 13
Проводник длиной = 1 м, по которому проходит токI = 2A, согнут в форме полукольца и расположен в плоскости, перпендикулярно к направлению индукции магнитного поляВ. Найти силу, действующую на этот проводник в магнитном поле. Как изменится величина этой силы, если полукольцо полностью разогнуть (остальные условия остаются теми же). Индукция магнитного поляВ = 10-5 Тл.
Дано: Решение
= 1м + + y+ + + + + +
I = 2A + + + + + + +l +
В = 10-5 Тл 1 + ++
F, F1 = ? + +а da+ + +
1
+ + 0+ +х
а) б)
Рис.11
Физическую систему составляет проводник с током и созданное им магнитное поле. На элемент проводника , помещенный в магнитное поле индукцией, действует сила, которую определяют по формуле Ампера
. (1)
В данном случае угол между dl и B равен (рис.11) и формулу (1) можно написать в видеdF = IBdℓ. Cилы, действующие на каждый элемент проводника с током, направлены по радиусам полукольца и лежат в одной плоскости. Выбрав координатные осиxy, как показано на рис.11а, найдем проекции сил:
dFx = dFsin; dFy = dFcos.
Результирующая сила, действующая на все элементы полукольца, будет определяться силой Fу, так как из соображения симметрии следует
.
значит,
. (2)
Элемент дуги dl = ld/, а угол изменяется от -/2 до/2. Тогда
. (3)
Подставляя числовые значения в выражение (2), получаем F = 1,27.10-5H.
Если полукольцо полностью разогнуть, то силы, действующие на каждый элемент проводника, будут параллельным между собой (рис.11,б). Поэтому результирующая система, действующая на весь проводник,
. (4)
Подставляя в выражение (4), получим F1=210-5H. Сравнивая числовые значения силF иF1, можно сделать вывод, что они зависят от формы проводника.
Проверка размерности:
.
Пример 14
Двухпроводная система состоит из коаксиально расположенных проводника радиусом RI = 2 мм и тонкостенной цилиндрической трубыR2 = 2 см (рис.12). Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстоянияхr1 = 3 см, r2 = 1 смот оси системы, при силе токаI = 10 А. Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадкуS, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью системы и одной из образующих цилиндра длиныl = 1 м. Полем внутри металла пренебречь. Всю систему считать практически бесконечно длинной.
Дано: Решение
R1 = 2.10-3 м dS=ldr
R2 = 2.10-2 м I
r1 = 3.10-2 м I
r2 = 10-2 м
I = 10 A
l = 1 м L L1
В1, В2, Ф - ?
2Rl
2R2
Рис.12
Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направления линий индукции аналогичны направлению тока в осевом проводнике. В соответствии с этим выберем направление обхода контуров L1 и L2 так, чтобы оно составляло правовинтовую систему с осевым током I. Тогда во всех точках контура L2 = 0, где- угол междуи. Тогда во всех точках контураL1уголтакже постоянен и равен 0 или.
Из осевой симметрии следует, что модуль вектора В во всех точках каждого из контуров постоянен. Вычислим циркуляцию В1по замкнутому контуруL. Следовательно, левую часть равенства
(1)
можно записать в виде
(2)
С контуром L2cцеплен только осевой ток, т.е. = I, поэтому при подстановке второго из уравнений (2) в равенство (1) получимВ2r=0I, откуда приR1 r R2
B = 0I/(2r). (3)
С контуром L1сцеплены токи, текущие по осевому проводнику, и по трубе. Так как они направлены в разные стороны, то =0, поэтому при подстановке первого из уравнений (2) в равенство (1) получим
откуда при r R2
В = 0
При r = r2 = 1 cм из выражения (3) получимВ2 = 2.10-4 Тл.
При r = r1 R2получимВ = 0.
При расчете магнитного потока сквозь площадку Scледует учесть, что согласно условию полем внутри металла (r2 < R2)можно пренебречь. Индукция поля в пределах отR1 доR2 рассчитывается по выражению (3). Вектор положительной нормали к площадиSпри заданном направлении тока нормален плоскости рисунка и сонаправлен с векторомВ, поэтому в выражении
(4)
BdS = Bldr. Тогда, подставив выражение (3) в (4), получим
.
