Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006

а) 3x1

+ 5x2

− 7x3

= 0,

2x1

+ x2

−

4x3

= 0,

4x1 − 5x2 − 6x3 = 0;

6x1

− 4x2

+ 3x3

+ 7x4

= 0,

3x1

2x2

+ x3

+ 2x4

= 0,

б)

12x1

−

8x2 + 2x3

x4 = 0,

−

−

−3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 0;

2x1

+ 3x2

+ 4x3

+ 5x4

+ x5

= 0,

x1

+ 2x2

+ 3x3

+ 4x4

+ 5x5

= 0,

в)

3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 0,

4x1 + 5x2 + 6x3

3x4 + 3x5 = 0.

x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = 0,

−

а) ФСР: e1

= (

13

;

2

; 1) , ОРС: e = t e1 ;

Ответ:

2

7

7

б) ФСР: e1

= (

; 1; 0; 0) , ОРС: e = t e1 ;

3

2.1.1.

~

~

~

служат сторо-

BC = a, CA = b, AB = c

Три вектора −−→

−−→

−−→

нами треугольника. Выразить через них векторы, сов-

падающие с медианами

−−→ −−→ −−→

−−→

AM,

BN, CP.

Ответ:

~

~

~

~

~

AM = c + 0, 5 a = 0, 5 (c

−

b) ,

~

~

−−→

~

~

~

−−→

~

~

BN = a + 0, 5 b = 0, 5 (a

−

c) ,

CP = b + 0, 5 c = 0, 5 (b

−

a) .

2.1.2. В треугольнике ABC прямая AM является биссек-

трисой угла BAC , причем точка M лежит на стороне

−−→

−−→

~

−−→

~

BC . Найти AM, если AB = b

, AC = c.

−−→

~

~

~

~

| |

| |

b

Ответ: AM =

b c +

c

.

~

~

|b| + |c|

2.1.3. Какому условию должны удовлетворять векторы

~

a и

~

b, чтобы выполнялись соотношения:

1)

~

~

~

~

~

~

~

~

;

|a + b| = |a − b|; 2)

|a + b| > |a − b|

3)

~

~

~

~

~

~

~

~

|a + b| < |a − b|; 4)

|a + b| = |a| − |b| ?

Ответ:

1) угол между векторами прямой; 2) острый;

3) тупой; 4) векторы противоположно направлены и

~

~

|a|

> |b|.

2.1.4.

В ромбе ABCD даны диагонали

−−→

~

−−→

~

AC = a,

BD = b.

Разложить по этим двум векторам все векторы, сов-

AB, BC, CD, DA.

падающие со сторонами ромба: −−→ −−→ −−→ −−→

−−→

~

~

−−→

~

~

Ответ: AB = 0, 5 (a b) ,

BC = 0, 5 (a + b) ,

−−→

~

−

~

−−→

−

~

~

−

CD = 0, 5 (b a) , DA = 0, 5 (a + b) .

−−→k

−−→ −−→

3

−−→

2.1.5. В трапеции ABCD стороны

AB

CD

и

CD =

1

AB,

−−→

~

−−→

~

−−→

−−→

AD = a и

AC = c. Найти векторы AB и BD.

−−→

~

~

−−→

~

~

Ответ: AB = 3 (c

−

a) ;

BD = 4 a

−

3 c.

2.1.6. Векторы

~

и

~

образуют угол

π/6 . Зная, что

~

,

a

b

|a| = 4

а

~

, построить вектор

~

~

~

|b| = 3

c = 2 a − 3 b .

~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

а) a = 2m − n − p, b = 2n − p − m, c = 2p − m − n;

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

б) a = p,

b = m − n − p,

c = m − n + p ;

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

в) a = m + n + p ,

b = n + p, c = p − m ;

~

~

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

г) a = 3m − 2n + p,

b = 4m + n − p,

a = 2m − n − p.

Ответ:

~

~

~

~

~

~

а) a + b + c = 0 ; б)

2a + b − c = 0 ; в), г) линейно

Ответ: cos α =

8

,

cos β =

3

, cos γ =

−4

,

√89

√89

√89

~

1

√

{8; 3; −4}.

a0

=

89

~

на координатные оси,

2.2.4. Вычислить проекции вектора a

если его модуль

~

, а углы, которые он составляет

|a| = 2

с осями координат: α = 45◦ , β = 60◦ , γ = 120◦ .

a = { 2; 1; −1}.

