VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции ЧА
.pdfМацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
III семестр. ММФ НГУ Численный анализ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Мацокин А.М. – проф. кафедры вычислительной математики 2012 – 2013 учебный год
Предлагаем Вашему вниманию конспект лекций полусеместрового курса «Численный анализ», подготовленный профессором кафедры А.М. Мацокиным для студентов второго курса механико–математического факультета Новосибирского государственного университета и практически являющийся половиной семестрового курса лекций по численному анализу.
Мы надеемся, что этот конспект будет полезен студентам ММФ НГУ для более полного усвоения курса и применения методов вычислительной математики в их дальнейшей учебной, научно–преподавательской и практической деятельности.
Ограничений на использование и распространение конспекта – нет.
Любым замечаниям автор конспекта будет только рад и принимает их по адресу
E-mail: matsokin@oapmg.sscc.ru
Содержание |
|
Лекция 1. ...................................................................................................................... |
3 |
Алгебраические методы интерполирования ......................................................... |
3 |
Интерполяционный полином в форме Лагранжа ............................................. |
4 |
Интерполяционный полином в форме Ньютона............................................... |
4 |
Расчетные формулы интерполяционного полинома в форме Ньютона ......... |
8 |
Оценка погрешности интерполирования ........................................................... |
9 |
Лекция 2. .................................................................................................................... |
11 |
Интерполирование с кратными узлами ............................................................... |
11 |
Представление интерполяционного полинома Эрмита в форме Лагранжа . 12 |
|
Представление интерполяционного полинома Эрмита в форме Ньютона .. |
13 |
Оценка погрешности интерполирования ......................................................... |
17 |
Лекция 3. .................................................................................................................... |
18 |
Интерполирование кубическим сплайном .......................................................... |
18 |
Определение и построение кубического сплайна........................................... |
18 |
Оценка погрешности .......................................................................................... |
20 |
Численное дифференцирование ........................................................................... |
22 |
Оценка погрешности численного дифференцирования ................................. |
22 |
Аппроксимация значения функции в центре интервала полусуммой ее |
|
значений на краях интервала............................................................................. |
24 |
Аппроксимация производной разностью вперед........................................... |
24 |
Аппроксимация производной разностью назад ............................................. |
25 |
Аппроксимация производной центральной разностью................................. |
25 |
Некорректность численного дифференцирования ......................................... |
25 |
1
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций. |
|
Лекция 4. .................................................................................................................... |
27 |
Численное интегрирование................................................................................... |
27 |
Квадратуры Гаусса наивысшей алгебраической степени точности ............. |
28 |
Сходимость квадратур Гаусса........................................................................... |
31 |
Устойчивость квадратурных формул ............................................................... |
31 |
Примеры квадратурных формул .......................................................................... |
32 |
Формулы прямоугольников (на одном узле)................................................... |
33 |
Формула трапеций (на двух узлах)................................................................... |
34 |
Формула Симпсона (на трех узлах).................................................................. |
34 |
Квадратура Гаусса на двух узлах...................................................................... |
35 |
Составные квадратурные формулы ..................................................................... |
35 |
Составные формулы прямоугольников на равномерной сетке ..................... |
36 |
Составная формула трапеций на равномерной сетке ..................................... |
37 |
Составная формула Симпсона на равномерной сетке.................................... |
38 |
Лекция 5. .................................................................................................................... |
39 |
Итерационные методы решения нелинейных уравнений ................................. |
39 |
Принцип сжимающих отображений................................................................. |
40 |
Метод простой итерации ................................................................................... |
42 |
Метод Эйткена ускорения сходимости метода простой итерации ............... |
45 |
Лекция 6. .................................................................................................................... |
49 |
Метод Ньютона ...................................................................................................... |
49 |
Случай простого корня: p 1 ........................................................................... |
51 |
Метод Ньютона с параметром .......................................................................... |
56 |
Литература ................................................................................................................. |
57 |
2
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Лекция 1. Алгебраические методы интерполирования
Задача интерполирования функции f (x) на интервале [a, b] состоит в том, чтобы по известным ее значениям в некоторых точках xi [a, b], i 0, ..., n ,
определить ее значения в остальных точках области задания функции.
