VMLA-Matzokin-2012 / 2012-лекции ЧА

P

(x)

a

0

a

x ...

a

N

xN

(1)

N

1

называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции

f (x) ,

заданной на отрезке [a, b]

по ее значениям f (xi ) ,

по значениям первых

Ni 1 производных f (xi ) , …,

f

(Ni

1)

(xi )

в n

1 попарно различных

точках (узлах)

xi

[a, b], i

0, ..., n , если

PN (xi )

f (xi ),

PN (xi )

f (xi ),

(2)

...

PN(Ni 1) (xi )

f (Ni 1) (xi )

i

0, ..., n.

Точки xi

называются узлами интерполяции кратности Ni .

Теорема 1. Задача алгебраической интерполяции (2) при N

1 N0

...

Nn

имеет единственное решение.

Доказательство.

Очевидно, что система уравнений (2) относительно неизвестных a0 , ..., aN

является линейной алгебраической системой порядка N

1.

Следовательно, она имеет единственное решение в том и только том

случае,

когда

однородная

система

имеет

только

нулевое

решение

PN (xi )

0, PN (xi )

0, ..., PN(Ni 1) (xi )

0 .

Отсюда следует, что узел xi

является его корнем кратности Ni , а, так как

интерполяционные узлы попарно различны, то

P (x)

c (x

x

0

)N0

(x x )N1 ...(x

x

n

)Nn ,

N

1

т.е. является полиномом степени

N0 ...

Nn N , что противоречит

условию теоремы N

1

N0

...

Nn .

корень x0

кратности N0 ,

…

корень xi

1

кратности Ni 1 ,

корень xi

1

кратности Ni 1,

…

(x

x

0

)N0 ...(x

x

i 1

)Ni 1 (x

x

i 1

)Ni 1 ...(x

x

n

)Nn Q

N

i

1, j,x

i

(x)

TN

Ni

1, j,xi (x)

QNi 1, j,xi (x),

где

T

N

1, j,x

(x)

(x

x

0

)N0 ...(x

x

i

1

)Ni 1

(x

x

i

1

)Ni 1

...(x

x

n

)Nn ,

N

i

i

а полином QN

i

1, j,x

i

(x) степени Ni

1 нужно определить из условий (4'):

[TN

Ni

1, j,xi (x)

QNi

1, j,xi (x)](0) |x

xi

0,

...

Матрица

этой

системы

относительно

неизвестных

(0)

(Ni

1)

QNi 1, j,xi

(xi ), ..., QNi

1, j,xi

(xi ) − нижняя треугольная (докажите!).

k

(k

l)

(k)

l

l

[TN Ni 1, j,xi (x) QNi 1, j,xi (x)] |x xi

Ck

TN

N

1, j,x

(xi ) QNi 1, j,xi

(xi ).

l

0

i

i

(0)

(Ni

1)

неизвестных QNi 1, j,xi

(xi ), ..., QNi

1, j,xi

(xi ) :

QN

i

1, j,x

i

(xi )

0,

...

( j

1)

QNi

1, j,xi

(xi )

0,

n

Pn (x)

f (x0 , x1,..., xk ) (x

x0 ) ... (x xk 1) ,

(6)

k 0

где f (x0 , x1,..., xk )

− разделенные разности

k -го порядка функции

f (x) на

попарно различных узлах x0 , x1, ..., xk , был построен прежде всего для того,

чтобы,

при добавлении нового простого интерполяционного узла xn 1

было

легко

(за малое число арифметических действий) пересчитать

ранее

вычисленные значения Pn ( j), j

1, ..., K, на новые, более точные, значения

Pn 1( j) Pn ( j) f (x0 , x1,

..., xn 1) (x x0 ) ... (x xn ), j 1, ..., K .

учетом их кратности Ni

для интерполяционного полинома PN (x)

будет

порядок их появления при расчетах:

x (0) , x

(1) , ..., x (N) ,

x

(k)

{x0 , ..., xn},

(7)

и кратность

Nk

интерполяционного узла xk

равна

количеству элементов

последовательности (7) равных этому узлу.

