Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006

2.5.6. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями ко-

~

торого служат векторы ~a = 2p~ − ~q и b = 4p~ − 5~q, где

| p~ | = | ~q | = 1 , (p,~ ~q) = 45◦ .

√

3 2

Ответ: 2 .

2.5.7. Найти площадь и угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ~a = m~ + 2~n и

~

b = 2m~ + ~n , если m~ и ~n – единичные векторы, образующие угол 30◦ .

Ответ: 32 ; ϕ = π2 .

2.5.8. Вектор m~ , перпендикулярный векторам ~a = {4; −2; −3}

~

и b = {0; 1; 3}, образует с осью Oy тупой угол, | m~ | = 26 . Найти его координаты.

Ответ: m~ = {−6; −24; 8}.

2.5.9. Вектор p~, перпендикулярный оси Oz и вектору

~a = {8; −15; 3}, образует острый угол с осью Ox. Зная, что | p~ | = 51 , найти его координаты.

Ответ: m~ = {45; 24; 0}.

2.5.10.Найти вектор ~c, если известно, что он перпендикулярен векторам p~ = {2; −2; 1} и ~q = {3; 5; −2}, а его проекция на ось аппликат равна 8.

Ответ: ~c = {−1/2; 7/2; 8}.

2.5.11. Дан вектор m~ = {1; −2; 3}. Найти его проекцию на

~ ~ ~ ~ ~

вектор ~n = (2i + j − k) × (i − 2k) .

11

Ответ: −√ .

14

19

2.5.12. Найти вектор ~c, перпендикулярный векторам

2.5.13. Вычислить длину вектора ~c = (2a−4b) ×(a+ 3b) , если

~ ~ ~ ~ ◦

известно, что | a | = 2 , | b | = 1 и (a, b) = 60 .

√

Ответ: 10 3 .

2.5.14. Найти координаты единичного вектора, перпендику-

2.6. Смешанное произведение векторов

~~ ~

2.6.1.Векторы a, b, c образуют правую тройку и взаимно

20

2.6.5. Дана пирамида ABCD : A(−1; −1; −4) , B(−4; −3; −4) , C(−3; −4; −4) , D(2; −3; 2) . Точка P делит ребро BD в отношении 1:5. Найти объем пирамиды ABCP .

Ответ: 5/6.

2.6.6.Объем треугольной пирамиды V = 5 , три ее вершины находятся в точках A(2; 1; −1) , B(3; 0; −1) , C(2; −1; 3) . Найти координаты четвертой вершины D , если известно, что она лежит на оси Oy .

Ответ: D1(0; 8; 0) , D2(0; −7; 0) .

2.6.7.Проверить, лежат ли четыре точки A, B , C , D в одной плоскости:

а) A(2; −1; 2) , B(1; 2; 1) , C(2; 3; 0) , D(5; 0; −6) ; б) A(1; 2; −1) , B(0; 1; 5) , C(−1; 2; 1) , D(2; 1; 3) .

Ответ: а) да; б) да.

~~ ~

2.6.8.Будут ли векторы a, b, c компланарны ? Если да, то найти линейную зависимость между ними:

~

в) ~a = {3; 1; 1}, b = {1; −2; 4}, ~c = {4; 3; −6}.

~ ~ ~ ~ ~ ~

Ответ: а) c = 5a + b; б) c = a + 2b; в) линейно независимы.

~

2.6.9. Определить, при каком значении t векторы ~a = 4i +

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

+ j + 5k , b = i + 2j + 4k , ~c = t i − j + k компланарны.

Ответ: t = 3 .

2.6.10. Треугольная пирамида построена на векторах:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~a = −5i + 5j , b = −5i + 5k , ~c = 5i + 5k . Вычислить: а) объем пирамиды;

~ ~

б) площадь грани, построенной на векторах a, b ;

21

3. Аналитическая геометрия

3.1. Прямая на плоскости

3.1.1. Какие линии определяют следующие уравнения:

Ответ: прямые.

3.1.2.Какие из указанных точек A(1; −2) , B(−2; 1) , C(−1; 4) , D(−2; 3) , E(0; 4) принадлежат прямым из задачи 3.1.1 ?

Ответ: а) A; б) B ; в) C ; г) D ; д) E .

3.1.3.Каков геометрический смысл переменных x и y в уравнениях задачи 3.1.1 ?

Ответ: координаты текущей (произвольной) точки на прямой.

