Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

276.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

3.4.7. Доказать, что прямая

x + 1

y + 1

z − 3

−1

параллельна плоскости 2x + y − z = 0 , а прямая

x − 2

z − 4

лежит в этой плоскости.

−1

y − 3

z − 1

3.4.8. Показать, что прямая

параллельна

−8

−9

x = t + 7,

плоскости x + 3y

−

1 = 0 , а прямая y = t

−

лежит в этой плоскости.

z = 2t + 1

3.4.9. Найти точку пересечения прямой

x + 4

y − 1

z + 2

−2

и плоскости 2 + 3y + z − 1 = 0 .

Ответ: M (2; −3; 6) .

3.4.10. При каком значении A плоскость Ax + 3y −5z + 1 = 0

параллельна прямой					x − 1	=	y + 2	=	z	?

			4			3		1
		Ответ: A = −1 .
3.4.11. При каких значениях m и C прямая
x − 2	=	y + 1	=	z − 5	перпендикулярна плоскости

m	4			−3

3x − 2y + Cz + 1 = 0 ?

Ответ: m = −6 ; C = 1,5 .

3.4.12.Установить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения найти координаты точки пересечения:

а)	x + 1	=	y − 3	=	z	и 3x	−	3y + 2z	−	5 = 0 ;
	2
		4		3

б)

x − 13

y − 1

z − 4

и x + 2y

−

4z + 1 = 0 ;

в)

x − 7

y − 4

z − 5

и 3x

−

y + 2z

−

5 = 0 .

Ответ: а) параллельны; б) прямая лежит в плоскости; в) пересекаются в точке M (2; 3; 1) .

3.4.13.При каких значениях A и B плоскость

Ax + By + 6z − 7 = 0 перпендикулярна прямой

x − 2	=	y + 5	=	z + 1	?
2	=	−4	=		?
2		−4	3
		Ответ: A = 4 , B = −8 .
3.4.14. Найти точку пересечения прямой						x	=	y − 1	=	z
3.4.14. Найти точку пересечения прямой						1	=	y − 1	=
						1		−2	3

и плоскости 3x − y + 2z − 8 = 0 .

Ответ: M (2; 0; 1) .

3.4.15.При каких значениях B и D прямая

x − 2y + z − 9 = 0,	лежит в плоскости Oxy ?
3x + By + z + D = 0

Ответ: B = −6 ; D = −27 .

4. Линейное пространство

4.1. Понятие линейного пространства, n -мерные векторы

4.1.1. Какие из следующих множеств образуют линейное пространство над полем действительных чисел:

~	~	;
а) множество векторов ~a = x i	+ y j	;

б) множество многочленов степени n;

в) множество многочленов степени не выше n;

г) множество квадратных матриц третьего порядка; д) множество непрерывных на отрезке [a, b] функций f (x) ?

Ответ: а), в), г), д).

4.1.2.Известно, что векторы ~x, ~y , ~z линейно независимы. Будут ли линейно независимы следующие системы век-

торов: а) ~z , ~z − ~y , ~y + ~x; б) ~x, ~x + 2 ~y , ~x + 2 ~y + 3 ~z ; в) ~x − ~y , ~x − ~z , ~y − ~z ?

Ответ: а), б) линейно независимы; в) линейно зависимы.

4.1.3. Найти линейную комбинацию или доказать линейную

независимость следующих векторов:
~
а) ~a = (1; 1; 1; 1) ,	b = (2; 0; 3; −1) , ~c = (5; −1; 4; 2) ,
~	;	~
d = (1; 3; 7; −3)			,
б) ~a = (1; 1; 2; 2; 2) ,		b = (0; 5; 0; 0; 1) , ~c = (4; 1; 1; 1; 0)
~
d = (5; −3; 0; 0; 0) , ~e = (5; 2; 3; 3; 2) ;

~	, ~c = (1; 3; −1; 2) ,
в) ~a = (−1; 2; 3; 1) , b = (1; −1; 2; 0)	, ~c = (1; 3; −1; 2) ,
~
d = (2; 7; 3; 5) .
Ответ: а), б) линейно независимы;
~	~ ~

в) линейно зависимы: ~a + b + 2 ~c − d = 0 .

