![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Повна індукція
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Неповна індукція
- •Приклад №1
- •Історична довідка. Метод математичної індукції
- •Неповна індукція і метод математичної індукції в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків Приклад №1
- •Приклад №2
- •Узагальнення методу математичної індукції
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Деякі відомі визначні нерівності і метод математичної індукції Приклад №1.
- •Приклад 2
- •Задачі на подільність чисел і метод математичної індукції Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Приклад №4
- •Приклад №5
- •Приклад №6
- •Приклад №7
- •Приклад №8
- •Приклад №9
- •Приклад №10
- •Доведення деяких рівностей і тотожностей
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Висновок
- •Cписок літератури
Приклад №2
Нехай
де
Із рівностей
;
n=2
;
n=3
;
n=4.
Робимо індукційний висновок, що
.
Доведемо цю формулу
1 спосіб доведення.
1)
При n=2 маємо
.
Формула вірна.
Припустимо,
що при n=k, k>2 формула формула справджується,
тобто.
Враховуючи
це припущення, доведемо, що вона вірна
і при n=k+1.
Формула справджується і при n=k+1.
Отже,
за принципом повної математичної
індукції, вона вірна і при
,
2 спосіб доведення.
При доведенні даної тотожності за допомогою методу математичної індукції корисно було б зробити так:
Записати
цю тотожність при n=k.
(1), потім при n=k+1.
(2)
Поділити
(2) на (1), ліву частину на ліву, праву на
праву.
Одержали
один і той самий вираз
,
а це значить, що за методом математичної
індукції можна сказати, що дана тотожність
справджується при всіх натуральних n.
Узагальнення методу математичної індукції
В деяких задачах трапляється, що твердження, яке необхідно довести, має місце не для всіх натуральних значень n, а лише для значень n, починаючи з певного натурального числа nо. У таких випадках можна скористатися узагальненим принципом математичної індукції.
Сформулюємо цей принцип:
Нехай твердження, що залежить від натурального числа n, задовольняє такі умови:
Це твердження є правильним при n=nо;
З припущення правильності даного твердження при n=k (де k
nо) випливає його істинність і при n=k+1. Тоді дане твердження справджується при всіх натуральних n
nо.
Необхідно
розуміти, що при значеннях n<nо
твердження може бути як вірним так і
невірним; у всякому разі, яких-небудь
заключень щодо істинності твердження
при 1n < no
з проведеного доведення методом
математичної індукції зробити не можна.
Наведемо приклади використання узагальненого принципу математичної індукції.
Приклад №1
Довести,
що 2n>2n+1,
якщо
Доведення.
1)
При n=3 маємо 23>23+1,
тому що 8>7. Вихідна нерівність правильна
при n=3.
2) Припустимо, що нерівність вірна при n=k, тобто 2k>2k+1.
Враховуючи це припущення, доведемо, що 2k+1>2(k+1)+1 (при n=k+1).
Маємо
2k+1=22k>2
(2k+1)=4k+2=2k+2+2k=2(k+1)+2k.
Оскільки 2k>1, то з останньої нерівності дістаємо 2k+1>2(k+1)+1. А це означає, що нерівність правильна і при n=k+1.
Отже,
за узагальненим принципом математичної
індукції нерівність доведемо для всіх
Зробимо зауваження, що при n ця нерівність не є правильною, так,
коли
n=2, маємо: 22<22+1,
4<5;
коли n=1, маємо 2<2+1,
2<3.
Тобто нерівність 2n>2n+1 неправильна при n=1; 2.
Наведемо ще один приклад, коли необхідно застосовувати узагальнений принцип математичної індукції. Розв’яжемо одну з комбінаторних задач.
Приклад №2
Довести, що будь-яку суму грошей, більшу 7 копійок, можна розміняти монетами тільки по 3 і 5 копійок.
Доведення.
Нехай сума дорівнює n копійок (n>7); nєN.
1) Якщо n=8, тоді наше твердження A(n) вірне: 8=3+5.
2) Припустимо, що твердження, яке ми позначили A(n), вірне і при n=k,
де k>8, kєN.
Існують два випадки розміну суми у k копійок монетами по 3 і 5 коп.:
а) тільки монетами по 3 коп. кожна;
б) виникає потреба хоча б однієї 5 коп. монети.
У випадку а) забираємо три монети по 3 коп., додаємо дві по 5 коп. і тим самим розмінюємо суму у (k+1) коп., тому що ми додамо до k суми одну копійку.
У випадку б) забираємо одну монету 5 коп.; додаємо дві монети по 3 коп. кожна і тим самим розмінюємо суму у (k+1) копійку. Задача розв’язана.