Лекция 5 Кривые и поверхности второго порядка

Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Исследование их формы по каноническому уравнению. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости. Классификация поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям. Метод сечений.

5.1. Эллипс

Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы через и, постоянную, о которой говорится в определении, через – через. Тогда

эллипсу. (5.1)

Введем систему координат. Пусть ось абсцисс проходит через точкии, ось ординат – через середину отрезкаперпендикулярно оси абсцисс (рис. 5.1).

Пусть .

Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда выполнено равенство

. (5.2)

Преобразуем уравнение (5.2):

и после приведения подобных слагаемых получим

.

Еще раз возведем обе части в квадрат и получим:

, или

. (5.3)

В , т.е.и . Тогда обозначим.

Уравнение (5.3) перепишется в виде , или

. (5.4)

Пусть точка такова, чтоиудовлетворяют уравнению (5.4), тогда

. (5.5)

Имеем

. (5.6)

Сравним абсолютную величину и , чтобы опустить знак модуля в (5.6). Из уравнения (5.4), т.е., тогдаи.

Аналогичные преобразования дают

. (5.7)

Таким образом, , следовательно, точкапринадлежит эллипсу, и уравнение (5.4) – уравнение эллипса.

Уравнение (5.4) называется каноническим уравнением эллипса, числа ив уравнении (5.4) – соответственно его «большой» и «малой» полуосями.

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению.

Утверждение 1. Эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии.

Действительно, еслипринадлежит эллипсу, топринадлежит эллипсу (так каквходит в уравнение (5.4) в четной степени) ипринадлежит эллипсу (так каквходит в уравнение (5.4) в четной степени), но тогда ипринадлежит эллипсу, а это и означает, что эллипс симметричен относительно осейи, а также начала координат(рис. 5.2).

Определение 2. Две взаимно перпендикулярные оси симметрии эллипса называются его главными осями, центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса: ,,и; отрезкии– большой и малой осями эллипса (прибольшой осью будет, а малой -).

Замечание. Фокусы эллипса располагаются на его большой оси.

Утверждение 2. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми и .

Этот прямоугольник называется основным прямоугольником эллипса (рис. 5.3).

В самом деле, так как , то; оценкабыла получена выше (неравенство (5.7)).

Построим эллипс в I четверти и, пользуясь симметрией, отразим график сначала, например, относительно оси (вIV четверть), а затем то, что получится, в III и II четверти.

Из уравнения (5.4) имеем

.

Отметим, что при возрастании отдопеременнаяубывает отдо.

Все приведенные соображения обеспечивают возможность нестрогого построения эллипса («эскиза» кривой), определенного уравнением (5.4) (рис. 5.4).

Замечание. При эллипс представляет собой окружность с центром в начале координати радиусом:(Фокусыипри этом совпали с центром().)