В подынтегральном выражении переменной является только расстояние r, изменяющееся в пределах отR1 до R2, и
Произведя интегрирование, получим
.
Проверка размерности:
.
Пример 15
В центре соленоида (длина l =70 см,диаметр витковd=7 см, число витковN1 = 300)расположена катушка, состоящая изN2 = 20витков площадьюS = 0,3 см2 каждый. Плоскость витков катушки составляет угол = 370 c осью соленоида (рис.13). По обмотке соленоида течет ток силойI1 = 4 A, по обмотке катушки – ток силойI2 = 0,1 A. Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку в начальном положении; 2) работу, совершаемую силами поля при повороте катушки до положения устойчивого равновесия; 3) работу внешних сил при перемещении катушки (после поворота) из центра соленоида в середину одного из оснований.
Дано: Решение
= 0,7 м
d = 7.10-2 м
N1=300 d
N2 = 20
S = 0,3.10-4 м2 S
= 370
I1 = 4 A
I2 = 0,1 A
Рис.13
M, A, A =?
Индукция магнитного поля в центре длинного соленоида
В1= 0I1N1/.(1)
Заменив векторное уравнениескалярным соотношением и, подставив в него выраженияиВ, получим
М = .
Так как при обоих возможных значениях угла из выражения
sin 1 = cos, то
В начальном положении поток, пронизывающий один виток катушки,
Ф1 = В1Scos1,
причем в зависимости от 1cos1 = sin..В положении устойчивого равновесия потокФ2 = В2S. Подставляя выражение потоковФ1и Ф2в
А = I(Ф2 – Ф1)
И учитывая (1) и то, что катушка содержит N2 витков, получаем
А1 = В1SI2N2(1sin) = 0I1I2N1N2S(1sin)/.
Если 1=/2 - ,, тоА 1 = 0,5.10-7 Дж; если1 = /2+, тоА1 = 2,1.10-7 Дж.
Индукция поля в середине основания длинного соленоида
В2 = 0I1N1 / 2.(2)
Cледовательно, при перемещении катушки из центра соленоида в середину основания его поток, пронизывающий один виток, изменяется от Ф1 = В1SдоФ2 = В2S.
Работа внешних сил
А = - А2 = I2N2(Ф1 –Ф2).
Подставим выражения для Ф1 иФ2 с учетом (1) и (2) в (3)
А = 0I1I2N1N2S / (2)=6,5.10-8 Дж
Проверка размерности: А = А.Вб = А.В.с = Дж.
Пример 16
В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотойn = 10 c-1вращается рамка, содержащаяN= 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамкиS = 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукцииi, соответствующее углу поворота рамки в300.
Дано: Решение
В = 0,1 Тл
n = 10 c-1
N = 1000
S = 1,5.10-2 м2
= 300
i = ?
S
Рис.14
Мгновенное значение ЭДС индукции iопределяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:
где - потокосцепление.
Потокосцеплениесвязано с магнитным потокомФи числомNвитков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением
= NФ.
Подставляя выражения в формулу (1), получим
(2)
При вращении рамки (рис.14) магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времениt,определяется соотношениемФ = ВScost, гдеВ – магнитная индукция,S - площадь рамки; -круговая (или циклическая) частота.
Подставив в формулу (2) выражение Фи продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции
i = NBS sin t. (3)
Круговая частота связана с частотой вращенияnсоотношением
= 2n.
Подставляя значения в формулу (3), получим
(4)
Выразив значения величин, входящих в эту формулу, в единицах СИ t=10 c-1, N = 103, B = 0,1 Тл, S = 1,5.10-2 м2, t = 300 = 6 и подставив их в формулу (4), произведем вычисления:
i= 2.3.14.10.103.0,1.1,5.10-2.0,5В= 47,1В.
Проверка размерности:
.
Пример 17.
Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N= 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе токаI= 4 А магнитный потокФ=6 мкВб.Определить индуктивностьLсоленоида и энергиюWмагнитного поля соленоида.
Дано: |
Решение
|
N= 1200 I= 4 А Ф=610-6 Вб
|
Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением и силой токаI соотношением . (1) Потокосцепление . (2) |
L=? W=? |
Тогда индуктивность
. (3)
Выразив все величины в единицах СИ, подставляя их значения в формулу (3) и произведем вычисления:
.
