12.3. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису
Линейный оператор задается в базисе(I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные.
Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, т.е.
,
,
………………. (12.5)
.
Из равенств (12.5) следует справедливость разложений по базису (I):
,
,
…………………………………….
,
и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем
, (12.6)
т.е. матрица операторав (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения).
Обратно. Пусть - матрица операторав базисе (I) имеет диагональный вид (12.6), следовательно, ,…,и, таким образом, векторы- собственные с собственными значениями.
Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов.
Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в, - собственные векторы оператора, отвечающие собственным значениям . Если, то - линейно независимы.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов .
При имеем один вектор(по определению собственный вектор отличен от нулевого), векторсоставляет линейно независимую систему.
Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякая системасобственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой.
Пусть имеется система собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям().
Предположим, система линейно зависима, т.е. найдутся числа, не все равные нулю, такие, что выполняется равенство
. (12.7)
Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы).
Применим к обеим частям равенства (12.7) оператор :
.
Из последнего равенства получим
. (12.8)
Обе части равенства (12.7), умноженные на , вычтем почленно из обеих частей (12.8), получим
. (12.9)
Равенство (12.9) означает, что векторы линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент приотличен от нуля, равна), но это противоречит предположению индукции: векторысобственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно,- линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом. Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.
Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.
Доказательство. Пусть - линейное пространство,,- линейный оператор в,имеет простой спектр. Тогда характеристических корней. Пусть это числа, в силу теоремы 4- собственные значения оператора.
Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5линейно независимы, и так как,- базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид
и является диагональной матрицей.
Теорема доказана.
Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицейв некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу.
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:
,
,
откуда ,- характеристические корни оператора. Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для операторасуществует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид
.
Находим собственные векторы.
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы видаявляются собственными с собственным значением.
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы вида- собственные с собственным значением.
Полагаем , имеем,.
В базисе матрица оператораимеет вид.