- •Кафедра физики
- •Общие методические указания
- •Самостоятельная работа по учебным пособиям
- •Выполнение контрольных работ
- •Рабочая программа
- •Тема 1.5. Элементы релятивистской динамики
- •Тема 1.6. Физика колебаний и волн
- •Статистическая физика и термодинамика
- •Тема 2.1. Молекулярно-кинетическая теория
- •Тема 2.2. Основы термодинамики
- •Тема 2.3. Статистические распределения
- •Электричество и магнетизм
- •Тема 3.1. Электростатика.
- •Тема 3.2. Постоянный электрический ток
- •Тема 3.3. Магнитное поле
- •Тема 3.4. Электромагнитное поле
- •Квантовая оптика
- •Тема 5.9. Элементы квантовой электроники
- •Тема 5.10. Фазовые равновесия и фазовые превращения
- •Состояние вещества
- •Тема 6.1. Вещество в различных условиях
- •Современная физическая картина мира
- •Контрольная работа № 2
- •Электромагнетизм
- •Волновая оптика
- •Квантовая теория
- •Учебные материалы по разделам курса физики
- •Электромагнетизм основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •П. Волновая оптика основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •Ш. Квантовая теория основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения, входящие в контрольную работу № 2
- •Основные физические постоянные
- •Удельное сопротивление проводников (при 00с, мкОм.М)
- •Приложение
- •443100, Г.Самара, ул.Молодогваржейская, 244. Главный корпус
Примеры решения задач
Пример 34
Определить импульс ри кинетическую энергиюТэлектрона, движущегося со скоростью = 0,9 с, гдес – скорость света в вакууме.
Дано: Решение
= 0,9 с Импульсом частицы называется произведение
р, Т - ? частицы на ее скорость:
р = m. (1)
Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле
(2)
где m– масса движущейся частицы; m0– масса покоящейся частицы; c– скорость частицы, выраженная в долях скорости света.
Заменив в формуле (1) массу mее выражением (2), и приняв во внимание, что = с , получим выражение для релятивистского импульса
(3)
Подставим числовые значения величин, входящих в формулу (3):
В релятивистской механике кинетическая энергия Тчастицы определяется как разность между полной энергиейЕи энергией покояЕ0этой частицы, т.е.Т = Е – Е0. Так какЕ = mc2иЕ0 = m0c2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получим:
или
Подставив числовые данные, выраженные в единицах СИ, найдем.Во внесистемных единицах энергия покоя электронаm0c =0,51МэВ.Подставив это значение в формулу (4), получим
Т = 0,52.1,29 МэВ = 1,06.10-13 Дж.
Пример 35
В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол = 900. Энергия рассеянного фотона2 = 0,4 МэВ.Определить энергию фотона до рассеяния.
Дано: Решение
2 = 0,4 МэВ Для определения энергии первичного фотона
= 900 воспользуемся формулой Комптона:
1 = ?
где - 2 - 1 –изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне;h– постоянная Планка;m0– масса покоя электрона;с– скорость света в вакууме;- угол рассеяния фотона.
Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) заменим в ней на2 - 1; 2) выразим длины волн1и2через энергии1 и2 соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой = hc/; 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы нас.
Тогда получим: (1)
Сократим на hcи выразим из полученной формулы искомую энергию:
(2)
где Е0 = m0c2– энергия покоя электрона.
Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Взяв из справочных таблиц значение энергии покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах и подставив числовые данные, получим:
Пример 36
Угол рассеяния фотона в эффекте Комптона равен угол отдачи электрона -..Определить энергию фотона до рассеяния. Сделать расчет для,= 900, = 300.
Решение
Дано:у m
, = 900,
= 300.
Еf - ?
x
P
Рис.26
Задача решается с помощью законов сохранения энергии и импульса (рис.26):
;
где и- энергия фотона до и после столкновения с электроном;Е0 ир- энергия покоя и импульс электрона. Из этой системы следует исключить неизвестные величиныир. Имеем
= pcsin / sin ,
что приводит к системе двух уравнений:
Ef = pcsin( +)/sin.
Исключая из этой системы импульс электрона и отдачи р, получим
После несложных, но длинных преобразований получим искомое выражение для энергии фотона до рассеяния.
.