Энергия магнитного поля соленоида может быть вычислена по формуле
.
Подставляя в эту формулу выражение для индуктивности (3) и произведя вычисления, получим:
Проверка размерности:
.
Пример 18.
В однородном магнитном поле с напряженностью Hрасположен плоский проволочный виток таким образом, что его плоскость перпендикулярна к силовым линиям. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, протекающий через гальванометр при повороте витка, равенq. На какой угол повернули виток? Произвести численный расчет для случаяq = 9,5.10-3 Кл, площадь витка S = 0,1 м2, сопротивление витка R = 2 Ом.
Дано: Решение
q = 9,5.10-3 Кл
H = 105 А/м
S = 0,1 м2
R = 2 Ом
= ?
G
Рис.15
При повороте витка в нем возникает ЭДС индукции . На основании закона Фарадея
(1)
где Ф– изменение магнитного потока через плоскость витка, происшедшее за времяt..С другой стороны, по закону Ома
(2)
где q –заряд, протекший через поперечное сечение провода, из которого сделан виток (через гальванометр), за времяt.
Сравнивая равенства (1) и (2), получаем
(3)
Подсчитаем теперь изменение магнитного потока Ф(рис.15). В начальный момент, когда плоскость витка была перпендикулярна к силовым линиям магнитного поля, магнитный поток, пронизывающий плоскость витка, был равен
Ф1 = 0НS, (4)
где 0– магнитная постоянная. После поворота витка на уголмагнитный поток изменился до величины
Ф2 = 0НScos . (5)
Следовательно,
Ф = Ф2 – Ф1 = -0НS(1 - cos).(6)
Подставив значения Ф из равенства (6) в уравнение (3) и учитывая, что в данном случаеq = q, получим
Подставим числовые значения, учитывая, что надо выражать в вольтах,Ф – в веберах,Н– в амперах,S- в м2, получимcos = - 0,5,откуда = 1200
Проверка размерности:
.
Пример 19
Проволочный виток, имеющий площадь S= 102см2, разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостьюС = 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью5.10-3 Тл/с. Определить заряд конденсатора.
Дано: Решение
S= 10-2 м2
С = 10 мкФ
С Н
q= ?
Рис.16
Рассмотрим рис.16. На основании закона электромагнитной индукции Фарадея
Заряд конденсатора равен
q = C..
Окончательно получаем абсолютную величину заряда
Проверка размерности: .
Пример 20
В однорордном магнитном поле с индукцией Вперпендикулярно силовым линиям расположен стержень длинойl. Стержень вращается с угловой скоростьювокруг оси, проходящей через конец стержня и параллельно силовым линиям поля. Найти разность потенциалов между концами стержня.
Дано: Решение
B
L Е
= ?
х
х
а) б)
Рис.17
Стержень движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, и в любом его малом участке возникает элементарная ЭДС
= Вх,
где х – длина участка и, его скорость (рис.17а).
Разность потенциалов на концах есть сумма элементарных электродвижущих сил. Поскольку
= х,
то
= В хх.
Суммирование можно произвести двумя методами:
а) интегрированием.Имеем
.
б) графически. Строим график напряженности индуцированного поля
Е = х = Вх.
Поскольку это линейная функция, то ее график имеет вид, показанный на рис.17б. Разность потенциалов численно равна площади под графиком:
Проверка размерности:
Пример 21
Электрический двигатель работает от аккумуляторной батареи с ЭДС 12 В. При полном затормаживании якоря по цепи течет ток10А. Какова мощность двигателя при номинальной нагрузке, если сила тока при этом равна3А?
Дано: Решение
= 12 В Сила тока в цепи
I0 = 10 A где - ЭДС аккумуляторной батареи; R - сопротивление
I = 3 A цепи (включая внутреннее сопротивление аккумуляторов) и
P = ? инд - ЭДС индукции, возникающая в якоре при его вращении.
При заторможенном якоре инд = 0 и сила токаI = /R, откуда находим сопротивление цепи. Мощность двигателя:
.
Подставляя исходные данные в расчетную формулу, получим:
Проверка размерности: Р = А.В = Вт.