Ответ: ~

√

1

1

1

б) cos α =

√

, cos β = −

√

, cos γ =

√

;

3

3

3

Ответ: ~a = ©

5

5

5√

ª .

2

; −

; ±

2

2

2

2.2.8. Даны векторы:

~

~

a = {3; −2; 6},

b = {−2; 1; 0}. Найти

проекции на координатные оси следующих векторов:

~ ~

~

~

~

~

а) a + b

; б) a − b ; в)

2 a − 3 b .

Ответ:

а) 1;

−1, 6 ; б)

5;

−3;

6 ; в)

12; −7; 12 .

3√

3

2

3

Ответ: ~a = ©−2 ;

; 2 ª .

2

2.2.10. Даны точки A(−1; 5; −10) , B(5; −7; 8) , C(2; 2; −7) ,

D(5;

AB и CD кол-

−

4; 2) . Проверить, что векторы −−→ −−→

2.2.11. Дано разложение вектора

~

~

~

~

a

по базису i,

j ,

k :

~

~

~

~

a = 16 i−15 j +12 k . Определить разложение по этому

~

~

и про-

же базису вектора b, коллинеарного вектору a

~

~

~

~

Ответ: b = −48 i

+ 45 j

− 36 k .

~

~

,

~

а) a = {5; 2; 1}, b = {−1; 4; 2}

c = {1; 1; −6};

~

~ ~

~ ~

~

~

~ ~

~

~ ~

;

б) a = 2 i − j + 4 k , b = 2 i + 5 j − 9 k , c = 6 i + 3 j − k

~

~

~

в) a = {6; −18; 12}, b = {−8; 24; −16},

c = {8; 7; −3}.

Ответ:

~

~

~

а) линейно независимы; б) 2 a + b − c = 0 ;

в)

~

~ ~

4 a + 3 b + c = 0 .

~

в этом базисе:

вектора c

~

~

~

а) a = {2; −3},

b = {1; 2}, c = {9; 4};

~

~

~

б) a = {3; −2},

b = {−2; 1},

c = {7; −4};

~

~

~

~

~

~

,

в) a = {3; −1},

b = {1; −2},

c = a + b + d

~

где d = {−1; 7}.

~

~

~

~

~

~

~

~ ~

Ответ: а) c = 2 a + 5 b; б) c = a − 2 b; в)

c = 2 a − 3 b .

2.2.14. Доказать, что векторы

~

~

~

a,

b , c образуют базис в трех-

мерном векторном пространстве. Найти разложение

~

вектора d по этому базису:

~

~

~

а) a = {3; −2; 1}, b = {−1; 1; −2},

c = {2; 1; −3},

~

d = {11; −6; 5};

~

~

~

~

~

~

в) a = {2; 1; −3},

b = {3; 2; −5}, c = {1; −1; 1},

~

d = {6; 2; −7}.

Ответ: а)

~

~

~

~

~ ~ ~ ~

d = 2 a − 3 b + c; б) d = 2 a − 3 b + c;

в)

~

~

~

~

d = a + b + c.

а) A(1; 1; 2) ,

B(2; 1; 2) , C(1; 1; 4) ;

б) A(5; −6; 0) , B(−1; 3; −1) , C(−10; −18; 7) .

4

8

¶ ; б) (−2; −7; 2) .

Ответ:

а)

µ

; 1;

3

3

~

~

2π

~

2.4.1. Векторы a

и

b образуют угол

3

. Зная, что

| a | = 3 ,

~

вычислить:

| b | = 4 ,

~

~

2

~

~

~

~

а)

~ ~

a · b ; б)

(a + b)

; в) (3 a + 2 b) · (a − 2 b) .

Ответ: а) −6 ;

б) 13;

в) −13 .

2.4.2.

~ 2

~

~

~

~

если

Упростить выражение a

+ 3 a · b − 2 b · c + 1 ,

2

= 4 m~

~n ,

~

,

~c = 2 m~

3 ~n, где

m~

= 4 ,

−

b = m~ + 2 ~n

−

~a 2

π

~n

= 1 , (m,~ ~n) =

.

