Дослідження функції на монотонність

Якщо функція є зростаючою (спадною) у кожній внутрішній точці проміжку (а;в), то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

Достатні ознаки: Якщо функція у=f(х) у внутрішній точці х_опроміжку (а;в) має похіднуf’(x_o)if’(x_o)>0 (f’(x_o)<0), то y=f(x) у точці х_озростає (спадає).

Завдання: Знайти проміжки, на яких функція

а) зростає; б)спадає.

№ п/п	План знаходження проміжків зростання та спадання функції	Застосування плану
1.	Знаходимо область визначення ф-ії	Х+30 Д(у)=
2.	Знаходимо похідну функції
3.	Функція зростає на проміжках, де y’>0; спадає на проміжках, де y’<0.	Y’>0 ; – + о о -5 -3 Х

Відповідь: хЄ[-5;-3)(-3;+).

Приклади:знайти проміжки, на яких функція

а) зростає; б)спадає.

Знаходження точок екстремуму функцій

Якщо похідна при проходженні критичної точки х_о змінила знак з “+” на “–”, то х_о – точка максимуму функцій; з “–” на “+”, то х_о – точка мінімуму; не змінила знаку, то екстремуму немає.

Завдання: Знайти екстремум функції:

а) ; б).

№ п/п	План знаходження екстермуму функції	Застосування плану
1.	Знаходимо область визначення функції	ХЄ(-;0)(0;+)
2.	Знаходимо похідну функції
3.	Знаходимо критичні точки	Y’=0; х2-4=0; х1=2; х2=-2.
4.	Визначаємо зміну знаку похідної при переході через кри- тичну точку	+ – – + о о о -2 0 2
5.	Знаходимо екстре­му­ми функції	х=-2 ­– точка максимуму умах=у(-2)=-32; уміn=у(2)=32.

Приклади: Знайти екстремум функції:

а) ; б).