Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
06.06.2015
Размер:
276.75 Кб
Скачать

1.3.5. Найти фундаментальную систему решений (ФСР) и общее решение однородной системы (ОРС):

а) 3x1

+ 5x2

7x3

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1

+ x2

4x3

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1 − 5x2 − 6x3 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

6x1

4x2

+ 3x3

+ 7x4

= 0,

 

 

 

3x1

 

2x2

+ x3

+ 2x4

= 0,

 

б)

12x1

8x2 + 2x3

 

 

x4 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1

+ 3x2

+ 4x3

+ 5x4

 

+ x5

= 0,

 

 

x1

+ 2x2

+ 3x3

+ 4x4

 

+ 5x5

= 0,

в)

 

3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1 + 5x2 + 6x3

 

 

3x4 + 3x5 = 0.

 

 

x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ФСР: e1

= (

13

;

2

; 1) , ОРС: e = t e1 ;

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

7

 

 

7

 

 

б) ФСР: e1

= (

; 1; 0; 0) , ОРС: e = t e1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) ФСР: e1 = (1; −2; 1; 0; 0) , e2 = (15; −12; 0; 1; 1) , ОРС: e = t1 e1 + t2 e2 .

9

2. Векторная алгебра

2.1. Линейные операции над векторами

2.1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

~

служат сторо-

 

 

 

BC = a, CA = b, AB = c

 

Три вектора −−→

 

 

 

 

−−→

 

 

−−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нами треугольника. Выразить через них векторы, сов-

 

падающие с медианами

−−→ −−→ −−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→

 

 

AM,

BN, CP.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

~

 

 

~

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

 

~

AM = c + 0, 5 a = 0, 5 (c

 

 

b) ,

~

 

~

 

−−→

 

~

 

 

~

 

 

~

 

−−→

~

 

 

~

 

 

 

 

 

BN = a + 0, 5 b = 0, 5 (a

c) ,

CP = b + 0, 5 c = 0, 5 (b

a) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.2. В треугольнике ABC прямая AM является биссек-

 

трисой угла BAC , причем точка M лежит на стороне

 

 

 

 

−−→

 

 

 

 

 

−−→

~

−−→

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BC . Найти AM, если AB = b

, AC = c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→

 

~

~

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

| |

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: AM =

 

b c +

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|b| + |c|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.3. Какому условию должны удовлетворять векторы

~

a и

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b, чтобы выполнялись соотношения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

~

~

~

 

~

 

 

 

 

~

 

~

~

 

~

;

 

 

 

 

 

 

 

|a + b| = |a − b|; 2)

 

|a + b| > |a − b|

 

 

 

 

 

 

 

3)

~

~

~

 

~

 

 

 

 

~

 

~

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

|a + b| < |a − b|; 4)

 

|a + b| = |a| − |b| ?

 

 

 

 

 

Ответ:

1) угол между векторами прямой; 2) острый;

3) тупой; 4) векторы противоположно направлены и

~

 

~

|a|

> |b|.

2.1.4.

В ромбе ABCD даны диагонали

−−→

 

 

~

−−→

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC = a,

BD = b.

 

Разложить по этим двум векторам все векторы, сов-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB, BC, CD, DA.

 

падающие со сторонами ромба: −−→ −−→ −−→ −−→

 

 

 

 

−−→

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

−−→

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

Ответ: AB = 0, 5 (a b) ,

BC = 0, 5 (a + b) ,

 

 

 

 

 

 

−−→

 

~

 

~

 

−−→

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CD = 0, 5 (b a) , DA = 0, 5 (a + b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→k

−−→ −−→

 

3

−−→

2.1.5. В трапеции ABCD стороны

AB

 

CD

и

 

CD =

1

AB,

 

 

 

 

−−→

~

−−→

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→

 

 

−−→

 

 

 

 

 

AD = a и

AC = c. Найти векторы AB и BD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−→

 

 

 

~

 

~

 

 

−−→

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

Ответ: AB = 3 (c

a) ;

BD = 4 a

 

 

3 c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

2.1.6. Векторы

~

и

~

образуют угол

π/6 . Зная, что

~

,

a

b

|a| = 4

а

~

, построить вектор

~

~

~

 

 

|b| = 3

c = 2 a − 3 b .