4.1.4. Являются ли линейно зависимыми квадратные мат-

рицы:				¶ ;	µ 0	0	¶ ;	µ 3	0	¶ ;	µ 0	4 ¶	;
а)	µ	0 0		¶ ;	µ 0	0	¶ ;	µ 3	0	¶ ;	µ 0	4 ¶	;
		1	0	¶ ;	0	2	¶ ;	0	0	¶ ;	0	0
б)	µ 1		1	¶ ;	µ 3	4	¶ ;	µ 5	7	¶ ;	µ 7	10 ¶		?
		1	1		1	2		1	3		1	4

Ответ: а) линейно независимы; б) линейно зависимы.

							2	0	¶ , B = µ	1	1
4.1.5. Доказать, что матрицы					A = µ 0			0	¶ , B = µ	1	1 ¶ ,
C = µ	0	0	¶ , D = µ		1	2	¶ в линейном простран-
	0	3			2	0
стве квадратных матриц второго порядка можно при-
нять за базисные. Найти координаты матриц:
а) µ 5	3	¶	; б) µ 0	1	¶	; в) µ		−4	2 ¶
1	2		0	0				1	3

−

в базисе из матриц A, B , C , D .

Ответ: а) (−3; 7; −5/3; −2 ); б) (1/2; −1; 1/3; 1) ; в) (−5, 5; 10; −7/3; −6) .

4.1.6.В базисе из векторов ~e1 , ~e2 , ~e3 векторы ~a1 , ~a2 , ~a3 имеют координаты ~a1 = (1; 2; 0) , ~a2 = (−1; 1; 1) , ~a3 = = (2; 0; 1) . В базисе ~a1 , ~a2 , ~a3 вектор ~c имеет координаты (−1; 2; 1) . Найти координаты вектора ~c в базисе

~e1 , ~e2 , ~e3 .

Ответ: (−1; 0; 3) .

4.1.7.Доказать, что векторы ~c1 = (1; 2; −1; −2) , ~c2 = (2; 3; 0; −1) ,

~c3 = (1; 2; 1; 3) , ~c4 = (1; 3; −1; 0) образуют базис в R4 . Найти разложение вектора x = (7; 14; −1; 2) по этому базису.

Ответ: (0; 2; 1; 2) .

4.1.8.Найти размерность и базисы линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

а) ~c1 = (1; 0; 0; −1) , ~c2 = (2; 1; 1; 0) , ~c3 = (1; 1; 1; 1) , ~c4 = (1; 2; 3; 4) , ~c5 = (0; 1; 2; 3) ;

б) ~c1 = (1; 1; 1; 1; 0) , ~c2 = (1; 1; −1; −1; −1) , ~c3 = (2; 2; 0; 0; −1 ), ~c4 = (1; 1; 5; 5; 2) ,

~c5 = (1; −1 − 1; 0; 0) .

Ответ: a) r = 3 . Базисы: (~c1, ~c2, ~c4) или (~c1, ~c2, ~c5) . б) r = 3 . Базисы: (~c1, ~c2, ~c5) , (~c1, ~c3, ~c5) , (~c1, ~c4, ~c5) .

4.1.9.Принадлежит ли вектор m~ линейной оболочке векторов ~a1 , ~a2 :

а) ~a1 = (1; 2; 3) , ~a2 = (−1; 0; 1) , m~ = (1; 10; 19) ; б) ~a1 = (1; −1; 2) , ~a2 = (3; 2; 1; ) , m~ = (0; 5; −5) ?

Ответ: а) m~ = 5 ~a1 + 4 ~a2 ; б) m~ = −3 ~a1 + ~a2 .

