Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006
.pdf3.4.7. Доказать, что прямая |
|
x + 1 |
= |
y + 1 |
= |
z − 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
параллельна плоскости 2x + y − z = 0 , а прямая |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x − 2 |
= |
y |
= |
z − 4 |
лежит в этой плоскости. |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
y − 3 |
|
z − 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
3.4.8. Показать, что прямая |
|
= |
= |
параллельна |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
−8 |
−9 |
x = t + 7, |
|||||||||
плоскости x + 3y |
|
− |
2z |
− |
1 = 0 , а прямая y = t |
− |
2, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
лежит в этой плоскости. |
|
|
|
|
|
z = 2t + 1 |
|||||||||||||||||||
3.4.9. Найти точку пересечения прямой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x + 4 |
= |
y − 1 |
= |
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и плоскости 2 + 3y + z − 1 = 0 .
Ответ: M (2; −3; 6) .
3.4.10. При каком значении A плоскость Ax + 3y −5z + 1 = 0
параллельна прямой |
x − 1 |
= |
y + 2 |
= |
z |
? |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
3 |
1 |
|
||||
|
|
Ответ: A = −1 . |
|
|
|
|||||
3.4.11. При каких значениях m и C прямая |
|
|||||||||
x − 2 |
= |
y + 1 |
= |
z − 5 |
перпендикулярна плоскости |
|||||
|
||||||||||
m |
4 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
3x − 2y + Cz + 1 = 0 ?
Ответ: m = −6 ; C = 1,5 .
3.4.12.Установить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения найти координаты точки пересечения:
а) |
x + 1 |
= |
y − 3 |
= |
z |
и 3x |
− |
3y + 2z |
− |
5 = 0 ; |
2 |
|
|||||||||
|
4 |
3 |
|
|
|
49
б) |
x − 13 |
= |
y − 1 |
= |
z − 4 |
и x + 2y |
− |
4z + 1 = 0 ; |
||||||||
|
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
x − 7 |
= |
y − 4 |
= |
z − 5 |
и 3x |
− |
y + 2z |
− |
5 = 0 . |
||||||
|
25 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
Ответ: а) параллельны; б) прямая лежит в плоскости; в) пересекаются в точке M (2; 3; 1) .
3.4.13.При каких значениях A и B плоскость
Ax + By + 6z − 7 = 0 перпендикулярна прямой
x − 2 |
= |
y + 5 |
= |
z + 1 |
? |
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ответ: A = 4 , B = −8 . |
|
|
|
|
|||||
3.4.14. Найти точку пересечения прямой |
x |
= |
y − 1 |
= |
z |
||||||
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
3 |
и плоскости 3x − y + 2z − 8 = 0 .
Ответ: M (2; 0; 1) .
3.4.15.При каких значениях B и D прямая
½
x − 2y + z − 9 = 0, |
лежит в плоскости Oxy ? |
3x + By + z + D = 0 |
|
Ответ: B = −6 ; D = −27 .
50
4. Линейное пространство
4.1. Понятие линейного пространства, n -мерные векторы
4.1.1. Какие из следующих множеств образуют линейное пространство над полем действительных чисел:
~ |
~ |
; |
а) множество векторов ~a = x i |
+ y j |
б) множество многочленов степени n;
в) множество многочленов степени не выше n;
г) множество квадратных матриц третьего порядка; д) множество непрерывных на отрезке [a, b] функций f (x) ?
Ответ: а), в), г), д).
4.1.2.Известно, что векторы ~x, ~y , ~z линейно независимы. Будут ли линейно независимы следующие системы век-
торов: а) ~z , ~z − ~y , ~y + ~x; б) ~x, ~x + 2 ~y , ~x + 2 ~y + 3 ~z ; в) ~x − ~y , ~x − ~z , ~y − ~z ?
Ответ: а), б) линейно независимы; в) линейно зависимы.
4.1.3. Найти линейную комбинацию или доказать линейную
независимость следующих векторов: |
|
||
~ |
|
|
|
а) ~a = (1; 1; 1; 1) , |
b = (2; 0; 3; −1) , ~c = (5; −1; 4; 2) , |
|
|
~ |
; |
~ |
|
d = (1; 3; 7; −3) |
, |
||
б) ~a = (1; 1; 2; 2; 2) , |
b = (0; 5; 0; 0; 1) , ~c = (4; 1; 1; 1; 0) |
||
~ |
|
|
|
d = (5; −3; 0; 0; 0) , ~e = (5; 2; 3; 3; 2) ; |
|
~ |
, ~c = (1; 3; −1; 2) , |
в) ~a = (−1; 2; 3; 1) , b = (1; −1; 2; 0) |
|
~ |
|
d = (2; 7; 3; 5) . |
|
Ответ: а), б) линейно независимы; |
|
~ |
~ ~ |
в) линейно зависимы: ~a + b + 2 ~c − d = 0 .