Такая задача возникает, например, когда по результатам измерения некоторой физической величины в одних точках требуется определить ее значения в других точках или когда в целях ускорения вычислений желательно приблизить заданную функцию другой, но ''легко'' вычислимой.
Поскольку наиболее простыми с вычислительной точки зрения являются алгебраические многочлены (полиномы), то вполне естественно их использование при решении интерполяционных задач.
Определение 1.
Алгебраический полином
P |
|
(x) a |
0 |
a |
x |
... a |
m |
xm |
(1) |
m |
|
1 |
|
|
|
|
|||
называется интерполяционным полиномом |
для функции f (x) , заданной |
||||||||
на отрезке [a, b] , по ее значениям f (xi ) в n |
1 попарно различных точках |
||||||||
(узлах) xi |
[a, b], i |
0, ..., n , если |
|
|
|||||
Pm (xi ) |
f (xi ) |
i |
0, ..., n . |
(2) |
|||||
Для определения коэффициентов |
a0 , a1, ..., am |
полинома Pm (x) мы имеем |
n 1 условие (2). Единственность решения математических конечномерных задач обычно обеспечивается равенством числа неизвестных количеству накладываемых на них условий. Если условий меньше, чем неизвестных, то решение обычно не единственно; если условий больше, то решения вообще
может не существовать. |
|
|
|
|
|
Теорема 1. Задача алгебраической |
интерполяции (2) при |
m n имеет |
|||
единственное решение. |
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Перепишем систему (2) |
относительно |
неизвестных |
коэффициентов |
||
a0 , a1, ..., an полинома Pn (x) в векторно-матричной форме: |
|||||
x00 |
x10 ... |
x0n |
a0 |
f (x0 ) |
|
x10 |
x11 ... |
x1n |
a1 |
f (x1) |
(3) |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
n |
an |
f (xn ) |
|
xn |
xn ... |
xn |
|
|
|
Определитель матрицы этой системы линейных алгебраических уравнений является известным определителем Вандермонда и отличен от нуля при xi x j, i j, что является необходимым и достаточным условием
существования и единственности решения системы (3).
3
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Интерполяционный полином в форме Лагранжа
Теорема 2. |
Решение |
задачи алгебраической интерполяции |
(2) при |
m n |
||||||
|
представимо в форме Лагранжа |
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
(x) |
|
|
|
|
||
|
Pn (x) |
|
|
|
f (xk ) , |
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xk ) |
(xk ) |
|
||||||
|
|
k 0 (x |
|
|
|
|||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (x x0 ) |
(x |
|
x1) |
... (x xn ) . |
|
(5) |
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
каждого |
k 0, ..., n |
рассмотрим |
частный |
случай |
задачи |
||||
алгебраического интерполирования: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Pn,k (xi ) |
1, |
i |
k, |
i |
0, 1, ..., n. |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
i |
k, |
|
|
|
Так как полином Pn,k (x) степени n по условию имеет n корней:
x0 , ..., xk 1, xk 1, ..., xn ,
то он может быть представлен в виде произведения мономов:
|
Pn,k (x) qk |
(x |
x0 ) ... (x |
xk 1) |
(x |
xk 1) |
... (x |
xn ) , |
(6) |
|||||||
где постоянная qk |
определяется из условия Pn,k (xk ) |
1: |
|
|
|
|
||||||||||
|
qk |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(xk |
x0 ) ... (xk |
xk 1) (xk |
|
xk 1) ... (xk |
|
|
||||||||
|
|
|
|
xn ) |
|
|||||||||||
Легко проверить, что этот полином можно переписать в следующем виде: |
||||||||||||||||
Pn,k (x) |
(x |
x0 )...(x |
xk 1)(x |
xk |
1)...(x |
xn ) |
|
|
|
(x) |
(7) |
|||||
(xk |
x0 )...(xk |
xk 1)(xk |
xk 1)...(xk |
xn ) |
(x |
xk ) (xk ) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Очевидно, |
что линейная комбинация полиномов Pn,k(x) |
с весами f (xk ) |
||||||||||||||
является полиномом степени n и, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn,k (xi ) f (xk ) |
i,k f (xk ) |
f (xi ), |
i |
0, ..., n, |
|
|||||||||
|
k |
0 |
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то она является интерполянтом функции f (x) . |
|
|
|
|
|
Интерполяционный полином в форме Ньютона
Рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что мы построили