 

 

2.2. Линейная зависимость векторов

~~ ~

2.2.1.Векторы m, n и p линейно независимы. Найти линейную комбинацию или установить линейную независимость следующих векторов:

~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

а) a = 2m − n − p, b = 2n − p − m, c = 2p − m − n;

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

б) a = p,

b = m − n − p,

c = m − n + p ;

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

в) a = m + n + p ,

b = n + p, c = p − m ;

~

~

 

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

г) a = 3m − 2n + p,

b = 4m + n − p,

a = 2m − n − p.

Ответ:

~

~

~

 

 

~

~

~

 

а) a + b + c = 0 ; б)

2a + b − c = 0 ; в), г) линейно

независимые.

~

2.2.2. Определить начало вектора a = {2; −3; −1}, если его конец совпадает с точкой B(11; −1; 2) .

Ответ: A(9; 2; 3) .

2.2.3. Вычислить направляющие косинусы и орт вектора

~

a = {8; 3; −4}.

Ответ: cos α =

 

8

 

 

,

cos β =

 

3

 

, cos γ =

−4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

 

 

 

89

89

~

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{8; 3; −4}.

 

 

 

a0

=

 

 

 

 

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

на координатные оси,

2.2.4. Вычислить проекции вектора a

если его модуль

 

~

 

 

 

 

 

, а углы, которые он составляет

|a| = 2

с осями координат: α = 45, β = 60, γ = 120.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = { 2; 1; −1}.

 

 

 

Ответ: ~

 

 

 

 

 

 

 

 

11

2.2.5. Найти углы между координатными осями и векторами:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

а) m = i − j ; б) n = i − j + k ; в) p = 2 i + 2 j + 2 k .

Ответ: а) α = 45, β = 225, γ = 0;

1

1

1

 

б) cos α =

 

, cos β = −

 

, cos γ =

 

;

3

3

 

 

3

 

в) α = β = γ = 54440 .

2.2.6.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: а) α = 45, β = 135, γ = 60; б) α = 90, β = 150, γ = 60?

Ответ: а) нет; б) да.

2.2.7. Вектор ~a составляет с координатными осями Ox и Oy углы 60и 120. Вычислить его координаты при условии, что |~a| = 5 .

 

Ответ: ~a = ©

5

 

5

5

 

ª .

 

 

2

 

 

; −

 

; ±

 

 

2

2

2

 

2.2.8. Даны векторы:

~

 

 

 

 

 

 

~

 

 

a = {3; −2; 6},

b = {−2; 1; 0}. Найти

проекции на координатные оси следующих векторов:

~ ~

~

~

~

 

 

~

 

 

 

 

 

а) a + b

; б) a − b ; в)

2 a − 3 b .

 

 

 

 

Ответ:

а) 1;

−1, 6 ; б)

5;

−3;

6 ; в)

12; −7; 12 .

2.2.9.Найти координаты вектора ~a, если известно, что он параллелен плоскости xOz , составляет с осями Ox и Oz углы α = 120, γ = 30и |~a| = 3 .

 

 

 

3

 

 

 

 

3

2

3

 

 

Ответ: ~a = ©2 ;

 

 

; 2 ª .

 

 

2

 

2.2.10. Даны точки A(−1; 5; −10) , B(5; −7; 8) , C(2; 2; −7) ,

D(5;

 

 

 

 

AB и CD кол-

4; 2) . Проверить, что векторы −−→ −−→

 

 

 

 

 

линеарны. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, сонаправлены ли они.

−−→ −−→

Ответ: AB = 2 CD, векторы сонаправлены.