51
4.1.4. Являются ли линейно зависимыми квадратные мат-
рицы: |
|
¶ ; |
µ 0 |
0 |
¶ ; |
µ 3 |
0 |
¶ ; |
µ 0 |
4 ¶ |
; |
|
||
а) |
µ |
0 0 |
|
|||||||||||
|
|
1 |
0 |
¶ ; |
0 |
2 |
¶ ; |
0 |
0 |
¶ ; |
0 |
0 |
|
|
б) |
µ 1 |
1 |
µ 3 |
4 |
µ 5 |
7 |
µ 7 |
10 ¶ |
? |
|||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
1 |
4 |
|
|
Ответ: а) линейно независимы; б) линейно зависимы.
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
¶ , B = µ |
1 |
1 |
4.1.5. Доказать, что матрицы |
A = µ 0 |
0 |
1 |
1 ¶ , |
|||||||
C = µ |
0 |
0 |
¶ , D = µ |
1 |
2 |
¶ в линейном простран- |
|||||
|
0 |
3 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
стве квадратных матриц второго порядка можно при- |
|||||||||||
нять за базисные. Найти координаты матриц: |
|
|
|||||||||
а) µ 5 |
3 |
¶ |
; б) µ 0 |
1 |
¶ |
; в) µ |
−4 |
2 ¶ |
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
−
в базисе из матриц A, B , C , D .
Ответ: а) (−3; 7; −5/3; −2 ); б) (1/2; −1; 1/3; 1) ; в) (−5, 5; 10; −7/3; −6) .
4.1.6.В базисе из векторов ~e1 , ~e2 , ~e3 векторы ~a1 , ~a2 , ~a3 имеют координаты ~a1 = (1; 2; 0) , ~a2 = (−1; 1; 1) , ~a3 = = (2; 0; 1) . В базисе ~a1 , ~a2 , ~a3 вектор ~c имеет координаты (−1; 2; 1) . Найти координаты вектора ~c в базисе
~e1 , ~e2 , ~e3 .
Ответ: (−1; 0; 3) .
4.1.7.Доказать, что векторы ~c1 = (1; 2; −1; −2) , ~c2 = (2; 3; 0; −1) ,
~c3 = (1; 2; 1; 3) , ~c4 = (1; 3; −1; 0) образуют базис в R4 . Найти разложение вектора x = (7; 14; −1; 2) по этому базису.
Ответ: (0; 2; 1; 2) .
52
4.1.8.Найти размерность и базисы линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
а) ~c1 = (1; 0; 0; −1) , ~c2 = (2; 1; 1; 0) , ~c3 = (1; 1; 1; 1) , ~c4 = (1; 2; 3; 4) , ~c5 = (0; 1; 2; 3) ;
б) ~c1 = (1; 1; 1; 1; 0) , ~c2 = (1; 1; −1; −1; −1) , ~c3 = (2; 2; 0; 0; −1 ), ~c4 = (1; 1; 5; 5; 2) ,
~c5 = (1; −1 − 1; 0; 0) .
Ответ: a) r = 3 . Базисы: (~c1, ~c2, ~c4) или (~c1, ~c2, ~c5) . б) r = 3 . Базисы: (~c1, ~c2, ~c5) , (~c1, ~c3, ~c5) , (~c1, ~c4, ~c5) .
4.1.9.Принадлежит ли вектор m~ линейной оболочке векторов ~a1 , ~a2 :
а) ~a1 = (1; 2; 3) , ~a2 = (−1; 0; 1) , m~ = (1; 10; 19) ; б) ~a1 = (1; −1; 2) , ~a2 = (3; 2; 1; ) , m~ = (0; 5; −5) ?
Ответ: а) m~ = 5 ~a1 + 4 ~a2 ; б) m~ = −3 ~a1 + ~a2 .
4.1.10.Найти ранг r системы векторов и какой-либо базис их линейной оболочки:
а) ~a1 = (1; 1; 2; 3) , ~a2 = (−1; 2; −3; 5) , ~a3 = (1; 1; 1; 1) ; б) ~a1 = (1; 2; 0; 0) , ~a2 = (1; 2; 3; 4) , ~a3 = (3; 6; 0; 0) ;
в) ~a1 = (1; 2; 3; 4) , ~a2 = (2; 3; 4; 5) , ~a3 = (3; 4; 5; 6) , a4 = (4; 5; 6; 7) .
