Упражнение 3.19.
Найти смешанное произведение векторов , где векторыиперемножаются векторно, а их результат на векторскалярно, см формулу (10). Затем найти смешанное произведение по формуле (16).
Проверить свойства (11) и (12) смешанного произведения по формуле (10).
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
>> a=[a1 a2 a3]; b=[b1 b2 b3]; c=[c1 c2 c3];
>> cross(a,b)
ans =
[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]
>> rez=ans(1)*c(1)+ans(2)*c(2)*ans(3)*c(3)
rez =
c1*(a2*b3 - a3*b2) - c2*c3*(a1*b2 - a2*b1)*(a1*b3 - a3*b1)
Упражнение 3.20.
С помощью смешанного произведения доказать, что векторы ,икомпланарны, определить ориентацию этой тройки. Ответьте на вопрос: как это связано понятие компланарность с понятиями базис и линейная зависимость для этих векторов. Построить эти векторы. Векторизобразить синим, векторзеленым, векторкрасным.
>> a=[1 -2 0];
>> b=[0 1 1];
>> c=[1 2 2];
>> det([a;b;c])
ans =
-2
так как мы получили отрицательный ответ следовательно тройка abc левая
>> plot3(1,-2,0,'^b')
>> grid on
>> box on
>> hold on
>> line([0 1],[0 -2],[0 0],'Color','blue')
>> line([0 0],[0 1],[0 1],'Color','green')
>> plot3(0,1,1,'^g')
>> line([0 1],[0 2],[0 2],'Color','red')
>> plot3(1,2,2,'^r')
>> xlabel('X')
>> ylabel('Y')
>> zlabel('Z')
Упражнение 3.21.
Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность , векторы-некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.
A) ,и ,
B) ,и ,
C) ,и .
>> syms a b c
>> det([a -b c;-a b -c;0 b -c])
ans =
0
>> det([2*a b c;a b 0;0 b -c])
ans =
0
>> det([a -b c;a b 0;0 b -c])
ans =
-a*b*c
>>ans=-1
Упражнение 3.22.
Вычислить если =А.
>> B=[a 2*b -c; a -b 0; 2*a 2*b c]
B =
>> det(B)
ans =
-7*a*b*c
Т.к. a*b*c=A, то
=-7*A;
Упражнение 3.23.
Пусть – некомпланарные векторы. Найти значениепри котором следующие векторы компланарны:
>> p=[a -2*b z*c], q=[3*a b -c], r=[a 0 -z*c]
p =
[ a, -2*b, c*z]
q =
[ 3*a, b, -c]
r =
[ a, 0, -c*z]
>> B=[p;q;r]
B =
a -2b cz
3a b -c
a 0 -cz
>> det(B)
ans =
2*a*b*c - 8*a*b*c*z
Т.о. чтобы a, b, c были компланарными, то 2*a*b*c - 8*a*b*c*z=0, значит
Z=1/4;