интерполяционный полином Pn (x) и вычислили его значения |
Pn ( j ) |
для |
||
некоторого набора точек отрезка |
j |
[a, b], j 1, ..., N , но появились новые |
||
|
|
|
|
|
значения интерполируемой функции f (x) , скажем одно в новой точке xn 1 . |
|
|||
Можно ли подправить уже вычисленную таблицу значений {Pn ( |
j )}Nj 1, |
т.е. |
||
добавить к ней поправку Pn 1(x) |
Pn (x) ? |
|
|
4
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Так как разность Pn 1(x) |
|
|
|
Pn (x) является полиномом степени n |
1 и имеет |
||||||||||||||||||||||||||
столько же корней: x0 , ..., xn , то она представима в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Pn |
1(x) |
Pn (x) |
An 1 |
(x |
x0 ) ... (x |
xn ) |
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||||||||||
где постоянная An |
1 |
определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
An |
1 |
|
|
|
|
|
|
Pn 1(xn 1) Pn (xn 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(xn |
1 |
|
x0 ) ... (xn 1 |
xn ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
или, с учетом интерполяционного условия Pn |
1(xn |
1) |
f (xn |
1): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
An |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (xn 1) Pn (xn 1) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
(9) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn |
1 |
x0 ) ... (xn 1 |
xn ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Итак, мы можем подправить таблицу значений Pn ( |
j ) , добавив к ней поправку |
||||||||||||||||||||||||||||||
(8) при x |
j (предварительно вычислив An |
1 по формуле (9)): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Pn |
1( j) |
Pn ( j) |
|
|
|
An 1 ( j |
x0 ) ... ( j |
xn ), |
j |
1, ..., N , |
|
||||||||||||||||||||
что значительно быстрее (оцените), чем вычисление по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
( |
j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Pn |
1( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (xk ), |
j 1, ..., N . |
|
|
||||||||||||||
|
0 ( j |
|
xk ) |
|
(xk ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из формулы (8) следует, что |
интерполяционный полином на n |
2 |
узлах |
||||||||||||||||||||||||||||
x0 , ..., xn 1 |
может быть представлен в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Pn |
1(x) |
Pn (x) |
|
[Pn |
1(x) |
Pn (x)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Pn (x) |
|
|
An |
1 |
(x |
x0 ) ... (x |
xn ) ... |
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||||
|
|
|
P0 (x) |
|
A1 |
(x x0 ) ... |
An 1 (x |
x0 ) |
... (x |
xn ). |
|
||||||||||||||||||||
Определим |
через |
значения |
интерполируемой |
функции |
f (xi ) |
в |
узлах |
||||||||||||||||||||||||
x0 , ..., xn 1 |
коэффициенты формулы (10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Так как P0 (x) |
f (x0 ) , то из формулы (9) при n |
0 получаем явную формулу |
|||||||||||||||||||||||||||||
для A1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
f (x1) |
f (x0 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x1 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделенной разностью первого порядка функции f (x) |
на узлах x0 x1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f (x0 , x1) |
|
|
|
|
f (x1) f (x0 ) |
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
f (x1) |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x0 |
|
|
|
|
x0 |
x1 |
|
x1 |
x0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что разделенная разность является симметрической функцией: f (x0 , x1) f (x1, x0 ) ,
а интерполяционный полином P1(x) можно представить в форме (Ньютона):
P1(x) f (x0 ) f (x0 , x1) (x x0 ) . |
(11) |
5
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Добавим новый узел x2 и найдем постоянную A2 в представлении (форма Ньютона) интерполяционного полинома P2 (x) :
P2 (x) P1(x) [P2 (x) P1(x)]
f (x0 ) f (x0 , x1) (x x0 ) A2 (x x0 ) (x x1).
P1 (x)
Из условия P2 (x2 ) f (x2 ) :
f (x2 ) f (x0 ) f (x0 , x1) (x2 x0 ) A2 (x2 x0 ) (x2 x1) ,
имеем
A2
Определение 3.
