1 семестр / Линейная Алгебра / 23_Кучеренко Антон_Модуль1_Занятие2
.docx
Линейная алгебра. MATLAB. МОДУЛЬ 1 занятие 2 определители и формулы крамера
Кучеренко Антон МП-18
20.09.2011
Упражнение 1
Вычисление определителей первого порядка
>>syms a11 a12 a21 a22
>> A=[a11 a12; a21 a22]
A =
>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)
detA =
a11*a22-a21*a12
>>detA=det(A)
detA =
a11*a22-a21*a12
Упражнение 2
Вычислить определители второго порядка
>>A=[-1 4;-5 2]
A =
>>det(A)
ans =
18
>>syms a b
>> A=[a+b a-b ; a+b a-b]
A =
>>det(A)
ans =
0
>>clearsyms
>>syms x
>> A=[x x+1;-4 x+1]
A =
>>det(A)
ans =
x^2+5*x+4
>> A=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)
A =
x*(x+1)+4*x+4
Упражнение 3
Решить системы по формулам Крамера
>> A=[3 -5;2 7]
A =
>> d=det(A)
d =
31
>> A1=[13 -5;81 7]
A1 =
>> d1=det(A1)
d1 =
496
>> A2=[3 13; 2 81]
A2 =
>> d2=det(A2)
d2 =
217
>>x1=d1/d
x1 =
16
>>x2=d2/d
x2 =
7
>>clear A A1 A2 d d1 d2 x1 x2
ПРОВЕРКА
x,y:
x=16, y=7
+
>> A=[3 -4;3 4]
A =
>> d=det(A)
d =
24
>> A1=[3 -6;3 18]
A1 =
>> d1=det(A1)
d1 =
72
>> A2=[-6 -4; 18 4]
A2 =
>> d2=det(A2)
d2 =
48
>>x1=d1/d
x1 =
3
>>x2=d2/d
x2 =
2
>> clear all
>>syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
ПРОВЕРКА
>> 3*x-4*y
ans =
-6
>> 3*x+4*y
ans =
18
+
Упражнение 4
Создать квадратную матрицу B=[a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]
размером 3х3. Вычислить определитель матрицы B.
1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива 2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива
3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()
>>B=[a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]
B =
>> b=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(3,1)*B(2,2)*B(1,3)...
-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)
b =
a1*b2*c3+a2*b3*c1+b1*c2*a3-a3*b2*c1-b3*c2*a1-a2*b1*c3
>> S1=[B(2,2) B(3,2); B(2,3) B(3,3)]
S1 =
>> S2=[B(2,1) B(3,1); B(2,3) B(3,3)]
S2 =
>> S3=[B(2,1) B(2,2); B(3,1) B(3,2)]
S3 =
>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3
d =
a1*(b2*c3-b3*c2)-b1*(a2*c3-a3*c2)+c1*(a2*b3-a3*b2)
>>clearall
Упражнение 5
Вычислить определители третьего порядка, при необходимости вводя символьные переменные, а также прибегая к упрощениям. Предварительно введите helpsin и helpcos, узнайте, как пользоваться синусом и косинусом. Упрощайте выражения.
1) по правилу Саррюса, обращаясь к индексам элементов массива 2)разложением по первой строке, обращаясь к индексам элементов массива
3) сделать проверку с помощью стандартной функции det()
1)
>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 1]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 1
>> S1=[A(2,2) A(3,2); A(2,3) A(3,3)]
S1 =
>> S2=[A(2,1) A(3,1); A(2,3) A(3,3)]
S2 =
>> S3=[A(2,1) A(2,2); A(3,1) A(3,2)]
S3 =
>> d=A(1,1)*det(S1)-A(1,2)*det(S2)+A(1,3)*det(S3)
d =
24
2)
>> A=[3 4 -5; 8 7 -2; 2 -1 8]
A =
3 4 -5
8 7 -2
2 -1 8
>> S1=[A(2,2) A(3,2); A(2,3) A(3,3)]
S1 =
>> S2=[A(2,1) A(3,1); A(2,3) A(3,3)]
S2 =
>> S3=[A(2,1) A(2,2); A(3,1) A(3,2)]
S3 =
>> d=A(1,1)*det(S1)-A(1,2)*det(S2)+A(1,3)*det(S3)
d =
0
3)
>>syms a b c x
>>B=[x+a x x; x b+x x; x xc+x]
B =
>>S1=[b+x x; x c+x]; S2=[x x; x c+x]; S3=[x b+x; x x];
>>d=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)
d =
(x+a)*(b+x)*(c+x)+2*x^3-x^2*(b+x)-x^2*(x+a)-x^2*(c+x)
>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3)
d =
(x+a)*(b*c+b*x+x*c)-x^2*c-x^2*b
>> d=det(B)
d =
x*b*c+a*b*c+a*b*x+a*x*c
4)
>> B=[sin(a) cos(a) 1; sin(b) cos(b) 1; sin(c) cos(c) 1]
B =
>> S1=[cos(b) 1; cos(c) 1]; S2=[sin(b) 1; sin(c) 1]; S3=[sin(b) cos(b); sin(c) cos(c)];
>> d=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)
d =
cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)
>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3)
d =
sin(a)*(cos(b) - cos(c)) - cos(a)*(sin(b) - sin(c)) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)
>> d=det(B)
d =
cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)
Упражнение 6
Решить системы по формулам Крамера
1)
>> B=[7 2 3; 5 -3 2; 10 -11 5]
B =
7 2 3
5 -3 2
10 -11 5
>> B1=[15 15 36; 2 -3 -11; 3 2 5]
B1 =
15 15 36
2 -3 -11
3 2 5
>> B1=[15 2 3; 15 -3 2; 36 -11 5]
B1 =
15 2 3
15 -3 2
36 -11 5
>> B2=[7 15 3; 5 15 2; 10 36 5]
B2 =
7 15 3
5 15 2
10 36 5
>> B3=[7 2 15; 5 -3 15; 10 -11 36]
B3 =
7 2 15
5 -3 15
10 -11 36
>> d=det(B)
d =
-36.0000
>>dx=det(B1); dy=det(B2); dz=det(B3);
>> X=dx/d, Y=dy/d, Z=dz/d
X =
2.0000
Y =
-1.0000
Z =
1.0000
ПРОВЕРКА:
>> 7*X+2*Y+3*Z
ans =
15
>> 5*X-3*Y+2*Z
ans =
15
>> 10*X-11*Y+5*Z
ans =
36
2)
>> B=[2 1 0; 1 0 3; 0 5 -1]
B =
2 1 0
1 0 3
0 5 -1
>> B1=[5 1 0; 16 0 3; 10 5 -1]
B1 =
5 1 0
16 0 3
10 5 -1
>> B2=[2 5 0; 1 16 3; 0 10 -1]
B2 =
2 5 0
1 16 3
0 10 -1
>> B3=[2 1 5; 1 0 16; 0 5 10]
B3 =
2 1 5
1 0 16
0 5 10
>> d=det(B);dx=det(B1);dy=det(B2);dz=det(B3);
>> x=dx/d, y=dy/d, z=dz/d
x =
1.0000
y =
3
z =
5
ПРОВЕРКА:
>> 2*x+y
ans =
5
>> x+3*z
ans =
16
>> 5*y-z
ans =
10