4.1.10.Найти ранг r системы векторов и какой-либо базис их линейной оболочки:

а) ~a1 = (1; 1; 2; 3) , ~a2 = (−1; 2; −3; 5) , ~a3 = (1; 1; 1; 1) ; б) ~a1 = (1; 2; 0; 0) , ~a2 = (1; 2; 3; 4) , ~a3 = (3; 6; 0; 0) ;

в) ~a1 = (1; 2; 3; 4) , ~a2 = (2; 3; 4; 5) , ~a3 = (3; 4; 5; 6) , a4 = (4; 5; 6; 7) .

Ответ: а) r = 3 , базис: ~a1 , ~a2 , ~a3 ; б), в) r = 2 , любая пара векторов образует базис.

4.2. Евклидово пространство

4.2.1.Вычислить скалярное произведение и угол между векторами: а) ~x = (2; 3; −1; 5) , ~y = (−1; 0; 1; 6) ;

б) ~x = (2; 2; 2; 0; −2) , ~y = (3; 3; 3; 0; 0) .

27 π Ответ: а) 27 , arccos √39√38 ; 18 , 6 .

4.2.2. Убедиться, что векторы ортогональны. Дополнить си-

стему векторов ~a и b до ортогонального базиса в R4 :

а) ~a = (1; −2; 2; −3) , b = (2; −3; 2; 4) ;

б) ~a = (1; 1; 1; 2) , b = (1; 2; 3; −3) .

Ответ: а) (2; 2; 2; 1; 0) , (5; −2; −6; −1) ; б) (1; −2; 1; 0) , (25; 4; −17; −6) .

4.2.3. С помощью процесса ортогонализации найти ортого-

нальный

базис пространства, порожденного векторами:

а) f1

= i + j ,

= 2 i − k , f3

= i − j + k ;

б) f1

= i + j + k , f2 = i − j ,

f3 = k ;

в) f1

= i + j ,

= 3 i − j + k

, f3 = 4 j − k .

Ответ:

а) ~e1 =

√

(1; 1; 0) ,

~e2 =

√

(1; −1; −1) ,

~e3 =

√

(−1; 1; −2) ;

б) ~e1 =

√

(1; 1; 1) , ~e2 =

√

(1; −1; 0) ,

~e3 =

√

(1; 1; −2) ;

в) ~e1 =

√

(1; 1; 0) , ~e2 =

(2; −2; 1) , ~e3

√

(1; −1; −4) .

4.3. Линейные отображения

4.3.1.В некотором фиксированном базисе Rn задана матрица A линейного отображения ~y = A~x и координаты

вектора ~x. Найти координаты вектора ~y :
а) A = µ	−7		1	¶ , ~x = (4; 5) ;
б) A =	2		5		, ~x = (1;
б) A =	2	0		−5	, ~x = (1;		1; 2) .
	1	3		1
	1	4		1		−

Ответ: а) ~y = (17; 33) ; б) ~y = (−4; 12; −1) .

4.3.2.Какие из следующих отображений являются линейными, если p~ фиксированный вектор, λ число:

а) A ~x = ~x + p~; б) A ~x = (~x, p~) ~x; в) A ~x = (~x, ~x) p~; г) A ~x = (p,~ p~) ~x ?

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.

4.3.3.Пусть вектор ~x = (x1, x2, x3) . Являются ли линейными следующие отображения:

а) A ~x = (x1 + 2 x2; x3 − x2; x1 + x3) ; б) B ~x = (x1 x3; x2; 2 x1) ;

в) C ~x = (2 x1 − x2; 1; x1 + 2 x2 + 3) ;

г) D ~x = (5 x1 − 3 x3; 2 x1 + x2; x3 + 2) ?

Ответ:

а) да; б) нет; в) нет; г) нет.

4.3.4. В базисе ~e1 , ~e2 задана матрица A =

¶ . Найти

e20

= ~e

+ e

−

матрицу A в базисе ~e10 , ~e20 , если

~e10 = 3 ~e1 + 2 ~e2 ,

~e2 .

A = µ

¶ .