Ответ: а) r = 3 , базис: ~a1 , ~a2 , ~a3 ; б), в) r = 2 , любая пара векторов образует базис.
4.2. Евклидово пространство
4.2.1.Вычислить скалярное произведение и угол между векторами: а) ~x = (2; 3; −1; 5) , ~y = (−1; 0; 1; 6) ;
б) ~x = (2; 2; 2; 0; −2) , ~y = (3; 3; 3; 0; 0) .
27 π Ответ: а) 27 , arccos √39√38 ; 18 , 6 .
53
4.2.2. Убедиться, что векторы ортогональны. Дополнить си-
~
стему векторов ~a и b до ортогонального базиса в R4 :
~
а) ~a = (1; −2; 2; −3) , b = (2; −3; 2; 4) ;
~
б) ~a = (1; 1; 1; 2) , b = (1; 2; 3; −3) .
Ответ: а) (2; 2; 2; 1; 0) , (5; −2; −6; −1) ; б) (1; −2; 1; 0) , (25; 4; −17; −6) .
4.2.3. С помощью процесса ортогонализации найти ортого-
нальный |
базис пространства, порожденного векторами: |
||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|||||||||||||
а) f1 |
= i + j , |
f2 |
= 2 i − k , f3 |
= i − j + k ; |
|
||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) f1 |
= i + j + k , f2 = i − j , |
f3 = k ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
||||||||||||||||
в) f1 |
= i + j , |
f2 |
= 3 i − j + k |
, f3 = 4 j − k . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
а) ~e1 = |
√ |
|
(1; 1; 0) , |
~e2 = |
√ |
|
|
|
(1; −1; −1) , |
~e3 = |
√ |
|
|
(−1; 1; −2) ; |
|||||||||||||||
2 |
3 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
б) ~e1 = |
√ |
|
|
(1; 1; 1) , ~e2 = |
√ |
|
(1; −1; 0) , |
~e3 = |
√ |
|
|
(1; 1; −2) ; |
|||||||||||||||||
3 |
2 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
в) ~e1 = |
√ |
|
|
(1; 1; 0) , ~e2 = |
|
|
(2; −2; 1) , ~e3 |
= |
√ |
|
(1; −1; −4) . |
||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
18 |
4.3. Линейные отображения
4.3.1.В некотором фиксированном базисе Rn задана матрица A линейного отображения ~y = A~x и координаты
вектора ~x. Найти координаты вектора ~y : |
|||||||
а) A = µ |
−7 |
|
1 |
¶ , ~x = (4; 5) ; |
|
|
|
б) A = |
2 |
|
5 |
|
, ~x = (1; |
|
|
2 |
0 |
|
−5 |
|
1; 2) . |
||
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
1 |
|
− |
|
Ответ: а) ~y = (17; 33) ; б) ~y = (−4; 12; −1) .
4.3.2.Какие из следующих отображений являются линейными, если p~ фиксированный вектор, λ число:
54
а) A ~x = ~x + p~; б) A ~x = (~x, p~) ~x; в) A ~x = (~x, ~x) p~; г) A ~x = (p,~ p~) ~x ?
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.
4.3.3.Пусть вектор ~x = (x1, x2, x3) . Являются ли линейными следующие отображения:
а) A ~x = (x1 + 2 x2; x3 − x2; x1 + x3) ; б) B ~x = (x1 x3; x2; 2 x1) ;
в) C ~x = (2 x1 − x2; 1; x1 + 2 x2 + 3) ;
г) D ~x = (5 x1 − 3 x3; 2 x1 + x2; x3 + 2) ?