Разделенной
|
|
f (x2 ) |
f (x0 ) |
|
|
|
|
f (x0 , x1)(x2 x0 ) |
|
|||||||||||||
|
(x2 |
x0 ) (x2 |
x1) (x2 |
x0 ) (x2 |
x1) |
|||||||||||||||||
[f (x2 ) f (x1)] |
[f (x1) f (x0 )] |
f (x0 , x1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
(x2 |
x0 ) (x2 |
|
x1) |
|
|
|
(x2 |
x1) |
|
||||||||||
[ |
f (x1, x2 ) |
|
|
f (x0 , x1) (x1 |
x0 ) |
] |
|
f (x0 , x1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(x2 |
x0 ) (x2 |
x0 ) (x2 |
x1) |
|
(x2 x1) |
|||||||||||||||
|
f (x1, x2 ) |
|
|
f (x0 , x1) |
[(x1 |
x0 ) |
(x2 |
x0 )] |
||||||||||||||
|
(x2 |
x0 ) |
|
|
|
|
(x2 |
|
x0 ) (x2 |
x1) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (x1, x2 ) f (x0 , x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x2 |
x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разностью |
второго порядка |
функции |
f (x) на попарно |
различных узлах x0 , x1, x2 называется число |
|
|
|
|||||||
f (x0 |
, x1, x2 ) |
f (x1, x2 ) f (x |
0 , x1) |
|
|
|
||||
(x2 |
x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
f (x1) |
|
f (x2 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
(x0 x1)(x0 |
x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) |
(x2 x0 )(x2 x1) |
Очевидно, что эта разделенная разность является симметрической функцией:
f (x0 , x1, x2 ) f (xi , x j, xk ) |
(i, j, k) перестановке (0, 1, 2) . |
|
Итак, интерполяционный полином P2 (x) функции f (x) |
на попарно различных |
|
узлах x0 , x1, x2 можно представляется в виде |
|
|
P2 (x) f (x0 ) f (x0 , x1) (x x0 ) |
f (x0, x1, x2 ) (x |
x0 ) (x x1) . (12) |
6
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Полученные формулы (11) и (12) позволяют предположить, что интерполяционный полином Pn (x) функции f (x) на попарно различных узлах x0 , x1, ..., xn можно представить в форме Ньютона:
Pn (x) |
f (x0 ) |
|
f (x0, x1) |
(x |
x0 ) |
... f (x0, x1,..., xn ) (x |
x0) |
... (x xn 1) |
||||||
где Ak |
f (x0 , x1,..., xk ) − разделенные разности k -го порядка функции f (x) |
|||||||||||||
на попарно различных узлах x0 , x1, ..., xk . |
|
|
|
|
|
|||||||||
Определение 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделенной разностью |
|
k -го порядка функции |
f (x) |
на |
попарно |
|||||||||
различных узлах x0 , x1, ..., xk называется число |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f (x |
0 |
, x ,..., x |
k |
1 |
, x |
k |
) |
f (x1,..., xk 1, xk ) |
f (x0 , x1,..., xk |
1) |
. |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
(xk |
x0 ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 1. Для разделенной разности k -го порядка функции f (x) на попарно различных узлах x0 , x1, ..., xk справедлива следующая формула:
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
f (xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x0 , x1,..., xk 1, xk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
0 (xi |
x0 )...(xi |
xi |
1)(xi |
xi 1)...(xi |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
xk ) |
|||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Справедливость леммы для k 1 следует очевидным образом из |
|||||||||||||||||||||||||
определения разделенной разности первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Предлоложим, что лемма справедлива |
при |
k |
m |
и докажем |
ее для |
||||||||||||||||||||
k m 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения разделенной разности (m |
1) -го порядка и сделанного |
||||||||||||||||||||||||
предположения математической индукции следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f (x0 , x1,..., xm , xm 1) |
|
|
f (x1,..., xm , xm 1) |
f (x0 , x1,..., xm ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(xm 1 |
x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
f (xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
1 x0 i |
1 (xi |
x1)...(xi |
xi |
1)(xi |
xi 1)...(xi |
xm 1) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
f (xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|||
|
|
|
i |
0 (xi |
|
x0 )...(xi |
xi |
1)(xi |
|
xi |
1)...(xi |
xm ) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
f (xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
i |
0 (xi |
|
|
x1)...(xi |
xi 1)(xi |
|
xi |
1)...(xi |
xm 1) |
|||||||||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Лемма 2. Коэффициент Ak из (9) (при n |
1 |
k ) равен разделенной разности |
|||||||||||||||||||||||
k -го |
порядка |
|
|
функции |
f (x) |
на |
попарно |
различных |
|
узлах |
x0 , x1, ..., xk , т.е.:
Ak |
|
f (xk ) |
Pk 1 |
(xk ) |
f (x0 |
, x1,..., xk 1, xk ) . |
|
(xk |
x0 ) |
... (xk xk 1) |
|||||
|
|
|
7
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Доказательство.