Пример 37
При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом длиной волны 385и540 нмобнаружили, что соответствующие максимальной скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в два раза. Найти работу выхода электрона с поверхности, выразив ее в электрон-вольтах.
Дано: Решение
1 = 385 нмВ соответствии с уравнением Эйнштейна для
2 = 540 нм внешнего фотоэффекта можно записать:
1max /2max = 2
A= ?
или (1)
(2)
Разделив выражение (1) на (2), получим
откуда следует, что работа выхода
(3)
Проверка размерности:
Произведя вычисления по формуле (3) и принимая во внимание, что 1 эВ = 1,6.10-10 Дж, окончательно получимА = 2 эВ.
Пример 38
В опыте Столетова заряженная отрицательная цинковая пластинка облучалась светом от вольтовой дуги. До какого максимального потенциала зарядится цинковая пластинка, если она будет облучаться монохроматическим светом длиной волны = 324 нм(ближний ультрафиолетовый свет)? Работа выхода электронов из цинка равнаАвых=3,74 эВ.
Дано:
|
Решение |
= 324 нм Авых=3,74 эВ |
Согласно формуле Эйнштейна, максимальная кинетическая энергия вылетевших фотоэлектронов равна разности энергии фотона и работы выхода. |
= ? |
Вылет электронов прекратится, когда потенциальная энергия электрона в задерживающем поле станет равной его кинетической энергии
откуда
При подстановке энергии кванта переводим ее в электрон-вольты, тогда формула упрощается:
= 1,74 В
Проверка размерности:
Пример 39
При освещении вакуумного фотоэлемента желтым светом ( = 600 нм) он заряжается до разности потенциаловV=1,2 В. До какой разности потенциалов зарядится фотоэлемент при освещении его фиолетовым светом (2 = 400 нм)?
Дано: Решение
1= 600 нм Запишем уравнение Эйнштейна для обеих длин
U1 = 1,2 B волн:
2 = 400 нм
U2 = ?
откуда
Проверка размерности:
Пример 40
Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.
Дано: Решение
n1 = 2Для определения энергии фотона воспользуемся
n2 = 4сериальной формулой для водородоподобных ионов:
= ?
где - длина волны фотона;R –постоянная Ридберга; Z– заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2– номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 иn2– главные квантовые числа).
Энергия фотона выражается формулой:
= hc/.
Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:
Так как величина Rhcесть энергия ионизацииЕiатома водорода, то
.
Вычисления выполним во внесистемных единицах: Еi = 13,6 эВ; Z = 1) заряд ядра атома водорода в относительных единицах, где за единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона);
n1 = 2; n2 = 4.
Пример 41
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройлядля двух случаев: 1)U1 = 51 B; U2 = 510 кВ.
Дано: Решение
U1 = 51 B Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее
U2 = 510 кВ импульсари определяется формулой
1, 2 = ? = h/p, (1)
где h– постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
(2)
где m0– масса покоя частицы.
В релятивистском случае
(3)
где Е0 = m0c2– энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется так:
а) в нерелятивистском случае:
(4)
б) в релятивистском случае:
. (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 B и U2 = 510 кB,с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, которую из формул: (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
Т = еU.
В первом случае T1 = eU1 = 51 эВ = 0,51.10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электронаЕ0 = m0c2 = 0,51 МэВ.Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, чтоТ1 = 10-4 m0c2. Подставим это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
1=
Учитывая, что есть комптоновская длина волны, получим
Так как =2,43 пм, то
Во втором случае кинетическая энергия Т2 = еU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ,т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, чтоТ2 = 0,51 МэВ = m0c2, по формуле (5) найдем
или = .
Подставим значение и произведем вычисления:
Пример 42
Кинетическая энергия электрона в атоме составляет примерно Т = 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Дано: Решение
Т = 10 эВ. Соотношение неопределенностей для координаты и
ℓmin = ? импульса имеет вид
хр ,(1)
где х– неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона);р–неопределенность импульса частицы (электрона);- постоянная Планка, деленная на2.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры ℓ, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
х = ℓ/2.
Cоотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде откуда
(2)
Физически разумная неопределенность импульса р, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульсар, т.е.р р.
Импульс рсвязан с кинетической энергиейТсоотношением
.
Заменим рзначением(такая замена не увеличитl). Переходя от неравенства к равенству, получим
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
.
