VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции ЧА

Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.

Теорема 1 (принцип сжимающих отображений).

Сжимающее

отображение

из

полного

метрического

пространства M в M имеет одну и только одну неподвижную

точку x M.

Более того, последовательность метода простой итерации (метода

последовательных приближений)

xn 1

(xn ),

x0 M, n

0, 1, ...,

(6)

сходится к неподвижной точке и имеет место оценка

(x

, xn )

(x1, x0 )

qn ,

n

0.

(7)

1

q

Доказательство.

Очевидно, что предел

x

(если он существует)

последовательности (6)

является неподвижной точкой отображения

. Для существования предела

( xm , x0 )

( xm , xm 1 )

( xm 1, x0 )

qm 1

( x , x

0

)

( x

m 1

, x

0

) ...

1

qm 1

( x , x

0

)

qm

2

( x , x

0

) ...

q0

( x , x

0

)

1

1

1

1

qm

( x , x

0

)

( x1, x0 )

1

1

q

1

q

и, значит,

(xn m , xn ) qn

( xm , x0 )

qn

( x1, x0 )

n n

m ,

(8)

1

q

т.е. последовательность фундаментальна по Коши и xn

x

(x ) .

Более того, переходя в неравенстве (8)

к пределу при

m

, получим

оценку сходимости (7).

Единственность неподвижной точки устанавливается элементарно:

пусть x , x

– два решения уравнения (5). Тогда

(x

, x

)

( (x

),

(x

) )

q

(x

, x

)

и, так как q

1, то x

x .

x

(x) ,

(9)

задав, например,

(x) x (x)

f (x) , где

(x) − непрерывная,

xn

1

(xn ), x0

[a, b],

n

0, 1, ...,

(10)

Теорема 2. Если функция

(x)

C[a, b] непрерывна по Липшицу:

|

(x)

(y) |

q | x

y |

x, y

[a, b],

q

1 ,

(11)

и преобразует интервал [a, b] в [a, b] , т.е.

a

(x)

b

x

[a, b] ,

(12)

то уравнение (9) имеет единственное на [a, b]

решение x , к

которому сходится последовательность {xn} метода простой

итерации (10) при любом начальном приближении

x0 [a, b] и

имеет место оценка

| x

xn |

| x1

x0 |

qn .

(13)

1

q

Доказательство.

Определим

метрическое

пространство

M

[a, b]

с

расстоянием

(x, y) | x

y |. Очевидно, что оно полно, а из условий (11) и (12) следует,

что (x) −

сжимающее отображение из M в M и,

значит, утверждения

этой теоремы являются прямым следствием теоремы 1.

Проверка условий теоремы 2 для конкретных функций

(x)

может вызвать

Если константа Липшица q

1 известна, то при достаточно удачном выборе

начального приближения

x0

метода простой итерации удается избавиться от

проверки условия (12).

Теорема 3. Если функция

(x)

C[a, b]

непрерывна

по

Липшицу с

постоянной q

1 и известно (хорошее) x0

[a, b] такое, что

[x0

, x0

] [a, b],

|

(x0 )

x0

|

(14)

1

q

(это условие можно проверить, если известна константа Липшица),

то уравнение (9) имеет в [x0 , x0

] единственное решение x ,

| x

xn |

qn .

Доказательство.

Функция

(x) отображает отрезок [x0

, x0

] в себя. Действительно,

|

(x)

x0 |

|

(x)

(x0 ) |

|

(x0 )

x0 |

q | x

x0 |

(1

q)

.

Следовательно,

выполняются

все

условия

теоремы

2

на

интервале

[x0

, x0

], откуда следует сходимость и оценка сходимости метода

простой итерации.

Следующая теорема характеризует кратность корня функции f (x)

x

(x) .

Теорема 4. Если функция

(x)

C[a, b] непрерывна по Липшицу:

|

(x)

(y) |

q | x

y |

x, y

[a, b],

q

1 ,

и преобразует интервал [a, b] в [a, b] , т.е.

a

(x)

b

x

[a, b] ,

то функция f (x)

x

(x)

имеет единственный на [a, b] корень

x

кратности единица.

Доказательство.

Существование и единственность корня x

функции

f (x)

на

отрезке

[a, b] следует из теоремы 2.

Используя

непрерывность

по

Липшицу

функции

(x) ,

получим

x

[a, b] неравенство

| (x

x )

f (x) |

|

(x)

(x

) |

q | x

x

|.

Но, т.к. | (x

x

) |

| f (x) |

| (x

x )

f (x) |

q | x

x

| , то

(1

q)

| (x

x

) |

| f (x) | , и

т.к.

| f (x) |

| (x

x

) |

| (x

x

)

f (x) |

q | x

x | , то

| f (x) |

(1

q)

| (x

x

) | , следовательно,

0

1

q

| f (x) |

1

q

| x

x

|

и, значит

в

представлении

f (x)

(x

x )

g(x) непрерывная

функция

g(x) знакоопределена, т.е. кратность корня x

равна 1.

