VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции ЧА

корня x

функции f (x) и сходимости к нему приближений метода Ньютона.

Теорема 1. Если f (x)

C1[a, b] выпукла вниз на отрезке [a, b] и

f (a) 0 , f (b)

0 , то

уравнение f (x)

0 имеет единственное

решение x

[a, b] ;

приближения xn

1 xn

f (xn )

метода

Ньютона

при

x0 x ,

f (xn )

например,

x0

a , строго возрастают и сходятся к этому корню.

Доказательство.

f (x)

Существование решения x

уравнения f (x)

0

f (x0 )

следует из того, что

f (x)

C[a, b]

принимает

все значения между f (a)

0 и f (b)

0 .

f (x1)

На картинке единственность корня очевидна,

f (x2 )

но картинка не доказательство!

Пусть

x

x

− корни

функции

f (x) .

Из

x

x1

x2

определения

выпуклости

вниз

и

условия

f (b)

0 следует, что

Метод Ньютона для

0

f (x

)

x

b

f (x

)

x

x

f (b)

выпуклой вниз функции

x

b

b

x

x

x

f (b)

0

x

x

0

b

x

b

x

и, значит, x

x .

Теперь покажем, что последовательность {xn} метода Ньютона

определена и строго возрастает.

Прежде всего, заметим, что на интервале [a, x )

функция

f (x)

0

и

строго убывает, т.е. f (x)

0 (докажите этот факт).

Тогда для xn

[a, x ) мы можем вычислить

xn

1

xn

f (xn )

xn

и

f (xn )

xn 1

f (xn

1)

(докажите этот

факт:

график

выпуклой

вниз

функции

выше касательной в любой ее точке), т.е. xn

1

x .

Ограниченная

строго

возрастающая

последовательность

{xn}

имеет

x

x и,

переходя

к

пределу

в

равенстве

f (xn )(xn

1

xn )

f (xn ) ,

убеждаемся,

что

он

является

корнем

функции

f (x) ,

а

в

силу

единственности корня x

x .

f (x)

f (x)

f (x)

f (x0 )

x2

x1

x

x1

x2

x

f (x1)

f (x1)

f (x1)

x2 x1

x

f (x0 )

f (x0 )

Метод Ньютона для

Метод Ньютона для

Метод Ньютона для

выпуклой вниз функции

выпуклой вверх функции

выпуклой вверх функции

P(t) a

2

t2

a t a

0

,

a

2

0, a

0

0 ,

(6)

1

с положительными корнями t

t .

t

t

0 t0

t1

tn

tn 1

t

Из теоремы 1 следует, что последовательность {tn } метода Ньютона

t

0

0, t

n 1

t

n

P(tn )

, n 0, 1, ...,

(7)

P (tn )

a

a2

4a

0

a

2

строго возрастает и сходится к t

1

1

0 , если (условие

2a2

положительности корней полинома) D a2

4a

0

a

2

0 .

1

t0

0, tn 1

tn

P(tn )

tn

a2

(tn

t

)(tn

t

)

P (tn )

[a2

(tn

t

)(tn

t

)]

(8)

(tn ) tn

(tn

t )(tn

t

)

, n

0, 1, ...,

2tn

(t

t

)

0

t

tn

1

(t

)

(tn )

(

n )(t

tn )

0.5

(t

tn ) ,

(9)

так как

0

(t)

[t

(t

t )(t

t

)

]

2(t

t

)(t

t

)

1

t

[0, t

] ,

)]2

2

2t

(t

t )

[2t

(t

t

т.е. скорость сходимости не хуже линейной (линейна при t

t

, почему?).

Если t

t , то

0

(t)

2(t

t)

(t

t)

2

[2t

(t

t

)]

2

t

t

(t

t)

2

(t

t)

t

[0, t

]

2

[(t

t)

(t

t)]

t

t

и

t

t

n 1

(

n

)(t

t

n

)

2

t

n

(t

t

n

),

n

(t

n

, t

) .

t

n

Но

d

(

t

n

)

t

n

t

n

0

d

n

t

(t

n )2

n

t

n

t

tn

t

tn

,

t

n

t

tn

t

t

и

t

tn

2

(t

tn )2

(10)

1

t

t

т.е. скорость сходимости метода Ньютона квадратичная.

Заметим, что в этом примере выполняются условия:

a2

1

max P (t)

0,

2

a1

P (0)

a2 (t

t

)

0,

(11)

a0

P(0)

a2

(t

t )

0.

Теорема 2. Пусть f (x)

C2[x0

, x0

],

0, и

a2

1

max

| f

(x) |,

2

|x

x0|

a1

| f (x0 ) |, a1

0,

a0

| f (x0 ) |, a0

0,

а

полином

P(t)

a

2

t2

a t

a

0

имеет

положительные корни

1

t

t и t

.

Тогда f (x) имеет корень x

[x0

, x0

], к которому сходится

последовательность {xn} метода Ньютона:

x

n 1

x

n

f (xn )

,

n

0, 1, ...,

f (xn )

| xn

x | t

tn

n 0,

где {tn } − приближения по методу Ньютона (7) для корня t

полинома P(t) .

Доказательство.

Прежде всего, напомним, что последовательность

t

0

0,

t

n

1

t

n

P(tn )

,

n

0, 1, ...,

(7)

P (tn )

строго возрастает и сходиться к t .

При n

0 по условию теоремы | f (x0 ) |

a0

и | f (x0 ) |

a1

0,

значит

x1 определен и

| x

x

0

|

|

f (x0 )

|

a0

P(0)

t

t

0

t

.

1

f (x0 )

a1

P (0)

1

Предположим, что для некоторого n

1 доказано, что

| xk

x0 |

,

(12)

| xk

xk

1 |

tk

tk

1,

k

1, ..., n.

Покажем, что эти неравенства будут выполняться при k

n

1.

Для вычисления xn

1

необходимо и достаточно показать, что f (xn )

0:

| f (xn ) |

| f (x0 )

xn

f

(x) dx |

| f (x0 ) | |

xn

f (x) dx |

x0

x0

a1

2a2

| xn

x0 |

a1

2a2

( | xn

xn

1 |

...

| x1

x0 | )

a1

2a2

( tn

tn 1 ...

t1

t0 )

a1

2a2

tn

P (tn )

0.

Значит xn

1 существует.

Теперь нужно показать, что xn

1

[x0

, x0

].

Сначала оценим | xn 1

xn

|

|

f (xn )

|.

f (xn )

Так как | f (xn ) |

P (tn ) и

| f (x

n

) |

| f (x

n 1

) f (x

n 1

) (x

n

x

n 1

)

f (

n 1)

(x

n

x

n 1

)2

|

2

0

|

f ( n 1)

(x

n

x

n 1

)2 |

a

2

(t

n

t

n 1

)2

,

n 1

[x

n 1

, x

n

],

2

P(t

n

)

P(t

n 1

)

P (t

n 1

)

(t

n

t

n 1

)

P (tn

1)

(t

n

t

n 1

)2

2

0