![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Повна індукція
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Неповна індукція
- •Приклад №1
- •Історична довідка. Метод математичної індукції
- •Неповна індукція і метод математичної індукції в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків Приклад №1
- •Приклад №2
- •Узагальнення методу математичної індукції
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Деякі відомі визначні нерівності і метод математичної індукції Приклад №1.
- •Приклад 2
- •Задачі на подільність чисел і метод математичної індукції Приклад №1
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Приклад №4
- •Приклад №5
- •Приклад №6
- •Приклад №7
- •Приклад №8
- •Приклад №9
- •Приклад №10
- •Доведення деяких рівностей і тотожностей
- •Приклад №2
- •Приклад №3
- •Висновок
- •Cписок літератури
Приклад №4
Довести
методом математичної індукції, що
(m3+3m2+2m)6
для m
.
Доведення.
1)Базис індукції:
Переконаємося,
що дане твердження має місце при n=1.
M3+3m2+2m=1+3+2=66.
2)Індуктивний перехід:
Припустимо,
що твердження має місце при m=k, тобто
(k3+k2+2k)=
k(k2+3k+2)6.
Виходячи
з даного припущення доведемо, що дане
твердження має місце і при n=k+1,
тобто((k+1)3+3(k+1)2+2(k+1))6.
K3+3k2+3k+1+3k2+6k+3+2k+2=k3+6k2+11k+6=k3+2k+3k2+9k+6=
=((
k3+k2+2k)+3(k3+k2+2k))6.
(k3+k2+2k)
6
за припущенням математичної індукції,
кожен доданок суми ділиться на 6, тому
і вся сума кратна 6.
Тоді
за принципом математичної індукції
число (m3+3m2+2m)6
для m
.
Приклад №5
Довести
методом математичної індукції, що число
виду (7n+1+82n-1)
19
при будь-якому натуральному n.
Доведення.
1)Базис індукції:
Переконаємося,
що дане твердження має місце при n=1.
72+8=5719
2)Індуктивний перехід:
Припустимо,
що твердження має місце при n=k, тобто
(7k+1+82k-1)
19.
Виходячи з даного припущення доведемо, що дане твердження має місце і при n=k+1.
7k+1+1+82(k+1)-1=7k+17+82k-1
82=7k+1
7+64
82k-1=7
7k+1+7
82k-1+57
82k-1=
=7(7k+1+82k-1)+5782k-1.
Враховуючи
припущення і те, що 5719,
робимо висновок, що одержана сума
ділиться на 19. Отже, твердження виконується
і при n=k+1. Тоді за принципом математичної
індукції число виду (7n+1+82n-1)
19
при будь-якому натуральному n.
Приклад №6
Довести, що число (n3+5n) ділиться на 6, де n – довільне натуральне число.
Доведення.
1)Базис індукції:
при
n=1 маємо 1+5=66.
2)Індуктивний перехід:
Припустимо, що при n=k число ділиться на 6.
(k3+5k)
6.
Доведемо, що і при n=k+1 це число кратне
6.
(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k2+6=k3+5k+3k(k+1)+6.
3k(k+1) – цей добуток ділиться і на 3, і на 2 (одне з двох послідовних чисел: k або k+1 є число парне), тому він ділиться і на 6.
Отже, кожен доданок останньої суми ділиться на 6, тому вся сума кратна 6.
За принципом математичної індукції число виду (n3+5n) кратне 6.
Приклад №7
Довести,
що для nчисло
виду (11n+1+122n-1)
кратне 133.
Доведення.
1)Базис індукції:
Переконаємося, що при n=1 твердження справджується:
111+1+122-1=121+12=133133.
2)Індуктивний перехід:
Припустимо,
що при n=k (11k+1+122k-1)133.
Виходячи з цього припущення, доведемо, що твердження справджується і при n=k+1.
11k+1+1+122(k+1)-1=11k+1
11+122
122k-1=11k+1
11+144
122k-1=
=11k+111+11
122k-1+133
122k-1=11(11k+1+122k-1)+133
122k-1.
Кожен доданок одержаної суми ділиться на 133, тому і сума кратна 133.
Отже,
при будь-якому натуральному n число
(11n+1+122n-1)133.
Часто метод математичної індукції використовують при доведенні деяких теорем або наслідків з них, в яких йде мова про натуральні числа. Наприклад при доведенні наслідку з теореми Безу.
Приклад №8
Довести,
що різниця однакових степенів двох
чисел завжди ділиться на різницю цих
чисел, тобто при натуральному n
.
Доведення.
1) При n=1 твердження вірно:
.
2) Припустимо, що при n=k
.
Доведемо,
що
.
До
виразу
додамо два вирази
і -
.
Одержимо
.
Перший
доданок одержаної суми ділиться на
,
тому що другий ділиться на
за припущенням.
Отже,
і вся сума тоді ділиться на
За
припущенням математичної індукції
при будь-якому n.
При доведенні деяких тверджень, які запропоновують на різних математичних олімпіадах, теж корисно застосовувати метод повної математичної індукції.