|
Ответ: |
а) да; б) нет; в) нет; г) нет. |
|
|||||||||||||
4.3.4. В базисе ~e1 , ~e2 задана матрица A = |
µ |
|
1 |
2 |
¶ . Найти |
|||||||||||
|
1 |
3 |
||||||||||||||
e20 |
= ~e |
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
матрицу A в базисе ~e10 , ~e20 , если |
~e10 = 3 ~e1 + 2 ~e2 , |
|||||||||||||||
~ |
1 |
~e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = µ |
|
5 |
0 |
¶ . |
|
|
|
|
||||||
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
− |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.3.5. В базисе ~e1 , ~e2 , ~e3 |
задана матрица линейного преоб- |
|||||||||||||||
разования A. Найти матрицу этого преобразования A |
||||||||||||||||
в базисе ~e10 , ~e20 , ~e30 , если известно, что |
|
|
|
e |
||||||||||||
|
~e10 = ~e1 − ~e2 + ~e3, |
|
A = |
1 0 2 |
. |
|||||||||||
|
~e2 = ~e1 + ~e2 2 ~e3, |
3 1 0 |
||||||||||||||
0 |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
~e30 = −~e1 + 2 ~e2 + ~e3. |
|
|
|
1 1 −2 |
|||||||||||
|
|
|
e |
|
29 |
|
|
|
41 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
Ответ: |
7 |
|
−−9 |
|
−4 |
|
|
||||||||
|
A = |
19 |
|
−27 |
|
−3 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
4.3.6. Линейное отображение пространства R3 переводит век- |
||||||||||||||||
торы ~a1 , ~a2 , ~a3 в векторы |
~ |
|
~ |
, |
~ |
|
|
|
|
|
||||||
|
b1 , |
b2 |
b3 . Найти матрицу |
|||||||||||||
этого отображения, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~a1 = (−1; 6; 1) , |
~a2 = (1; 5; 2) , ~a3 = (0; 7; 2) , |
|
|
|||||||||||||
~ |
|
~ |
= (1; −1; 0) , |
~ |
|
= (0; 1; 3) . |
|
|
||||||||
b1 |
= (1; 1; 1) , b2 |
b3 |
|
|
|
55
|
|
|
9 |
|
4 |
14 |
|
Ответ: |
−17 |
−7 |
26 |
||||
|
− |
8 |
− |
3 |
−11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.3.7. Линейное отображение x0 |
= 2 x + 3 y , y0 = 3 x + 5 y |
переводит точку M (1; 2) в точку M1 , прямую l : x + + 2 y − 2 = 0 в прямую l1 . Найти координаты точки M1 и уравнение прямой l1 .
Ответ: M1(8; 13) , |
l1 : −x0 + y0 − 5 = 0 . |
|||
|
3 |
1 |
1 |
|
−1 |
−1 |
−3 |
||
4.3.8. Дана матрица A = |
1 |
−5 |
1 |
линейного отоб- |
ражения пространства Rn в некотором ортогональном |
|||||||||||
базисе. Привести матрицу A к диагональному виду пу- |
|||||||||||
тем перехода к новому ортогональному базису. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
2 |
0 |
0 |
|
~e1 |
= |
√ |
2 |
(1; 0; 1), |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
Ответ: A = |
0 |
3 |
0 |
|
~e2 |
= |
√ |
3 |
(1; 1; 1), |
||
e |
|
0 |
0 |
6 |
|
|
~e1 |
= √6 (1; −2; 1). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.9.Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду:
а) 5 x2 + 4 xy + 8 y2 − 32 x − 56 y + 80 = 0 ; б) 9 x2 − 4 xy + 6 y2 + 16 x − 8 y − 2 = 0 ; в) x2 − 2 xy + y2 − 10 x − 6 y + 25 = 0 ;
г) 5 x2 + 12 xy − 22 x − 12 y − 19 = 0 .
Ответ:
|
|
(x0)2 |
|
|
(y0)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1 в базисе |
~e1 = |
√ |
|
|
|
(2; 1) , ~e2 |
|
= |
√ |
|
|
(1; 2) ; |
||||||||||||||||
9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x0)2 |
2 |
|
4 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
б) |
|
|
+(y0) |
= 1 , O0(−5 ; |
5 ) |
, |
~e1 = |
√ |
|
(1; 2) , ~e2 = |
√ |
|
|
(−2; 1) ; |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
(y0)2 = 4√ |
|
|
x0 , O0(2; 1) , |
|
|
|
1 |
(1; 1) , ~e2 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1; 1) ; |
|||||||||||||||||||
2 |
~e1 |
= |
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√2 |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x0)2 |
|
(y0)2 |
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
г) |
|
= 1 , O0(1; 1) , ~e1 |
= |
1 |
|
|
|
(3; 2) , ~e2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
( 2; 3) . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
− 9 |
√13 |
|
√13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
56
Составители
Илья Абрамович Бертик Юрий Михайлович Вахромеев Ирина Артуровна Веде Елена Юрьевна Гошко
Нина Мелентьевна Макейкина Андрей Михайлович Раменский
ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебные задания и методические указания для студентов всех специальностей и форм обучения
Редактор А.В. Тренина
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 54.НС.05.953.П.006252.06.06 от 26.06.2006 г.
Подписано к печати 25.06.2008. Формат 60х84 1/16 д.л. Гарнитура Computer Modern. Бумага газетная. Ризография. Объем 3,75 п.л. Тираж 573 экз. Заказ №
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113
Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ (Сибстрин)