Формально перепишем формулу (6) для узлов (7):

N

PN (x)

f (x

(0) , x (1) ,..., x

(k) ) (x

x (0) ) ... (x

x

(k 1) ) ,

(8)

k 0

разделенные

разности

f (x (0) , x

(1) ,..., x (k) )

в

этой

формуле

пока

неопределенны,

так

как

некоторые

из

узлов x (0) , x

(1) ,..., x (k)

могут

x ,

(0) , x , (1) , ..., x ,

(N) , x

,

(k)

[a, b],

x ,

(k) x

, (l) ,

lim x

x

(k) ,

(9)

,

(k)

0

и рассмотрим интерполяционный полином

N

P ,N (x)

f (x , (0) , x ,

(1) ,..., x ,

(k) )

(x

x ,

(0) )

... (x

x , (k 1) ) , (10)

k 0

где разделенные

разности f (x , (0) , x ,

(1) ,..., x , (k) ) уже определенны на

системе попарно

различных узлов x ,

(0) , x , (1) ,..., x , (k) по значениям

df

lim f (x

, (l) , x ,

(l 1) ,..., x ,

(l

k) )

f (x

(l) , x (l 1) ,..., x

(l k) ),

0

0

l

l

k

N.

Доказательство.

Очевидно, что пределы разделенных разностей нулевого порядка

существуют и конечны:

lim f (x

, (l) )

f (x

(l) ) .

0

Предположим, что существуют и конечны пределы всех разделенных

разностей

до

порядка

k

включительно

и рассмотрим

разделенную

разность порядка k

1: f (x ,

(l) , x , (l

1) ,..., x , (l k) , x , (l k 1) ) .

Напомним,

что по

лемме 1.1

значение разделенной разности k 1-го

порядка f (x ,

(l) , x ,

(l

1) ,..., x ,

(l

k 1) ) не зависит от порядка следования

переставим): x , (l)

x ,

(l

1) ...

x ,

(l

k

1) .

Тогда

f (x ,

(l) , x ,

(l 1) ,..., x

,

(l k) , x ,

(l k 1) )

f (x

,

(l

1) ,..., x

,

(l

k) , x ,

(l

k

1) )

f (x

,

(l) , x

, (l 1) ,..., x

,

(l k) )

x ,

(l k

1)

x ,

(l)

f (x

(l

1) ,..., x

(l

k) , x

(l k

1) )

f (x

(l)

, x

(l

1)

,..., x (l k ) )

,

x (l

k

1)

x

(l)

если x (l

k

1)

x (l) .

Но, если

x

(l

k 1)

x (l) ,

т.е.

x ,

(l

i)

x

(l) ,

i

0, ..., k

1,

то этой

f (x , (l) , x ,

(l 1) ,..., x ,

k) , x , (l

k 1) )

f (k

1) ( )

f (k 1) (x (l) )

(l

,

(k

1)!

(k 1)!

так как

[x , (l) , x ,

(l

k 1) ],

x (l) .

N

P ,N (x)

f (x ,

(0) , x ,

(1) ,..., x ,

(k) )

(x

x ,

(0) )

... (x

x , (k 1) ) , (10)

k

0

на системе узлов

x ,

(0) , x ,

(1) , ..., x ,

(N) ,

x

,

(k)

[a, b],

x

,

(k)

x ,

(l) ,

lim x

x

(k) ,

(9)

,

(k)

0

сходится к полиному

N

PN (x)

f (x

(0) , x

(1) ,..., x

(k) )

(x

x

(0) )

... (x

x

(k

1) ) ,

(8)

k

0

который является интерполяционным полиномом Эрмита (в форме

Ньютона)

для функции

f (x) ,

заданной на отрезке

[a, b] , по ее

значениям f (xi ) ,

по значениям первых Ni

1 производных f (xi ) ,

…,

f

(Ni

1)

(xi )

в

n

1

попарно

различных

точках

(узлах)

xi

[a, b], i

0, ..., n , при условии N

1

N0 ...

Nn .

Доказательство.

Существование полинома PN (x) и сходимость к нему последовательности

полиномов

P , N (x)

следует леммы 1,

причем,

как это отмечалось при

доказательстве

леммы,

полиномы

P , N (x)

не

зависят

от

способа

нумерации узлов (9), и, стало быть, полином PN (x) не зависит от способа

нумерации кратных интерполяционных узлов:

x (0) , x (1) , ..., x (N) ,

x

(k)

{x0 , ..., xn}.

