§ 6. Применение однородных уравнений 1-го порядка: задачи из физики.
Задачи из физики, в которых требовалось бы применение однородных дифференциальных уравнений, встречается не часто. Мы рассмотрим Пример, в котором некоторый физический процесс описан однородным дифференциальным уравнением.
☺☺
Пример 2–18:
В сосуде содержится раствор некоторого
вещества. Под влиянием различных факторов
концентрация 
этого вещества изменяется так, что
процесс может быть описан дифференциальным
уравнением:
=
,
где 
–
некоторое
число, 
–
время.
Решение:
1).
Очевидное решение исходного уравнения:
=0
не представляет особого интереса.
Нетрудно заметить, что в условии задачи
записано однородное дифференциальное
уравнение в стандартной форме.
2).
Примем
и запишем:
=
.
Из условия:
получаем решение:
=0,
что соответствует решению
=0.
3).
Принимая
,
запишем: 
– общее решение уравнения. В нашем
случае: 
,
или
.
Учитывая:
,
получаем:
– общее решение исходного уравнения.
4). Отметим,
при значениях
концентрация вещества увеличивается,
при значениях
убывает.
Ответ:
общее решение уравнения:
,
также
=0.
☻
Вопросы для самопроверки:
Что значит: многочлен однородный, 2-й степени?
Задана однородная функция
порядка 
.
Что это значит? Может ли однородная функция иметь степень однородности
?
Что значит: дифференциальное уравнение
– однородное?
Какое из уравнений однородное: а)
,
б) 
?
Что значит: дифференциальное уравнение
– однородное?
Является ли дифференциальное уравнение
=0
однородным? Что значит, однородные уравнения имеют стандартную форму записи?
Какое из уравнений: а)
=
,
б)
=
есть однородное стандартной
формы записи? Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения однородного ДУ
?
Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения однородного ДУ
?
Какова общая запись ДУ специального вида, проводящегося к однородному уравнению?
Каковы основные шаги стандартного алгоритма решения ДУ
=
?
• ◄ ≡ ► •