Проверка размерности:
Пример 43
Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике ширинойl. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервалеl =0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 х l); 2) в средней части ящика
Дано: Решение
l =0,01l
0 х l 2/l
1,2- ?x
ℓ ℓ
Рис.27
Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx(отx доx+ dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
d = (x) 2 dx.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрирование в пределах от 0 до0,01l (рис.27):
(1)
Знак модуля опущен, так как - функция в данном случае не является комплексной.
Так как хизменяется в интервале0 х 0,01lи, следовательно, справедливо приближенное равенство
.
С учетом этого выражение (1) примет вид
После интегрирования получим:
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (l = 0,001l)практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
или
Пример 44
Энергия возбуждения атома водорода Ев=12,09 эВ.Определить возможные значения орбитального момента импульсаLiэлектрона в возбужденном состоянии этого атома.
Дано: Решение
Ев=12,09 эВ Орбитальный момент импульсаL i электрона оп-
n = l ределяется азимутальным квантовым числомl, кото-
Ll = ? рое принимает значения от нуля доn–1, гдеn– глав-
ное квантовое число:
Так как ряд возможных значений lограничен величинойn, то определим главное квантовое число. Собственные значения энергии электрона в атоме водороде определяются по формуле
Состояние электрона в атоме водорода с n= 1 является основным. В этом состоянии электрон обладает минимальной из дискретного ряда возможных для электронов энергией (Е1 =-13,6 эВ).При возбуждении атома электрон переходит наn– уровень, характеризуемый энергиейЕn. Следовательно, разность между значениями энергий E1иEnбудет численно равна энергии возбуждения, т.е.
E1 – En = Eв
Подставив числовые значения величин, выраженные в электрон-вольтах, получим 12,09 = - 13,6/n2 + 13,6, откудаn= 3. Следовательно,l= 0,1,2, а орбитальные моменты импульса соответственно равны0,
а) l = 0; L = 0;
б) l = 1: L =
в) l = 2; L =
Пример 45
Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .
Дано: Решение
Масса ядра всегда меньше суммы масс свобод-
Есв, m - ? ных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов,
из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.
m = Zmp + (A-Z)mn – m, (1)
где Z –атомный номер (число протонов в ядре); A = массовое число (число нуклонов, составляющих ядро);mp mn m– соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса Мнейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома:
M = m + Zmв.,
Откуда m = M - me
Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле, получим
m = Zmp+(A-Z)mn – M+Zme,
или
m = Z(mp+me)+(A-Z)mn – M
.
Замечая, что mp + me = MH - масса атома водорода, окончательно получим
m=ZMH + (A-Z)mn – M. (2)
Подставив в выражение (2) числовые значения масс, получим
m =
Энергией связи Есвядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
Есв = с2m, (3)
где с– скорость света в вакууме.
Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м.С учетом этого формула (3) примет вид
Есв = 931m (МэВ). (4)
Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим:
Есв = 931.0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.
Примечание.Термин “дефект массы” часто применяют в другом смысле: дефектом массы называют разность между массой нейтрального атомаМданного изотопа и его массовым числом: = М – А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящей работе всюду имеется в виду дефект массыm,определяемый формулой (1).
Пример 46
При соударении - частицы с ядром борапроизошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.
Дано: Решение
Обозначим неизвестное ядро символом
. Так как -частица представляет собой ядро
гелия , запись реакции будет иметь вид
Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение
2 + 5 = I + Z,
откуда Z = 6.
Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода
Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:
Энергетический эффект Qядерной реакции определяется по формуле
Q = 931(mHe+mB ) – (mH + mC).
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.
Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив числовые массы атомов в расчетную формулу, получим
Q = 931(4,00260+10,01294)–(1,00783 + 13,00335)МэВ = 4,06 МэВ.
Пример 47
Определить начальную активность радиоактивного препарата магния массойm = 0,2 мкг, а также его активностьАчерез времяt=6 ч. Период полураспада магнияТ1/2 = 600 с.
Дано: Решение
Активность Аизотопа характеризует ско-
m = 0,2 мкгрость радиоактивного распада и равняется
t=6 ч.= 2,16.104 счислу ядер, распадающихся в единицу времени
Т1/2 = 600 с
А0, А - ?
где dN– число ядер, распавшихся за времяdt.
Согласно основному закону радиоактивного распада , где - постоянная радиоактивного распада. Так какN = N0e-t, где N0– число нераспавшихся ядер в момент времени, принятый за начальный, то
А = N0 e- t.