12

2.2.11. Дано разложение вектора

~

~

~

~

 

a

по базису i,

j ,

k :

 

~

~

~

~

 

 

 

 

 

a = 16 i−15 j +12 k . Определить разложение по этому

 

 

 

~

 

 

 

~

и про-

же базису вектора b, коллинеарного вектору a

тивоположного с ним направления, при условии, что

~

|b| = 75 .

~

~

~

~

Ответ: b = −48 i

+ 45 j

− 36 k .

2.2.12.Найти линейную комбинацию, равную нулю, или доказать линейную независимость векторов:

~

 

~

 

,

~

 

 

 

а) a = {5; 2; 1}, b = {−1; 4; 2}

c = {1; 1; −6};

 

~

~ ~

~ ~

~

~

~ ~

~

~ ~

;

б) a = 2 i − j + 4 k , b = 2 i + 5 j − 9 k , c = 6 i + 3 j − k

~

 

~

 

 

 

~

 

 

в) a = {6; −18; 12}, b = {−8; 24; −16},

c = {8; 7; −3}.

 

Ответ:

 

 

 

 

~

~

~

 

а) линейно независимы; б) 2 a + b − c = 0 ;

 

 

в)

~

~ ~

 

 

 

 

 

 

4 a + 3 b + c = 0 .

 

 

 

~~

2.2.13.Доказать, что векторы a и b образуют базис в двух-

мерном векторном пространстве. Найти разложение

~

в этом базисе:

 

 

 

 

 

 

вектора c

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

~

 

 

 

 

 

а) a = {2; −3},

b = {1; 2}, c = {9; 4};

 

 

~

 

~

 

 

~

 

 

 

 

б) a = {3; −2},

b = {−2; 1},

c = {7; −4};

 

~

 

~

 

 

~

~

~

~

,

в) a = {3; −1},

b = {1; −2},

c = a + b + d

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где d = {−1; 7}.

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

~

 

~

~

~

~ ~

Ответ: а) c = 2 a + 5 b; б) c = a − 2 b; в)

c = 2 a − 3 b .

2.2.14. Доказать, что векторы

~

~

~

 

 

 

 

a,

b , c образуют базис в трех-

мерном векторном пространстве. Найти разложение

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора d по этому базису:

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

~

 

 

а) a = {3; −2; 1}, b = {−1; 1; −2},

c = {2; 1; −3},

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = {11; −6; 5};

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

~

 

 

 

б) a = {2; 1; 0}, b = {1; −1; 2}, c = {2; 2; −1},

~

d = {3; 7; −7};

13

~

 

~

 

 

~

в) a = {2; 1; −3},

b = {3; 2; −5}, c = {1; −1; 1},

~

 

 

 

 

 

d = {6; 2; −7}.

 

 

 

 

Ответ: а)

~

~

~

~

~ ~ ~ ~

d = 2 a − 3 b + c; б) d = 2 a − 3 b + c;

 

в)

~

~

~

~

 

d = a + b + c.

2.3. Деление отрезков в данном отношении

2.3.1.Найти длину медианы, проведенной из вершины A треугольника ABC , если даны стороны треугольника: AB = 5 , BC = 6 , а угол при вершине B равен 60.

Ответ: AM = 19 .

2.3.2.Даны точки A(3; −1) , B(2; 1) . Найти координаты точки M , симметричной точке A относительно точки B .

Ответ: M (1; 3) .

2.3.3. Даны вершины треугольника ABC : A(1; 2; −1) ,

B(2; −1; 3) , C(−4; 7; 5) . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B и длину медианы

из вершины A.

√ √

Ответ: 130 , 30 .

2.3.4. Даны смежные вершины параллелограмма A(−3; 5) , B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей O(1; 1) . Найти две другие его вершины.

Ответ: (5; −3) и (1; −5) .

2.3.5. Найти центр тяжести треугольника с вершинами:

а) A(1; 1; 2) ,

B(2; 1; 2) , C(1; 1; 4) ;

б) A(5; −6; 0) , B(−1; 3; −1) , C(−10; −18; 7) .

