Стандартные полиномы для эталонных моделей

При синтезе регулятора состояния требуемое качество управления задают эталонной моделью. Наиболее удобно такую модель описать в канонической форме управляемости (п.2.6)

(п.3.1)

или

. (п.3.2)

Матрица А_Э, задающая динамику синтезируемой системы с регулятором состояния, определяется, в свою очередь, через эталонное характеристическое уравнение

. (п.3.3)

Выражение (п.3.3) полностью определяет матрицу эталонной модели (п.2.6).

Для непрерывных систем в качестве эталонных характеристических уравнений используют стандартные полиномы: биномиальные, Баттерворта и минимизирующие квадратичную ошибку.

Биномиальный полином задает характеристическое уравнение, у которого все корни (полюса) действительные, отрицательные (необходимое условие устойчивости) и равны между собой

, (п.3.4)

где .

В этом случае переходные процессы будут апериодическими, а длительность процесса будет определяться величиной корней q. Чем больше это значение, тем меньше будет длительность переходного процесса. Ниже приведены показатели переходных процессов в зависимости от порядка модели

Таблица п.1

n		, %	tПq
1		0	3
2		0	4,8
3		0	6
4		0	7,8

Таким образом, величину корней можно определить из заданной длительности переходного процесса. Например, для объекта третьего порядка (n=3)

.

Характеристическое уравнение, задаваемое стандартным фильтром Баттерворта, имеет корни, расположенные в левой полуплоскости корней на полуокружности радиуса q. При этом они расположены с равным угловым расстоянием /n. В таблице п.2 приведены показатели переходных процессов в зависимости от порядка модели.

Таблица п.2

n		, %	tПq
1		0	3
2		5	4,5
3		9	6,25
4		11	7,0

Из сравнений таблиц п.1 и п.2 видно, что биномиальный полином определяет более качественные переходные процессы: при практически одинаковой длительности отсутствует перерегулирование. Тем не менее, фильтр Баттерворта обладает замечательным качеством: частотная характеристика в области средних частот имеет значительную крутизну, что делает перспективным его использование при синтезе регуляторов в системах с высоким уровнем зашумленности сигналов обратной связи или возмущающих воздействий.

Для получения эталонной модели при синтезе дискретного регулятора состояния используются зависимости

,

где А_Э определяется из требований к качеству переходных процессов в непрерывной форме.

Приложение 4

Построение переходных процессов по передаточной функции импульсной системы

1 способ

Передаточная функция замкнутой системы

, (п. 4.1.)

записываем алгебраическое выражение

. (п. 4.2.)

Подвергая выражение (п. 4.2.) обратному z-преобразованию получим

. (п. 4.3.)

Подставляя в (п. 4.3.) значения тактов квантования k=0,1,2 … получим значения выходной величины в зависимости от задающего сигнала

Пример:

После обратного z-преобразования получим

.

В частности, если задающий сигнал постоянный, например единичный сигнал, получим

Следовательно, при k=2 (на втором такте) переходный процесс выходит на установившийся режим. График решетчатой функции показан на рис. п. 5.1.

Рис. 4.1. Решетчатая функция переходного процесса y[kT] и возможные варианты непрерывной (реальной) кривой переходного процесса

Вид непрерывных кривых переходных процессов для одной и той же решетчатой функции могут значительно отличаться. Это зависит от динамических свойств объекта управления.

2 способ

Из сравнения выражений дискретной функции

(п.4.4)

и ее z-изображение

. (п. 4.5)

видно, что коэффициенты разложения (п.4.5) равны значениям решетчатой функции в соответствующие такты времени. Отсюда следует второй способ нахождения обратного z-преобразования.

Из передаточной функции (п. 4.1) следует, что

или записав выражение (п. 4.1) и выражение для v(z) относительно положительных степеней z в общем случае получим

. (п. 4.6)

Разложим выражение y(z) в степенной ряд по отрицательным степеням z (в ряд Лорана) путем деления полинома числителя выражения (п. 4.6) на полином знаменателя:

.

В соответствии с выражением (п. 4.5) получим, что

.

Пример

Возьмем ту же передаточную функцию, что и в примере первого способа построения переходных процессов.

Так как задающий (входной) сигнал единичный

v[kT]=1[kT],

то .

Следовательно

.

Разложим выражение для y(z) в ряд Лорана путем деления полинома числителя на полином знаменателя

Таким образом

.

Т.е. получили, очевидно, тот же результат что и первым способом.

3 способ заключается в непосредственном применении обратного z-преобразования

. (п. 4.7)

Если в фигурных скобках (п .4.7) стоит сложное выражение, его необходимо разложить на простые слагаемые для использования таблиц прямого и обратного z- преобразования функций.

Из приведенных примеров видно, что построение переходных процессов по импульсной передаточной функции значительно проще, чем для непрерывных функций. Это объясняется тем, что коэффициенты импульсных функций по существу представляют пошаговое решение дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления.

Приложение 5