уравнения f (x) x2

a

0 на интервале [1, a] .

Решение. Преобразуем уравнение f (x)

x2

a

0 к виду

x

x

(x2

a)

(x) ,

где постоянную

надлежит выбрать из условий:

a)

1

(x)

x

(x2

a)

a

x

[1, a],

b)

| (x) |

| 1

2

x |

q

1

x

[1, a].

Начнем с условия b). Так как минимальное и максимальное значения

линейной функции достигаются на концах интервала [1, a] :

max

|

(x) |

max {| 1

2

|, | 1

2

a |}

q(

) .

x [1, a]

То для того, чтобы q(

)

1, необходимо и достаточно выбрать

из

условий:

1

1

2

1,

1

0,

(0, 1 / a).

1 1 2 a 1,

1/ a

0,

Замечание.

Минимум

коэффициента

q(

)

на

интервале (0, a

1)

достигается

при

opt

1/ (1

a)

и

q(

opt )

(a

1) / (a

1) .

Докажите эти формулы (вспомните курс вычислительных методов

линейной

алгебры:

оптимизация

метода

простой

итерации

xk 1

xk

(Axk

b) для решения системы Ax

b ).

Теперь проверим условие a) при

opt

1/ (1

a) . Минимальное и

максимальное значения функции

(x) достигаются либо при x

1,

либо в корне x

1/ (2

opt )

(a

1) / 2

(1, a) её производной, либо

при x

a :

2a / (a

1);

min [x

(x2

a)]

min

(a

1)2

4a

;

1,

opt

4(a

x

[1, a]

1)

2a / (a

1)

так как неравенства

2a

a

1,

(a

1)2

4a

1

(a

1)2

4a

4(a

1)

a2

2a

3;

4(a

1)

справедливы при a

1;

далее,

2a / (a

1);

max [x

(x2

a)]

max

(a

1)2

4a

;

a

opt

4(a

1)

x

[1, a]

2a / (a

1)

так как неравенства

2a

a(a

1)

a2

a

2a,

(a

1)2

4a

a

(a

1)2

4a

4a(a

1)

3a2

2a

1

0;

4(a

1)

справедливы при a

1.

Итак,

при

1/ (a

1) отображение

(x) : [1, a]

[1, a]

является

сжимающим с q

(a

1) / (a

1) , к его неподвижной точке x

a

сходится последовательность приближений метода простой

итерации:

xn 1

xn

(x2n

a) / (a

1),

n

0, 1, ...,

при любом начальном приближении x0

[1, a],

а для погрешности x

xn справедлива оценка

| x

xn |

| x1

x0 |

q

n

| x1

x0 | (a 1)

(1

2

)

n

.

1

q

2

a

1

Метод Эйткена ускорения сходимости метода простой итерации

Пусть

для

функции

(x)

C2[a, b] выполняются

условия

теоремы 2,

т.е.

уравнение

x

(x)

(15)

имеет единственное решение x

[a, b], к которому сходятся приближения

xn 1

(xn ),

x0

[a, b],

n

0, 1, ....

(16)

Тогда, так как

xn 1

(xn )

(x )

(x ) (xn

x )

(

n )

(xn

x )

2

2

(17)

x

(x )

(xn

x

)

n ,

n

O(| xn

x | 2 ),

то

для

погрешности

метода

простой

итерации

имеем

соотношение

| xn 1

x

|

|

(x ) |

| (xn

x ) | , т.е. за одну итерацию она уменьшается в

|

(x

) |

1

раз,

если

(x

)

0. Говорят, что метод простой итерации имеет

линейную скорость сходимости (при

(x )

0 она была бы квадратичной).

Мацокин А.М. “Численный анализ”. Конспект лекций.

Предположим,

что

(x ) 0, и рассмотрим три последовательных

приближения xn , xn 1

и xn 2 . Согласно (17), они связаны следующими

соотношениями:

xn 1

x

(x ) (xn

x )

n ,

(18)

xn 2

x

(x ) (xn 1

x )

n 1.

Вычитая из второго равенства первое, получим

xn 2

xn 1

(x ) (xn 1

xn ) [ n 1

n ]

(x )

xn 2

xn 1

,

n 1

n

.

(19)

n

n

xn 1

xn

xn 1

xn

Заменяя производную

(x

) в первом равенстве по формуле (19), получим

x

n

1

x

(

xn 2

xn 1

n

) (x

n

x )

n

xn 1

xn

(1

xn

2

xn

1

)

x

xn

2

xn

1

x

n

[

n

n

(x

n

x )],

xn

xn

xn

xn

1

1

Так как константа

(x

)

0 и |

(x

) |

q 1, то эти коэффициенты являются

величинами порядка O(1) в некоторой (малой) окрестности неподвижной точки

x и “линейная” комбинация

xn 2

приближений

xn

1

и xn

метода простой

итерации имеет своим пределом x :

xn 1

xn

xn 2

xn 1

n

xn

2

xn

1

xn

xn

2xn 1

xn 2

xn

2xn 1

xn 2

(23)

n