- •Повна індукція
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Неповна індукція
- •Приклад №1
- •Історична довідка. Метод математичної індукції
- •Неповна індукція і метод математичної індукції в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків Приклад №1
- •Приклад №2
- •Узагальнення методу математичної індукції
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Деякі відомі визначні нерівності і метод математичної індукції Приклад №1.
- •Приклад 2
- •Задачі на подільність чисел і метод математичної індукції Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Приклад №4
- •Приклад №5
- •Приклад №6
- •Приклад №7
- •Приклад №8
- •Приклад №9
- •Приклад №10
- •Доведення деяких рівностей і тотожностей
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Висновок
- •Cписок літератури
Приклад №9
Довести, що ділиться на (1+2+...+m), де n, mєN і n – непарне.
Доведення.
Введемо позначення . Тоді подвоєну цю суму можна записати так:
Оскільки n – непарне, то кожний додаток ділиться на (m+1) за наслідком з теореми Безу, тому . Тоді в силу довільності m, 2Sm-1m. Дійсно,.
Але найбільший спільний дільник НСД(m;m+1)=1, то , q – натуральне число.
З іншого боку, (ця формула доведена методом математичної індукції), тому , що і треба було довести.
Приклад №10
Нехай a1, a2, a3, …, an – послідовність чисел, утворених за таким законом: a1=1, an=nan-1+(-1)n. Довести, що при n>1 an ділиться на n-1.
Доведення.
1) Базис індукції. Якщо n=2, то твердження справджується:
a2=21+(-1)2=2+1=3(2-1).
2) Припустимо, що n>2.
Тоді: an= nan-1+(-1)n,
an-1=(n-1)an-2+(-1)n-1.
Додавши ці дві рівності, одержимо
an+an-1=nan-1+(-1)n+(n-1)an-2+(-1)n-1.
an=nan-1-an-1+(n-1)an-2.
an=(n-1)an-1+(n-1)an-2=(n-1)(an-1+an-2).
(n-1)(an-1+an-2) (n-1) за принципом математичної індукції.
Отже, an(n-1) при , n>1.
Доведення деяких рівностей і тотожностей
методом математичної індукції
Приклад №1
Довести методом математичної індукції, що для nєN.
Доведення.
1) Перевіримо, чи справджується ця формула при n=1:Так, формула справджується.
2) Припустимо, що формула справджується при n=k, тобто (*)
Доведемо справедливість формули при n=k+1. Тобто покажемо, що
З іншого боку
Розкладемо на множники тричлен
Отже, формула справджується при n=k+1. Тоді вона вірна і для будь-якого n натурального за принципом математичної індукції.
Приклад №2
Довести, що для
Доведення.
1) при n=1 S1=5;
2) Нехай при n=k
Враховуючи це припущення, доведемо, що формула вірна і при n=k+1.
Формула вірна.
За припущенням математичної індукції вона справджується і для будь-якого натурального n.
Приклад №3
Довести, що при , де.
Доведення.
За методом математичної індукції маємо
1) при n=1
1=1 Формула вірна.
2) Припустимо, що при
Доведемо, що при
Отже, за принципом математичної індукції формула справджується для будь-якого натурального n.
Застосування методу математичної індукції при розв’язуванні геометричних задач
Приклад №1
Довести, що якщо а та b – катети, с – гіпотенуза прямокутного трикутника, то для всіх натуральних n 2 має місце нерівність:.
Доведення.
Якщо n = 2, то - правильна нерівність (бо виконується рівність, що виражає теорему Піфагора).
Припустимо, що правильною є нерівність: .
Доведемо, що правильною буде нерівність .
Так як а та b – катети, с – гіпотенуза прямокутного трикутника, то a < c, b < c.
Звідси ,.
Додамо останні дві нерівності .
.
Згідно принципу математичної індукції робимо висновок про те, що нерівність правильна n 2, nN; а, b – катети, с – гіпотенуза прямокутного трикутника.
Приклад №2
У площині проведено n прямих, із яких ніякі дві не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку. На скільки частин розбивають площину ці прямі ?
Розв’язання.
Зробивши відповідні рисунки, можна легко переконатися в тому, що одна пряма розбиває площину на 2 частини, дві прямі – на 4 частини, три прямі – на 7 частин, чотири прямі – на 11 частин.
Позначимо через N(n) – число частин, на які n прямих розбивають площину. Тоді :N (1) = 2;
N (2) = N (1) + 2;
N (3) = N (2) + 3;
N (4) = N (3) + 4.
Можна припустити, що N (n) = N (n –1) + n.
Складемо почленно ці n рівностей:
N (n) = 2 + 2 + 3 + 4 + …+ n, або .
Доведемо правильність останньої формули за допомогою методу математичної індукції.
1) Якщо n = 1, то N (1) = 2.
2) Припустимо, що формула правильна при n = k, тобто .
Розглянемо k +1 прямих. Виділимо з них довільним чином k прямих. За припущенням індукції вони розбивають площину на частин. k+1-ша – пряма, що залишилася, розіб’ється виділеними k прямими на k +1 частин і, відповідно, пройде по k +1 частинах, на які площина була вже розбита, і кожну з цих частин розділить на 2 частини, тобто додається ще k + 1 частина.
Отже, , що й потрібно було довести.
Таким чином, формула правильна приnN.