Очевидно, что начальная активность (при t=0)
A0 = N0. (1)
Поэтому закон изменения активности со временем выражается формулой
А = А0 е- t. (2)
Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада может быть выражена через период полураспада соотношением = ln2/T1/2=0,693/T1/2.Дляпериод полураспадаT1/2 =10 мин=600 с.Следовательно,
= 0,693/600 с-1 = 1,15.10-3 с-1.
Число радиоактивных атомов N0, содержащихся в изотопе, равно произведению числа АвогадроNAна количество вещества данного изотопа:
где m– масса изотопа; -молярная масса.
Выразив в этой формуле значения величин в единицах СИ, получим
Вычислим по формуле (1) начальную активность изотопа:
А0 = N0 = 1,15.10-3.4,46.1015 Бк = 5,13.1012 Бк,
или А = 5,13 ТБк
Активность через 6ч(6 ч = 2,16.104 с)получим по формуле (2):
А = А0 е-tБк = 81,3 Бк
Пример 48
В покоящемся атоме водорода электрон перешел с пятого энергетического уровня в основное состояние. Какую скорость приобрел атом за счет испускания фотона? Какова энергия отдачи?
Дано: Решение
n = 1Энергия перехода из возбужденного состояния в ос-
m = 5 новное распределяется между фотоном и атомом:
D - ?
= h + D,
где D = p2/2M– ‘энергия отдачи атома;р– импульс, возникший при вылете фотона.
По закону сохранения импульса
p = pf = hc,
откуда следует D = h22/2Mc2,
и энергия перехода
Решая это квадратное уравнение, получим выражение для энергии фотона:
Поскольку энергия перехода в атоме водорода меньше 13,6 эВ. А энергия покоя атома водорода равна примерно1 ГэВ, то
2/Мс2 10-8,
и с достаточной точностью можно отбросить в знаменателе это выражение и получить h = . А так как по условию задачи переход совершается с пятого уровня на первый, то
Итак
энергия отдачи
скорость атома
Проверка размерности:
Пример 49
Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74 ангстрем.
Дано: Решение
d = 0,74.10-10 мМомент импульса вращающейся квантовой
1 - ? системы, в том числе молекулы, равен
где l = 0,1,2,…(n-1).
Соответственно кинетическая энергия
где J– момент инерции.
В первом возбужденном состоянии (l = 1)кинетическая энергия
и угловая скорость
Здесь d = 0,74 ангстрем –расстояние между центрами атомов в молекуле иm = 1,67.10-27 кг– масса атома водорода. Получаем1 = 3,2.1013 рад/с.
Проверка размерности:
Пример 50
Определить параметр арешетки и плотностьркристалла кальция, если расстояниеdмежду ближайшими соседними атомами равно0,393 нм.Решетка кубическая гранецентрированная.
Дано: Решение
d = 0,393 нм
а, р - ? d
a
Рис.28
Параметр арешетки и расстояниеdмежду ближайшими соседними атомами связаны простым геометрическим соотношением, ясным из рис.28:
а = d
Подставляя в это выражение численное значение расстояния, получим
а = 0,393нм = 0,556 нм = 5,56.10—10 м
Плотность кристалла связана с молярной массойи молярным объемомV0соотношением
= /V0. (1)
Молярный объем V0 найдем как произведение объемаа3одной элементарной ячейки на числоz0элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла:
V0 = a3z0.
Учитывая, что число элементарных ячеек для кристалла, состоящего из одинаковых атомов, можно найти, разделив число Авогадро NAна числоnатомов, приходившихся на одну элементарную ячейку, последнее равенство можно написать в виде
(2)
Подставив в (1) выражение V0из (2), получим
Подставив данные и учитывая, что число в случае кубической гранецентрированной решетки n = 4:
Проверка размерности:
Пример 51
Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость при постоянном объеме алюминия при температуре Т = 200 К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равнойЕ = 300 К.
Дано: Решение
Т = 200 К. Удельная теплоемкостьсвещества может быть
Е = 300 К. выражена через молярную теплоемкостьCсоотно-
с - ? шением
с = С/, (1)
где ,- молярная масса.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме, по теории Эйнштейна, выражается формулой
(2)
Подставив в (1) выражение теплоемкости Спо формуле (2), получим
(3)
Выпишем все величины, входящие в полученную формулу, в единицах СИ: R = 8,31 Дж/(моль.К), = 27.10-3 кг/моль,Е = 300 К, Т = 200 К.
