Лекция 12 Линейные операторы

Линейный оператор - определение и примеры. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Линейные операторы с простым спектром

12.1. Понятие линейного оператора

Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору, принадлежащему, поставлен в соответствие вектор , . Соответствиеназывается оператором, определенным в линейном пространстве .

Принята также запись: . Векторназываетсяпрообразом, а -образом при отображении оператором .

Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:

1) ;

2) - вещественного числа.

Пример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси(рис. 12.1).- линейный оператор.

Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.

Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения надля геометрического векторавекторимеет то же направление, что и, если, и противоположное, если, и.

Рис. 12.2 соответствует случаю ,(рассматривается аналогично).

Пусть,,- зеркальное отражение вектораотносительно оси,- зеркальное отражение вектора. Тогда~и, значит,. Но, поэтому. Кроме того, направление векторасовпадает с направлением вектора, следовательно,. Таким образом, имеем

.

Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, операторзеркального отражения относительно осиявляется линейным оператором.

Упражнения.

1. - линейное пространство всех многочленов степени,- оператор дифференцирования,. Доказать, что- линейный оператор.

2. - линейное пространство всех непрерывных на отрезкефункций. Для любойоператоропределен следующим равенством:

, .

Доказать, что - линейный оператор.

Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в, - линейный оператор в. Матрицей линейного операторав базисеназывается матрица, ,такая, что

,

,

…………………………………….. (12.1)

.

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторовпо базису.

Пример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе.

По определению оператора (рис. 12.3).

Используя разложение векторов ипо базису, находим:,. Полученные строки координат располагаем по столбцам:

.

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - декартов базис,- декартова система координат,- оператор проектирования на ось. Доказать, что- линейный оператор, и найти его матрицу в базисе.

Замечание 2. Пусть - линейное пространство,- линейный оператор в,(I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.

Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрицаоператорав (I) определена однозначно.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в, - матрица линейного операторав базисе(I), , , ,. Тогда

.

Доказательство. Имеем

.

По условию .

Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим

. (12.2)

Заметим, что в последнем равенстве числа - элементыk-й строки матрицы .

Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде

.

Теорема доказана.

Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:

.

В силу теоремы 1, если - прообраз, а- образ,, то, т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).

Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени,- линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисеи, используя теорему 1, продифференцировать многочлен.

Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису:

,

,

.

Матрица оператора в базисеимеет вид

,

а вектор . Обозначим. По теореме 1 имеем

,

или в виде разложения по базису :.

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости,- декартов базис,- декартова система координат,- оператор поворота плоскости вокруг начала координат на уголпротив часовой стрелки. Доказать, что- линейный оператор, найти матрицуоператорав базисеи координаты образа вектора.