Механіка

4.3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу матеріальної точки L з масою m, яка рівномірно обертається зі швидкістю v по колу радіусом r

(рис. 80):

Закон збереження моменту імпульсу для ізольованої

системи тіл:

N

∑Jiω2 = const ,

i=1

Рис. 80

Робота постійного моменту сили, яка діє на тіло, що

обертається: = ϕ

A M ,

де M — момент сили; ϕ — кут обертання.

Потужність при рівномірному обертальному русі:

N = Mω .

Кінетична енергія обертального руху:

Eк = J2ω2 .

Кінетична енергія поступального руху центра­ мас і обертального руху тіла:

104

4. Механіка твердого тіла

4.4. Зіставлення рівнянь механіки поступального й обертального рухів (табл. 2)

105

Механіка

4.5. Приклади розв’язання задач

Задача 1.

Тонкий обруч радіусом r без проковзування скочується в яму, яка має форму напівсфери з R r . На якій глибині сила тиску обруча на стінку дорівнює його вазі спокою на Землі?

Rруча r можна знехтувати за умовою задачі. За третім законом Ньютона P = N, але

mg

106

4. Механіка твердого тіла

Для кільця момент інерції дорівнює:

Jкільця =mr2 , а ω= vr .

Тоді

mgh =mv2 , v2 = gh .

Підставимо значення v2 в рівняння (2): g(1−cosα) = ghR , 1−cosα = Rh .

Із OAC :

cosα = Rh 1− Rh = Rh , 1= 2Rh .

Звідси: h = R2 .

Відповідь: сила тиску обруча на стінку напівсфери дорівнює вазі спокою відносно Землі на висоті, що дорівнює половині її радіуса.

Задача 2.

Стовп заввишки l падає із вертикального положення. Визначити швидкість падіння верхнього кінця при ударі об землю, якщо нижній кінець при падінні не переміщується.

107

Механіка

вдовжки l відносно осі, яка перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець, дорівнює:

Рис. 82

Відповідь: швидкість верхнього кінця стовпа при ударі об землю v = 3gl .

Задача 3.

На яку максимальну висоту може піднятися людина масою m по драбині масою M і завдовжки l, приставленій до гладенької стіни? Кут між драбиною і підлогою дорівнює α, коефіцієнт тертя об підлогу дорівнює µ.

lносно точки B дорівнює нулю (рис. 83):

108

4. Механіка твердого тіла

Моменти сил N1 і Fтер дорівнюють нулю, оскільки дорівнюють нулю плечі цих сил відносно точки B;

2) векторна сума сил, які діють на драбину, дорівнює нулю:

mg + Mg + N2 + Fтер + N =0 .

Проекція цього рівняння на вісь Ox:

Fтер − N2 =0 Fтер =µN1 ,

отже,

Підставимо значення N1 в N2 , дістанемо:

N2 =µg(M +m) .

109

Механіка

Підставимо значення N2 в рівняння (1):

−µg(M +m)lsinα +mgxcosα + Mg lcos2 α =0 ,

mxcosα =µ(M +m)lsinα − Mlcosα , 2

Відповідь: максимальна висота, на яку піднімається людина, дорівнює:

В однорідній тонкій круглій пластинці радіусом r вирі-

зано круг радіусом 2r . Визначити положення центра маси

110

4. Механіка твердого тіла

За правилом моментів сил (відносно точки O):

M1 + M2 + M3 =0 , M1 = −m1gR1 = −m1g 2r

Оскільки сила тяжіння великого диска (mg) проходить через точку O, то момент цієї сили (M2 ) дорівнює нулю:

M3 =m2gx (рис. 84).

Тоді −m1g 2r +m2gx =0 .

Звідси випливає:

m2gx =m1g 2r ,

x = m1r . 2m2

Виразимо маси і об’єми тіл:

m1 =ρV1 , m2 =ρV2 , V1 = S1h , V2 = S2h .

111