(7)

Последним фактом мы воспользуемся для проверки интерполяционных

условий (2), например, в узле x0

кратности N0 :

PN (x0 )

f (x0 ),

PN (x0 )

f (x0 ),

...,

PN(N0

1) (x0 )

f (N0 1) (x0 ) .

Для этого интерполяционные узлы (учитывая их кратность) упорядочим

следующим образом: сначала перечислим кратный узел x0 :

x

(0)

x0 , x

(1)

x0 , ..., x (N

0

1)

x0 ,

затем все остальные в некотором порядке.

Тогда формула (8) для полинома PN (x) может быть переписана в виде

P (x)

f (x

0

)

f (x

0

, x

0

)

(x

x

0

)

f (x

0

,..., x

0

)

(x

x

0

)N0 1

N

N0

)N0

N

(x

x

0

f (x

(0)

, x

(1)

,..., x

(k)

)

[(x

x

(N

0

)

)

... (x

x

(k

1)

)]

f

(N0

1)

(x0 )

N

1

N

f (x

0

)

f (x

0

) (x

x

0

)

(x

x

0

)

0

(x x

0

)

0

Q(x) ,

(N0

1)!

Теорема 3. Для

погрешности

RN (x)

f (x)

PN (x)

интерполирования

функции

f (x) по ее

значениям f (xi ) , по

значениям

первых

Ni

1 производных: f (xi ) ,

…,

f

(Ni 1)

(xi )

в

n

1

попарно

различных точках (узлах)

xi

[a, b], i

0, ..., n , при

условии

N

1 N0

...

Nn ,

интерполяционным

полиномом

Эрмита

PN (x) (который мы построили либо в форме Лагранжа (3)

либо

в

форме Ньютона (8)), справедлива оценка

|| RN (x) || C[a, b]

|| f

(N

1) (

) || C[a, b]

||

(x) || C[a, b],

(N

1)!

где

(x)

(x

x

0

)N0

... (x

x

n

)Nn .

Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Замечание. Пусть N0

...

Nn

1 и если в качестве узлов интерполирования

выбрать

корни

xk

a

b

b

a

cos

(2k

1)

,

k

0, ..., n,

2

2

2(n

1)

полинома

(x)

(b

a)n

1

cos((n

1)

arc cos

2x

(b

a)

) , то

22n 1

b

a

|| f (n

1) (

) || C[a, b]

(b a)n

1

|| f (n

1) (

) || C[a, b]

b

a n

1

|| Rn (x) || C[a, b]

.

(n

1)!

22n 1

(n

1)!

2n

Докажите, что коэффициент при старшей степени полинома

(x)

равен единице, а сам полином является полиномом, наименее

уклоняющимся от нуля на отрезке [a, b] (см. лекцию 9

ВМЛА).

либо интервал [a, b]

задания функции f (x)

разбить на подъинтервалы:

n

[a, b]

[xi , xi 1],

сеткой узлов h {a

x0 x1 ... xn b}, на

Определение и построение кубического сплайна

Определение.

Кубическим

сплайном,

аппроксимирующим функцию f (x)

на сетке

h {a x0

x1 ...

xn b} по ее значениям fi f (xi ), i

0, ..., n ,

c) s(xi ) fi , i

0, 1, ..., n , − условие интерполирования.

Для определения сплайна s(x) :

4n

неизвестных:

по четыре коэффициента полинома третьей степени

(условие а)) на каждом подъинтервале [xi

1, xi ],

мы имеем:

3(n

1) условий непрерывности s(x) , первой и второй производных от

s(x) в точках x1, ..., xn 1 (условие b)),

n

1 условие интерполяции (условие c)).

Таким образом, для определения 4n неизвестных мы имеем 4n

2 условий,

Итак, мы должны определить кусочно-кубическую функцию s(x)

C2[a, b] :

s(x)

ai

bi

(x

xi )

ci

(x

xi )2

di

(x

xi )3

x

[xi , xi

1] ,

,

2

6

по заданным значениям:

s(xi )

fi ,

i

0, 1, ..., n ,

c0

s (x0 )

f0 , cn

s (xn )

fn .

(1)

Учитывая, что на интервале [xi , xi

1]

s(xi ) fi ,

s (xi )

ci ,

s(xi

1)

fi

1,

s (xi

1)

ci

1,

сплайн можно представить в виде