Лекция 6 Матрицы
Определение и некоторые свойства определителей порядка n. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций |
6.1. Основные понятия
Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Для обозначения матрицы используются круглые скобки или сдвоенные вертикальные линии:
.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами, элемент матрицы расположен в ее -й строке и -м столбце.
Числа и (число строк и столбцов матрицы) называются ее порядками.
Говорят также, что - матрица размером .
Если , матрица называется квадратной.
Для краткой записи используется также обозначение (или ) и далее указывается, в каких пределах изменяются и , например, , , . (Запись читается так: матрица с элементами , изменяется от до , - от до .)
Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами () равны нулю:
.
Будем говорить, что элементы расположены на главной диагонали.
Диагональная матрица вида
называется единичной матрицей.
В дальнейшем будут встречаться матрицы вида
и ,
которые называются треугольными матрицами, а также матрицы, состоящие из одного столбца:
и одной строки:
(матрица-столбец и матрица-строка).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
6.2. Определители порядка n
Пусть дана квадратная матрица порядка :
. (6.1)
Составим всевозможные произведения элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах, т.е. произведения вида
. (6.2)
Число произведений вида (6.2) равно (примем этот факт без доказательства).
Будем считать все эти произведения членами определителя порядка , соответствующего матрице (6.1).
Вторые индексы множителей в (6.2) составляют перестановку первых натуральных чисел .
Говорят, что числа и в перестановке составляют инверсию, если , а в перестановке расположено раньше .
Пример 1. В перестановке шести чисел, , числа и , и , и , и , и составляют инверсии.
Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной, если число инверсий в ней нечетно.
Пример 2. Перестановка - нечетная, а перестановка - четная ( инверсий).
Определение 2. Определителем порядка , соответствующим матрице (6.1), называется алгебраическая сумма членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел , и со знаком "–", если нечетной.
Обозначать определитель матрицы (6.1) принято так:
.
Замечание. Определение 2 для и приводит к уже знакомым нам определителям 2-го и 3-го порядка:
,
.
Транспонированием вокруг главной диагонали матрицы называется переход к матрице , для которой строки матрицы являются столбцами, а столбцы - строками:
.
Будем говорить, что определитель получен транспонированием определителя .