Так как
|
f (xk ) Pk 1(xk ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
{f (xk ) |
|
||||||||
|
(xk |
x0 ) ... (xk |
|
xk |
1) |
|
(xk |
x0 ) |
... (xk |
xk |
1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
k |
1 (xk |
x0 )...(xk |
xi |
1)(xk |
xi |
1)...(xk |
xk |
1) |
f (xi )} |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
0 (xi |
x0 )...(xi |
xi |
1)(xi |
xi |
1)...(xi |
xk |
1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
f (xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
i |
0 (xi |
x0 )...(xi |
xi |
1)(xi |
xi 1)...(xi |
xk ) |
|
||||||||
то утверждение леммы является следствием леммы 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Теорема 3. Решение |
задачи алгебраической |
интерполяции |
(2) |
|
при m n |
||||||||||||||
|
|
функции |
f (x) |
|
на |
попарно |
различных узлах x0 , x1, ..., xn |
||||||||||||
|
|
представимо в форме Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x) |
f (x0 , x1,..., xk ) (x |
x0 ) ... (x |
xk |
1) , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (x0 , x1,..., xk ) − разделенные разности k -го порядка функции |
|||||||||||||||||
|
|
f (x) на попарно различных узлах x0 , x1, ..., xk . |
|
|
|
Утверждение теоремы является следствием формулы (10) и леммы 2.
Расчетные формулы интерполяционного полинома в форме Ньютона
Расчетные формулы интерполяционного полинома в форме Ньютона: 1. Сначала заполняем таблицу значений разделенных разностей:
f (x0 ) |
|
|
|
f (x1) |
f (x0 , x1) |
|
|
f (x2 ) |
f (x1, x2 ) |
f (x0 , x1, x 2 ) |
|
f (xn ) |
f (xn 1, xn ) |
f (xn 2 , xn 1, xn ) |
f (x0 , x1,..., xn ) |
для этого понадобится затратить 3 операции (два вычитания + одно деление) на последовательное вычисление каждой из (n2 n) / 2 разделенных разностей таблицы, т.е. 3.5 n(n 1) арифметических действий.
2. Затем для любого значения x [a, b] вычисляем значение f (x) Pn (x) по схеме Горнера:
8
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
f (x) : f (x0 , x1,..., xn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) : f (x0 , x1,..., xn |
1) |
(x |
xn 1) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) : f (x0 ) |
(x |
x0 ) f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
за 3 n арифметических действий. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Оценка погрешности интерполирования |
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешностью (ошибкой) |
Rn (x) интерполирования функции f (x) |
по ее |
||||||||||
значениям в попарно различных узлах x0 , x1, ..., xn из интервала [a, b] |
||||||||||||
интерполяционным полиномом Pn (x) называется разность |
|
|
||||||||||
|
|
Rn (x) |
f (x) |
Pn (x), |
x [a, b]. |
|
|
|||||
Очевидно, что Rn (xi ) |
0, |
i |
0, ..., n . |
|
|
|
|
|
||||
Лемма 3. Если y |
[a, b] и не совпадает ни с одним интерполяционным узлом |
|||||||||||
x0 , x1, ..., xn , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Rn (y) |
f (x0 ,..., xn , y) |
|
(y) , |
|
|
|||||
где (y) |
(y |
x0 ) ... (y |
xn ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интерполяционный полином Pn 1(x) |
функции |
f (x) по ее значениям в |
||||||||||
попарно различных узлах x0 , x1, ..., xn , y представим в форме Ньютона: |
||||||||||||
Pn |
1(x) |
Pn (x) |
f (x0,..., xn , y) |
(x |
x0 )...(x |
xn ) . |
|
|||||
Тогда, так как |
f (y) |
Pn 1(y) |
Pn (y) |
f (x0,..., xn , y) (y |
x0 )...(y |
xn ) , |
||||||
получим Rn (y) f (x0 ,..., xn , y) |
(y) , что и требовалось доказать. |
|
||||||||||
Лемма 4. Если функция f (x) |
Cn[a, b] ( n раз непрерывно дифференцируема |
|||||||||||
на отрезке [a, b] ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (x0 ,..., xn ) |
f (n) ( |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для некоторой точки |
|
[x0 , xn ]. |
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде всего продифференцируем n раз ошибку интерполяции: |
|
|||||||||||
|
R(n)n |
(x) |
f (n) (x) |
n! f (x0,..., xn ) . |
|
|
||||||
Очевидно, что для доказательства леммы достаточно установить |
||||||||||||
существование хотя бы одного корня |
у этой производной на [a, b] . |
|
||||||||||
Не уменьшая общности, будем считать, что узлы интерполяции |
||||||||||||
упорядочены по возрастанию: x0 |
x1 |
... |
xn . |
|
|
|
||||||
Погрешность Rn (x) имеет n |
1 различный корень, так как Rn (xi ) |
0 . |
9
Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.