Подставим эти значения в формулу (3) и произведем вычисления:
Проверка размерности:
Пример 52
Определить теплоту Q, необходимую для нагревания кристаллаNaClмассойm=20 гот температурыТ1 = 2 Кдо температурыТ2 = 4 К. Характеристическую температуру ДебаяDдляNaClпринять равной320 К и условиеТ <<Dсчитать выполненным.
Дано:
|
Решение |
NaCl m =0,2 кг Т1 = 2 К Т2 = 4 К D = 320 К Т <<D
|
Температура Q, подводимая для нагревания тела от температуры Т1до Т2может быть вычислена по формуле где СТ– теплоемкость тела. Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением |
Q=? |
где m– масса тела,- молярная масса.
Подставим выражение СТпо формуле (2) в формулу (1), получим
В общем случае теплоемкость Сесть сложная функция температуры, поэтому выносить за знак интеграла нельзя. Однако, если выполнено условиеT<<D, то нахождениеQоблегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры:
Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим:
Выполним интегрирование
Переписав полученную формулу в виде
,
произведем вычисления
Проверка размерности
Пример 53
Вычислить максимальную энергию Еf(энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному электрону.
Дано: Решение
Т = 0 Максимальная энергияЕf, которую могут иметь
Еf=? электроны в металле при абсолютном нуле, связана с
концентрацией свободных электронов соотношением:
(1)
где - постоянная Планка, деленная на2; m– масса электрона.
Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле
где - плотность меди;NA– число Авогадро; -молярная масса.
Подставляя выражение концентрации в формулу (1), получим:
Подставим числовые значения величин, входящих в последнюю формулу, и произведем вычисления:
Проверка размерности:
Пример 54
Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию npдырок и их подвижностьbp, если постоянная ХоллаRH = 3,8.10-4 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника = 110 (Ом.м)-1.
Дано: Решение
RH = 3,8.10-4 м3/Кл. Концентрацияnрдырок связана с постоянной
= 110 (Ом.м)-1 Холла, которая для полупроводников с решеткой
np, bp- ? типа алмаза, обладающих носителями только од-
ного знака выражается формулой
где е– элементарный заряд. Отсюда
(1)
Выпишем все величины в единицах СИ: е = 1,6.10-19 Кл, RH = 3,8.10-4 м3/Кл.Подставим числовые значения величин в формулу (1) и произведем вычисления:
Проверка размерности:
Удельная проводимость полупроводников выражается формулой
= e(nnbn+npbp). (2)
где nn иnр– концентрация электронов и дырок;bn иbp– их подвижности.
При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю и формула (2) примет вид
= enpbp.
Отсюда искомая подвижность
(3)
Подставим в (3) выражение npпо формуле (1):
Подставим в (4) значения иRHв единицах СИ и произведем вычисления:
Проверка размерности:
Пример 55
Удельная магнитная восприимчивость газообразной окиси азота (NO) при нормальных условиях уд = 5,6.10-7 м3/кг. Определить магнитный моментmмолекул NO в магнетонах Бора.
Дано: Решение
NO Магнитная восприимчивость парамагнитных
уд = 5,6.10-7 м3/кг веществ выражается по теории Ланжевена
m - ? (при mВ<<kT) формулой
где 0– магнитная постоянная;n– концентрация молекул;m –магнитный момент молекулы;Т– термодинамическая температура;k– постоянная Больцмана.
Из этой формулы:
(1)
Входящая в выражение (1) магнитная восприимчивость связана с заданной в условии задачи удельной магнитной восприимчивостьюудсоотношением
= уд (2)
где - плотность вещества.
Плотность газа в соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева может быть выражена формулой
= Mp/RT, (3)
где М –молярная масса.
Подставив выражение из (3) в (2), а выражениеиз (2) в (1), найдем
(4)
Выразим в этом равенстве молярную газовую постоянную Rчерез число Авогадро NA, получим расчетную формулу для магнитного момента:
Подставив в (4) значения величин и произведя вычисления, найдем
По условию задачи магнитный момент следует выразить в магнетонах Бора. Так как В= 0,927.10-23 А.м2, то
Проверка размерности: