Лекция 2
Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Определения, свойства, выражения в координатной форме |
2.1. Скалярное произведение двух векторов и
его свойства
Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется число
. (2.1)
Заметим, что в формуле (2.1)
и ,
поэтому можно дать определение скалярного произведения и в иной, равносильной форме, иногда более удобной.
Определение . Скалярным произведением векторов и называется число
. (2.2)
Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.
Теорема 1. Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство.
Необходимость. Пусть .
Достаточность. Пусть .
Случай 1. (либо , либо ). Так как направление не определено, считаем в этом случае, что .
Случай 2. , . В равенстве (2.1), определяющем , , , а .
Теорема 2. Для любых двух векторов и , если , , угол является острым тогда и только тогда, когда , и тупым – тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Отметим, что, так как и , знак скалярного произведения совпадает со знаком .
Следовательно, .
Обратно, .
Аналогично, .
Обратно, .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. , если ; , если .
Доказательство свойства 1.
Так как и , то из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, непосредственно следует, что .
Доказательство свойства 2. Применяем определение (и формулу (2.2)):
.
Доказательство свойства 3. Опять привлекаем определение и формулу (2.2):
.
Доказательство свойства 4. Заметим, что , поэтому
.
Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
) ;
) .
Действительно, например, для имеем:
.
Аналогично обосновывается ).
Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Пример. Пусть ,, – декартов базис, ,. Найти .
Имеем
.
Теорема 3. Пусть ,, – декартов базис, , . Тогда .
Доказательство. Имеем
.
Следствие. Пусть ,, – декартов базис, , , , . Тогда
. (2.3)
В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим
,
и соотношение (2.3) доказано.
В частности, .
2.2. Векторное произведение двух векторов и его свойства
Определение 2. Векторы ,, называются упорядоченной тройкой или просто тройкой, если указано, какой из них является первым, какой – вторым, какой – третьим.
Запись ,, будем понимать так, что – первый, – второй, – третий вектор.
Определение 3. Пусть ,, не компланарны. Тройка ,, называется правой (левой), если после приведения векторов , и к одному началу, вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой и , откуда кратчайший поворот от к (от первого вектора ко второму) кажется совершающимся против часовой стрелки (для левой – по часовой стрелке) (рис.2.1).
Если две тройки обе правые или обе левые, они называются тройками одной ориентации, в противном случае – противоположной ориентации.
Из векторов , и можно составить шесть троек:
,, ; ,,; ,,; (2.4)
,,; ,, ; ,,. (2.5)
Все тройки (2.4) – одной ориентации, и все тройки (2.5) – тоже одной ориентации, но каждая из троек (2.4) с любой тройкой (2.5) имеет противоположную ориентацию.
Упражнение. Показать, что тройки ,, и ,, имеют противоположную ориентацию.
Определение 4. Декартова система координат называется правой (левой), если базисные векторы ,, составляют правую (левую) тройку.
Для определенности будем далее считать, что декартова система координат – правая (рис.2.2).
Определение 5. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) ;
2) , ;
3) тройка ,, правая.
Векторное произведение будем далее обозначать .
Замечание 1. Длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу (рис.2.3).
Определение 6. Ортом вектора , , называется вектор , имеющий с одинаковое направление и такой, что .
Замечание 2. Из определения орта следует равенство .
(В самом деле, и векторы и имеют одинаковое направление.)
Замечание 3. Если – орт векторного произведения , а – площадь параллелограмма, построенного на и , приведенных к одному началу, то .
(Доказательство следует из определения 6.)
Теорема 4. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны. Тогда
.
Достаточность. Пусть .
Случай 1. (либо , либо ). Так как направление нулевого вектора не определено, можем считать, что коллинеарен .
Случай 2. , . Так как , а и , то и коллинеарен (угол , либо ).