2

Ответ:

56.

~

~

π

~

2.4.3. Векторы a и b образуют угол

3

. Зная, что

| a | = 3 ,

~

~

~

~

~

~

~

| b | = 2 , построить векторы c = 2 a − 3 b и

d = a + b, и

вычислить угол между ними.

√

Ответ: ϕ = arccos

19

.

38

2.4.4. Векторы m~ и ~n образуют угол

π

. Зная, что | m~ | =

4

√

= 2 2 , |~n | = 3 , вычислить угол между диагоналями

параллелограмма, построенного на векторах m~

и ~n.

1

Ответ: ϕ = π − arccos

√

.

174

2.4.7. Найти проекцию вектора ~a = 10 m~ + 2 ~n

на ось, имею-

~

щую направление вектора b = 5 m~ − 12 ~n, где m~ и ~n –

взаимно перпендикулярные орты.

Ответ:

2.

2.4.8.

2;

4

~

6;

3; 2

. Вычис-

}

, b =

{

Даны векторы ~a = {4; −

2−

~

− }

~

~ ~

~

~

;

в)

~

~

лить: а) a · b ;

б) (a + b)

(2 a − 3 b) · (a + 2 b) .

Ответ:

а) 22;

б) 129;

в) −200 .

Ответ:

нет.

Даны три силы

−→

{

3;

−

}

−→

{

2; 3;

−

}

,

2.4.10.

−→

F1 =

4; 2

, F2 =

5

=

3;

2; 4

, приложенные к одной точке. Вы-

F3

{−

−

}

65

4

Ответ: arccos

и arccos −

.

74

9

~

2.4.13. Найти вектор ~a, коллинеарный вектору b = {−4; 4; −2}

~ ~

и удовлетворяющий условию a · b = 12 .

Ответ: ~a =

1

{−4; 4; −2}.

3

~

~

2.4.14. Вектор m~, перпендикулярный векторам ~a = 3 i+2 j +

~

~

~

~

~

тупой

+ 2 k и

b = 18 i −22 j −5 k , образует с осью Oy

угол. Найти его координаты, зная, что | m~ | = 14 .

Ответ: m~ = {−4; −6; 12}.

2.4.15. Вектор p~

перпендикулярен векторам ~a = {1; 0; 1} и

~ ~

2.4.16. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор ~c

образует с каждым из них угол

π

~ ~ ~

3

. Найти | a + b + c|,

~

~

,

~

если известно, что | a | = | b | = 2

| c | = 1 .

√

.

Ответ:

13

~

и

~

и

кулярен векторам a = {2; −3; 1}

b = {1; −2; 3}

~

~

~

удовлетворяет условию: ~c · (2i + 2j − 7k) = 10 .

Ответ: ~c = {7; 5; 1}.

2.4.18. Найти вектор ~c, перпендикулярный векторам

~

~

~

~

2π

~

2.5.1. Векторы

a и

b

образуют угол

3

. Зная, что

| a | = 1 ,

~

~

~

2

~

~

~

~

2

.

| b | = 2 , вычислить: а) [ a×b ]

; б) [ (a+3b)×(3a−2b) ]

Ответ: а) 3;

б) 363.

2.5.2. Даны векторы

~

~

a = {3; −1; −2} и

b = {1; 2; −1}. Найти

координаты векторных произведений:

~

~

~

~ ~

~

~

~

~

а) a × b; б) (2a + b) × b; в) (2a − 3b) × (a + 2b) .

Ответ: а) {5; 1; 7}; б) {10; 2; 14}; в)

{35; 7; 49}.

2.5.3.

Сила

F =

{

2; 2; 9

}

приложена к точке A(4; 2;

−

3) . Опре-

→−

делить величину и направляющие косинусы момента

этой силы относительно точки C(2; 4; 0) .

3

6

2

Ответ:

28;

cos α = −

;

cos β = −

; cos γ =

.

7

7

7

2.5.4. Найти расстояние от точки C(7; 3; 0)

до прямой, про-

ходящей через точки A(1; −1; 0) и B(3; 9; 0) .

√

.

Ответ:

26