Фильтр Баттерворта

АЧХ фильтра Баттерворта описывается уравнением

.

Особенности фильтра Баттерворта: нелинейная ФЧХ; частота среза не зависящая от числа полюсов; колебательный характер переходной характеристики при ступенчатом входном сигнале. С увеличением порядка фильтра колебательный характер усиливается.

Фильтр Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева описывается уравнением

,

где T_n²(ω/ω_н) – полином Чебышева n–го порядка.

Полином Чебышева вычисляется по рекуррентной формуле

.

Особенности фильтра Чебышева: повышенная неравномерность ФЧХ; волнообразная характеристика в полосе пропускания. Чем выше коэффициент неравномерности АЧХ фильтра в полосе пропускания, тем более резкий спад в переходной области при одном и том же порядке. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном сигнале сильнее, чем у фильтра Баттерворта. Добротность полюсов фильтра Чебышева выше, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя

АЧХ фильтра Бесселя описывается уравнением

,

где ;B_n²(ω/ω_cpз) – полином Бесселя n-го порядка.

Полином Бесселя вычисляется по рекуррентной формуле

.

Особенности фильтра Бесселя: достаточно равномерные АЧХ и ФЧХ, аппроксимируемые функцией Гаусса; фазовый сдвиг фильтра пропорционален частоте, т.е. фильтр обладает частотно-независимым групповым временем задержки. Частота среза изменяется при изменении количества полюсов фильтра. Спад АЧХ фильтра обычно более пологий, чем у Баттерворта и Чебышева. Особенно хорошо этот фильтр подходит для импульсных цепей и фазочувствительной обработки сигнала.

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр)

Общий вид передаточной функции фильтра Кауэра

.

Особенности фильтра Кауэра: неравномерная АЧХ в полосе пропускания и в полосе задерживания; самый резкий спад АЧХ из всех приведенных фильтров; реализует требуемые передаточные функции при меньшем порядке фильтра, чем при использовании фильтров других типов.

Определение порядка фильтра

Требуемый порядок фильтра определяется по приведенным ниже формулам и округляется в сторону ближайшего целого значения. Порядк фильтра Баттерворта

.

Порядка фильтра Чебышева

.

Для фильтра Бесселя не существует формулы расчета порядка, вместо этого приводятся таблицы соответствия порядка фильтра минимально необходимым на заданной частоте отклонению времени задержки от единичной величины и уровню потерь в дБ).

При расчете порядка фильтра Бесселя задаются следующие параметры:

1. Допустимое процентное отклонение группового времени задержки на заданной частоте ω, нормированной относительно ω_cpз;

2. Может быть задан уровень ослабления коэффициента передачи фильтра в дБ на частоте ω, нормированной относительно ω_cpз.

На основании этих данных определяется требуемый порядок фильтра Бесселя.

Схемы каскадов фнч 1–го и 2–го порядка

На рис. 12.4, 12.5 приведены типовые схемы каскадов ФНЧ.

а) б)

Рис. 12.4. Каскады ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

а) б)

Рис. 12.5. Каскады ФНЧ Кауэра: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

Общий вид передаточных функций ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя 1–го и 2–го порядка

,.

Общий вид передаточных функций ФНЧ Кауэра 1–го и 2–го порядка

, .

Ключевым отличием фильтра Кауэра 2–го порядка от заграждающего фильтра является то, что в передаточной функции фильтра Кауэра отношение частот Ω_s ≠ 1.

Методика расчета ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя

Данная методика построена на основе коэффициентов, приведенных в таблицах и справедлива для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Методика расчета фильтров Кауэра приводится отдельно. Расчет ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя начинается с определения их порядка. Для всех фильтров задаются параметры минимального и максимального ослабления и частота среза. Для фильтров Чебышева дополнительно определяется коэффициент неравномерности АЧХ в полосе пропускания, а для фильтров Бесселя – групповое время задержки. Далее определяется передаточная функция фильтра, которая может быть взята из таблиц, и рассчитываются его каскады 1–го и 2–го порядка, соблюдается следующий порядок расчета:

1. В зависимости от порядка и типа фильтра выбираются схемы его каскадов, при этом фильтр четного порядка состоит из n/2 каскадов 2–го порядка, а фильтр нечетного порядка – из одного каскада 1–го порядка и (n–1)/2 каскадов 2–го порядка;

2. Для расчета каскада 1–го порядка:

По выбранному типу и порядку фильтра определяется значение b₁ каскада 1–го порядка;

Уменьшая занимаемую площадь, выбирается номинал емкости C и рассчитывается R по формуле (можно выбрать и R, но рекомендуется выбирать C, из соображения точности)

;

Вычисляется коэффициента усиления К_уU1 каскада 1–го порядка, который определяется из соотношения

,

где К_уU – коэффициент усиления фильтра в целом; К_уU2, …, К_уUn – коэффициенты усиления каскадов 2–го порядка;

Для реализации усиления К_уU1 необходимо задать резисторы, исходя из следующего соотношения

R_B = R_Aּ(К_уU1 –1) .

3. Для расчета каскада 2–го порядка:

Уменьшая занимаемую площадь выбраются номиналы емкостей C₁ = C₂ = C;

Выбраются по таблицам коэффициенты b_1i и Q_pi для каскадов 2–го порядка;

По заданному номиналу конденсаторов C рассчитываются резисторы R по формуле

;

Для выбранного типа фильтра необходимо задать соответствующий коэффициент усиления К_уUi = 3 – (1/Q_pi) каждого каскада 2-го порядка, посредством задания резисторов, исходя из следующего соотношения

R_B = R_Aּ(К_уUi –1) ;

Для фильтров Бесселя необходимо умножить номиналы всех емкостей на требуемое групповое время задержки.