3.1.4.Найти угловой коэффициент, направляющий вектор и нормальный вектор прямых:

22

3.1.5.Построить прямые в задачах 3.1.1 и 3.1.4.

3.1.6.Найти точку пересечения и угол между прямыми:

а) y = −x + 4 , y = 2x + 1 ; б) y = 3x + 2 , 2x −y + 1 = 0 ; в) −x + 2y = 0 , 2x + y − 5 ;

в) M (2; 1) , ϕ = π/2 ; г) M (−3; 2) , tg ϕ = −4/7; д) M (2; −5) , tg ϕ = 6/7.

3.1.8.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; −2)

инаклоненной к оси Ox под углом:

3.1.9. Материальная точка m в начальный момент времени t = 0 находится в точке M0(0; −1) и начинает дви-

~ ~

гаться равномерно со скоростью ~v = 3i − 2j . Найти траекторию точки в плоскости Oxy .

Ответ: x = 3t, y = −1 − 2t .

3.1.10.Дана прямая −3x + 4y + 2 = 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(−1; 2) : а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой; в) под углом 45◦ к данной прямой.

23

Ответ: а) −3(x + 1) + 4(y − 2) = 0 ;

б) 4(x + 1) + 3(y − 2) = 0 ; в) y − 2 = 7(x + 1) .

3.1.11.Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3x − y + 1 = 0 , x + 3y − 13 = 0 . Одна из вершин прямоугольника лежит в начале координат. Составить уравнения двух других сторон прямоугольника.

Ответ: y = 3x, y = −13 x.

3.1.12. Даны уравнения двух сторон квадрата x + y − 2 = 0 , x − y + 2 = 0 и уравнение одной из его диагоналей y = −3 . Найти вершины квадрата и уравнения двух других его сторон.

Ответ: A(0; 2) , B(5; 3) , C(0; −8) , D(−5; 3) , x + y + 8 = 0 , x − y − 8 = 0 .

3.1.13.Найти уравнения сторон равнобокой трапеции, если A(−3; 0) , B(3; 0) вершины, лежащие на большем основании, высота трапеции равна 4, а боковые стороны образуют с основанием угол 60◦ .

√

Ответ: y = 0 , y = 4 , y − 0 = 3(x + 3) ,

√

y − 0 = − 3(x + 3) .

3.1.14.Стороны треугольника заданы уравнениями

−3x + y + 1 = 0 , x − 7y − 7 = 0 , x + y − 7 = 0 . Найти: а) вершины треугольника; б) уравнения медиан; в) центр тяжести треугольника.

в) (3; 4/3) .

24

3.1.15.Найти уравнения катетов прямоугольного треугольника, если вершина прямого угла A(4; −1) , уравнение гипотенузы 3x − y + 5 = 0 , а один из катетов параллелен прямой y = 2x − 1 .

Ответ: 2(x − 4) − (y + 1) = 0 , (x − 4) + 2(y + 1) = 0 .

3.1.16.Даны две точки: A(2; −3) , B(1; 4) . Найти уравнение прямой, проходящей через точку P (−2; 1) перпендикулярно прямой AB .

Ответ: −(x + 2) + 7(y − 1) = 0 .

3.1.17.Найти проекцию точки P (−4; 8) на прямую AB , где

A(−1; 3) , B(3; 2) .

Ответ: (−5; 4) .

3.1.18. Найти проекцию начала координат на прямые:

3.1.19.Найти уравнения сторон прямоугольного треугольника ABM , где A(−3; 1) , B(3; −7) , а точка M вершина прямого угла лежит на положительной полуоси абсцисс.

3.1.20.Даны вершины треугольника: M (1; −2) , N (−3; 1) ,

P (0; −4) . Найти уравнения сторон треугольника ABC , каждая из которых проходит через вершину треугольника M N P параллельно его противолежащей стороне.

25

3.1.21.Даны вершины треугольника: A(1; 4) , B(−7; −2) ,

C(−4; −6) . Найти уравнения: а) сторон треугольника; б) высоты из точки A; в) медианы из вершины C ; г) биссектрисы угла B .

3.1.22. Стороны треугольника заданы уравнениями:

−2x + 3y + 1 = 0 , x − y − 1 = 0 , 3x − 4y − 1 = 0 . Найти вершины треугольника, точку пересечения медиан и точку пересечения высот.

Ответ: Вершины: (−1; −1) , (2; 1) , (3; 2) . Точка пересечения медиан (4/3; 2/3) . Точка пересечения высот (17; −19) .