Тогда по теореме о среднем значении ее первая производная будет иметь
хотя |
бы один |
корень |
(1) |
внутри каждого |
интервала |
(xi , xi 1) : |
||||||||||
i |
||||||||||||||||
(1) |
(1) |
... |
(1) |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
Rn (x) имеет n различных корней, так как Rn ( i(1) ) |
0 . |
||||||||||||||
Аналогично получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2) |
(x) имеет не менее n |
1 различных корней |
(2) |
|
|
(2) |
... |
(2) |
||||||||
Rn |
0 |
|
|
1 |
n |
2 , |
||||||||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
(x) имеет не менее n |
k |
1 различных корней |
(k) |
... |
|
(k) |
|
||||||||
Rn |
0 |
|
|
n |
k |
, |
||||||||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(n)n |
(x) имеет не менее одного корня |
0(n) , что и требовалось доказать. |
||||||||||||||
Теорема 4. |
Если |
функция |
f (x) Cn |
1[a, b] |
( n |
1 |
|
раз |
|
непрерывно |
||||||
|
|
дифференцируема на отрезке [a, b] ), то |
погрешность |
|
Rn (x) |
|||||||||||
|
|
интерполирования |
функции |
f (x) по |
ее |
значениям |
в |
попарно |
||||||||
|
|
различных |
узлах |
x0 , x1, ..., xn |
из |
|
интервала |
|
[a, b] |
интерполяционным полиномом Pn (x) может быть представлена в следующем виде:
|
|
|
|
Rn (y) |
f (y) |
Pn (y) |
f (n 1) |
( (y)) |
(y) |
|
y |
[a, b] , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(n |
1)! |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
где |
(y) |
(y |
x0 ) |
... (y |
xn ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
y |
совпадает с одним из узлов интерполирования, |
то, |
утверждение |
||||||||||||||||||||
леммы очевидным образом верно для любого |
|
|
[a, b]. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Если |
y |
не |
совпадает ни с одним из |
узлов |
интерполирования, то |
|||||||||||||||||||
утверждение леммы является следствием леммы 3 и леммы 4. |
|
|
||||||||||||||||||||||
Элементарная (но ”грубая”) оценка || |
(y) || C[a, b] на равномерной сетке |
|||||||||||||||||||||||
|
{xi |
a |
i h}in |
0 |
с шагом h |
|
(b |
a) / n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
если max | |
(y) | |
| (y |
|
|
|
x0 ) ... (y |
|
xn ) |, |
y |
[xk , xk |
1] , то |
|
|
|
||||||||||
a y |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (y |
xi ) | |
max{| xk |
xi |, | xk |
|
1 |
xi |} |
h |
max{| k |
i |, | k |
1 |
i |} |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i n |
|
|
|
|
|
i |
k |
|
|
i n |
|
|||
|
k 1 i, i 0, k; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
h |
|
| (y |
xi ) | |
hn |
1 |
|
(k |
1 |
i) |
|
(i |
k) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i k, i k 1, n; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i k 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn 1 |
i |
k (k |
1 |
i) |
i |
n |
(i |
1) |
hn |
1 (n 1)! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
i |
k 1 |
|
|
|
|
|
10