 

 

4

 

8

; б) (−2; −7; 2) .

Ответ:

а)

µ

 

; 1;

 

3

3

14

2.4. Скалярное произведение векторов

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

2.4.1. Векторы a

и

b образуют угол

3

 

 

. Зная, что

| a | = 3 ,

 

~

 

 

 

вычислить:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| b | = 4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

2

~

~

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

а)

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a · b ; б)

(a + b)

; в) (3 a + 2 b) · (a − 2 b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: а) −6 ;

б) 13;

 

в) −13 .

 

 

 

 

2.4.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 2

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

если

Упростить выражение a

+ 3 a · b − 2 b · c + 1 ,

 

 

2

 

 

= 4 m~

 

~n ,

~

 

 

 

 

,

~c = 2 m~

 

 

 

 

3 ~n, где

m~

 

= 4 ,

 

b = m~ + 2 ~n

 

 

~a 2

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~n

= 1 , (m,~ ~n) =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

56.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

2.4.3. Векторы a и b образуют угол

3

 

 

. Зная, что

| a | = 3 ,

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

~

~

 

~

 

| b | = 2 , построить векторы c = 2 a − 3 b и

d = a + b, и

 

вычислить угол между ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ϕ = arccos

 

 

 

19

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.4. Векторы m~ и ~n образуют угол

 

π

 

. Зная, что | m~ | =

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 2 , |~n | = 3 , вычислить угол между диагоналями

 

параллелограмма, построенного на векторах m~

и ~n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ϕ = π − arccos

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

174

 

 

 

 

~~

2.4.5.Какой угол образуют единичные векторы a и b, если

~ ~ ~ ~ ~ ~

известно, что векторы p = a+2 b и q = 5 a−4 b взаимно

ортогональны ?

Ответ: ϕ = π3 .

2.4.6. Дан равносторонний треугольник ABC , у которого

−−→ ~ −−→ ~

длины сторон равны 1. Полагая BC = a, CA = b,

−−→ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

AB = c, вычислить a · b + b · c + c · a.

Ответ: 3/2.

15

2.4.7. Найти проекцию вектора ~a = 10 m~ + 2 ~n

на ось, имею-

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щую направление вектора b = 5 m~ − 12 ~n, где m~ и ~n –

 

взаимно перпендикулярные орты.

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2.

 

 

 

 

 

 

 

2.4.8.

 

 

2;

4

 

 

~

 

6;

 

3; 2

. Вычис-

 

 

}

, b =

{

 

 

Даны векторы ~a = {4; −

2

 

~

 

− }

~

 

~ ~

~

~

;

в)

 

~

~

 

лить: а) a · b ;

б) (a + b)

(2 a − 3 b) · (a + 2 b) .

 

Ответ:

а) 22;

б) 129;

в) −200 .

 

2.4.9.Будет ли треугольник с вершинами A(2; −1; 1) , B(1; 3; 2) , C(−2; −2; −15) прямоугольным ?

 

 

 

 

 

 

Ответ:

нет.

 

 

 

 

 

 

 

Даны три силы

−→

{

3;

}

−→

{

2; 3;

}

,

2.4.10.

−→

 

 

 

 

 

F1 =

 

 

4; 2

, F2 =

 

5

 

 

=

 

3;

 

2; 4

 

, приложенные к одной точке. Вы-

 

F3

{−

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числить, какую работу производит равнодействующая этих сил, если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(5; 3; −7) в положение B(4; −1; −4) .

Ответ: A=13.

2.4.11. Определить, при каком значении s векторы

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~a = s i − 3 j + 2 k и b = i + 2 j − s k взаимно перпендикулярны.

Ответ: s = −6 .

2.4.12. Даны вершины треугольника: A(3; 2; −3) , B(5; 1; −1) , C(−3; 0; 2) . Определить его внутренний угол при вер-

шине C и внешний угол при вершине A. r

 

65

 

4

Ответ: arccos

 

и arccos −

 

.