Ответ:

−

4.3.5. В базисе ~e1 , ~e2 , ~e3

задана матрица линейного преоб-

разования A. Найти матрицу этого преобразования A

в базисе ~e10 , ~e20 , ~e30 , если известно, что

~e10 = ~e1 − ~e2 + ~e3,

A =

1 0 2

~e2 = ~e1 + ~e2 2 ~e3,

3 1 0

−

~e30 = −~e1 + 2 ~e2 + ~e3.

1 1 −2

Ответ:

−−9

−4

A =

−27

−3

−

4.3.6. Линейное отображение пространства R3 переводит век-

торы ~a1 , ~a2 , ~a3 в векторы

b1 ,

b3 . Найти матрицу

этого отображения, если:

~a1 = (−1; 6; 1) ,

~a2 = (1; 5; 2) , ~a3 = (0; 7; 2) ,

= (1; −1; 0) ,

= (0; 1; 3) .

= (1; 1; 1) , b2

		9		4	14
Ответ:	−17		−7		26
	−	8	−	3	−11	.

4.3.7. Линейное отображение x0			= 2 x + 3 y , y0 = 3 x + 5 y

переводит точку M (1; 2) в точку M1 , прямую l : x + + 2 y − 2 = 0 в прямую l1 . Найти координаты точки M1 и уравнение прямой l1 .

Ответ: M1(8; 13) ,		l1 : −x0 + y0 − 5 = 0 .
	3	1	1
	−1	−1	−3
4.3.8. Дана матрица A =	1	−5	1	линейного отоб-

ражения пространства Rn в некотором ортогональном
базисе. Привести матрицу A к диагональному виду пу-
тем перехода к новому ортогональному базису.
				,		1
						1
	2	0	0		~e1	=	√	2	(1; 0; 1),
						1
Ответ: A =	0	3	0		~e2	=	√	3	(1; 1; 1),
e	0	0	6		~e1	= √6 (1; −2; 1).

4.3.9.Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:

а) 5 x2 + 4 xy + 8 y2 − 32 x − 56 y + 80 = 0 ; б) 9 x2 − 4 xy + 6 y2 + 16 x − 8 y − 2 = 0 ; в) x2 − 2 xy + y2 − 10 x − 6 y + 25 = 0 ;

г) 5 x2 + 12 xy − 22 x − 12 y − 19 = 0 .

Ответ:

(x0)2

(y0)2

а)

= 1 в базисе

~e1 =

√

(2; 1) , ~e2

√

(1; 2) ;

(x0)2

б)

+(y0)

= 1 , O0(−5 ;

5 )

~e1 =

√

(1; 2) , ~e2 =

√

(−2; 1) ;

в)

(y0)2 = 4√

x0 , O0(2; 1) ,

(1; 1) , ~e2 =

1; 1) ;

~e1

(

√2

−

(x0)2

(y0)2

√2

г)

= 1 , O0(1; 1) , ~e1

(3; 2) , ~e2

( 2; 3) .

− 9

√13

−

Составители

Илья Абрамович Бертик Юрий Михайлович Вахромеев Ирина Артуровна Веде Елена Юрьевна Гошко

Нина Мелентьевна Макейкина Андрей Михайлович Раменский

ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебные задания и методические указания для студентов всех специальностей и форм обучения

Редактор А.В. Тренина

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 54.НС.05.953.П.006252.06.06 от 26.06.2006 г.

Подписано к печати 25.06.2008. Формат 60х84 1/16 д.л. Гарнитура Computer Modern. Бумага газетная. Ризография. Объем 3,75 п.л. Тираж 573 экз. Заказ №

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ (Сибстрин)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в папке Lineynaya algebra i analitich_geom

#
06.06.20152.14 Mб12Arefev_k_p_nagornova_a_i_i_dr_vysshaya_matematika_chast_1_li.pdf
#
06.06.2015276.75 Кб29Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006.pdf
#
06.06.20153.07 Mб207Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.doc
#
06.06.2015990.17 Кб13Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.pdf
#
06.06.20151.01 Mб16Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya.pdf
#
06.06.20154.73 Mб55Nikolaeva_n_i_lineynaya_algebra_vektornaya_algebra_analitich.doc
#
06.06.20158.52 Mб22Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011.pdf