3.1.23.Стороны треугольника заданы уравнениями: x = 2 + t , y = 1 + 4t; x = 25 − 3t, y = 2 + t;

x = 17 + 5t , y = −2 − t. Найти центр тяжести треугольника и точку пересечения его высот.

Ответ: (73/3; −2/3) , (3; 4) .

3.1.24.Даны вершины треугольника: M (−2; 3) , N (−1; 0) , P (2; 1) . Найти уравнения: а) высот острых углов;

б) прямой, проходящей через вершину N и центр описанной окружности Q.

Ответ: Треугольник прямоугольный, высоты:

N M : 3x + y + 3 = 0 , N P : x − 3y + 1 = 0 .

N Q : 2x − y + 2 = 0 медиана.

26

3.1.25.Даны четыре точки: A(1; −4) , B(0; −1) , C(10; 5) , D(6; −1) . Проверить, что они являются вершинами трапеции. Найти уравнения диагоналей и средней линии этой трапеции.

Ответ: BD : y + 1 = 0 , AC : x − y − 5 = 0 . M N : 3x − 5y − 9 = 0 .

3.1.26.Проверить, лежат или не лежат на одной прямой три данные точки:

а) A(−1; −2) , B(3; 2) , C(8; 7) ; б) A(3; −1) , B(−1; 1) , C(0; 3) ; в) A(3; −1) , B(−2; 4) , C(2; 0) .

Если не лежат, то найти площадь соответствующего треугольника.

Ответ: а) лежат; б) не лежат, S4ABC = 5 ; в) лежат.

3.1.27.Какую абсциссу имеет точка P с ординатой y = −1 , если она лежит на одной прямой с точками M (−3; 2) ,

N (1; 4) ?

Ответ: x = −9 .

3.1.28.Луч света был направлен по прямой 2x − 3y − 4 = 0 на ось абсцисс и отразился от неё. Найти уравнение прямой отраженного луча.

Ответ: y = −23 (x − 2) .

3.1.29.Найти площадь треугольника, ограниченного прямой 3x − 2y + 6 = 0 и осями координат.

Ответ: S = 3 .

3.1.30.Найти уравнение прямой, которая проведена через точку M (2; −3) так, что площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, равна 4.

27

3.1.31.Определить значение p, при котором две прямые: а) −x + 3y + 2 = 0 , px − 6y − 1 = 0 ;

б) 2x + py + 7 = 0 , x − 3y + 4 = 0 ; в) px + 2y − 3 = 0 , 8x + py + 2 = 0 ; г) 4x − py + 5 = 0 , −px + 4y − 6 = 0 ; д) px − 2y − 2 = 0 , px − py + 1 = 0 ; е) px + py − 4 = 0 , 3x − py + 8 = 0 ,

параллельны, перпендикулярны, пересекаются.

Ответ: Прямые параллельны, если а) p = 2 , б) p = −6 , в) p = ±4 , г) p = ±4 , д) p = 2 , е) p = −3 .

Прямые перпендикулярны, если а) p = −18 , б) p = 32 ,

в) p = 0 , г) p = 0 , д) p = −2 , е) p = 3 .

Прямые пересекаются, если а) p 6= 2 , б) p 6= −6 , в) p 6= ±4 , г) p = ±4 , д) p 6= 2 , е) p 6= −3 .

3.1.32.Определить, пересекаются или нет указанные три прямые в одной точке:

а) 3x + 3y − 1 = 0 , 7x − 5y − 3 = 0 , 4x − y + 2 = 0 ; б) −x + 2y − 1 = 0 , 2x + y − 3 = 0 , 3x + 4y − 7 = 0 ; в) x + 2y − 1 = 0 , −17x + y + 2 = 0 , −3x + y + 2 = 0 .

Ответ: а) не пересекаются; б) пересекаются; в) не пересекаются.

3.1.33.Можно ли установить, не строя прямую, лежит начало координат над или под данной прямой:

а) −2x+ 3y −4 = 0 ; б) x−5y + 2 = 0 ; в) 3x+ y + 1 = 0 ; г) −5x − 2y + 3 = 0 ; д) −5x − 7y − 5 = 0 ?

Ответ: а) под; б) под; в) над; г) под; д) над.

3.1.34.Найти расстояние от точки M (−1; 2) до прямых: а) y + 1 = 3 (x − 2) ; б) −(x − 1) + 4 (y + 2) = 0 ;

28