74

9

16

 

 

 

 

~

 

2.4.13. Найти вектор ~a, коллинеарный вектору b = {−4; 4; −2}

 

 

 

 

~ ~

 

и удовлетворяющий условию a · b = 12 .

 

 

Ответ: ~a =

1

{−4; 4; −2}.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

~

~

2.4.14. Вектор m~, перпендикулярный векторам ~a = 3 i+2 j +

~

~

~

~

~

тупой

+ 2 k и

b = 18 i −22 j −5 k , образует с осью Oy

угол. Найти его координаты, зная, что | m~ | = 14 .

 

Ответ: m~ = {−4; −6; 12}.

 

2.4.15. Вектор p~

перпендикулярен векторам ~a = {1; 0; 1} и

~

b = {0; 2; −1}. Найти его координаты, если Пр~c p~ = 1 , где ~c = {1; 2; 2}.

Ответ: p~ = {− 3/2; 3/4; 3/2}.

~ ~

 

 

 

 

 

2.4.16. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор ~c

образует с каждым из них угол

π

~ ~ ~

3

. Найти | a + b + c|,

~

~

 

 

,

~

если известно, что | a | = | b | = 2

| c | = 1 .

 

 

.

 

 

Ответ:

13

 

 

2.4.17. Найти координаты вектора ~c, зная, что он перпенди-

 

~

и

~

и

кулярен векторам a = {2; −3; 1}

b = {1; −2; 3}

 

~

~

~

 

удовлетворяет условию: ~c · (2i + 2j − 7k) = 10 .

 

 

Ответ: ~c = {7; 5; 1}.

 

 

2.4.18. Найти вектор ~c, перпендикулярный векторам

 

~

~

 

 

 

a = {4; −2; 1} и b = {−1; 3; 2}, проекция которого на ось ординат равна 2.

Ответ: ~c = {2; 2; −4}.

2.4.19. Найти проекцию вектора m~ = {4; −3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые

углы.

Ответ: 3 .

17

2.4.20.Найти проекцию вектора ~s = {2; −3; −5} на ось, составляющую с осями координат Ox и Oz углы

α = 45, β = 60, а с осью Oy острый угол.

Ответ: −3 .

2.5. Векторное произведение векторов

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

2.5.1. Векторы

a и

b

образуют угол

3

 

. Зная, что

| a | = 1 ,

 

~

 

 

 

 

 

 

~

~

2

 

 

 

~

 

~

 

~

~

2

.

 

| b | = 2 , вычислить: а) [ a×b ]

 

 

; б) [ (a+3b)×(3a−2b) ]

 

 

 

 

 

Ответ: а) 3;

б) 363.

 

 

 

 

 

 

 

2.5.2. Даны векторы

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = {3; −1; −2} и

b = {1; 2; −1}. Найти

 

координаты векторных произведений:

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

~

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

а) a × b; б) (2a + b) × b; в) (2a − 3b) × (a + 2b) .

 

 

 

Ответ: а) {5; 1; 7}; б) {10; 2; 14}; в)

{35; 7; 49}.

 

 

2.5.3.

Сила

F =

{

2; 2; 9

}

приложена к точке A(4; 2;

3) . Опре-

 

→−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

делить величину и направляющие косинусы момента

 

этой силы относительно точки C(2; 4; 0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

2

 

 

 

Ответ:

28;

cos α = −

 

;

cos β = −

 

; cos γ =

 

.

 

 

 

7

7

7

 

 

2.5.4. Найти расстояние от точки C(7; 3; 0)

до прямой, про-

 

ходящей через точки A(1; −1; 0) и B(3; 9; 0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5.5. Найти высоту параллелограмма, построенного на век-

~

торах ~a = {−2; 2; 1}, b = {−3; 4; 12}.

13 5

Ответ: 3 .

18

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.