Кучеренко Антон МП-18

MIET	Линейная алгебра. MATLAB. МОДУЛЬ 1 занятие 2 определители и формулы крамера

Упражнение 1

Вычисление определителей первого порядка

>>syms a11 a12 a21 a22

>> A=[a11 a12; a21 a22]

A =

>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

detA =

a11*a22-a21*a12

>>detA=det(A)

detA =

a11*a22-a21*a12

Упражнение 2

Вычислить определители второго порядка

>>A=[-1 4;-5 2]

A =

>>det(A)

ans =

18

>>syms a b

>> A=[a+b a-b ; a+b a-b]

A =

>>det(A)

ans =

0

>>clearsyms

>>syms x

>> A=[x x+1;-4 x+1]

A =

>>det(A)

ans =

x^2+5*x+4

>> A=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

A =

x*(x+1)+4*x+4

Упражнение 3

Решить системы по формулам Крамера

>> A=[3 -5;2 7]

A =

>> d=det(A)

d =

31

>> A1=[13 -5;81 7]

A1 =

>> d1=det(A1)

d1 =

496

>> A2=[3 13; 2 81]

A2 =

>> d2=det(A2)

d2 =

217

>>x1=d1/d

x1 =

16

>>x2=d2/d

x2 =

7

>>clear A A1 A2 d d1 d2 x1 x2

ПРОВЕРКА

x,y:

x=16, y=7

+

>> A=[3 -4;3 4]

A =

>> d=det(A)

d =

24

>> A1=[3 -6;3 18]

A1 =

>> d1=det(A1)

d1 =

72

>> A2=[-6 -4; 18 4]

A2 =

>> d2=det(A2)

d2 =

48

>>x1=d1/d

x1 =

3

>>x2=d2/d

x2 =

2

>> clear all

>>syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

ПРОВЕРКА

>> 3*x-4*y

ans =

-6

>> 3*x+4*y

ans =

18

+

Упражнение 4

Создать квадратную матрицу B=[a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]

размером 3х3. Вычислить определитель матрицы B.

1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива 2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива

3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()

>>B=[a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]

B =

>> b=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(3,1)*B(2,2)*B(1,3)...

-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)

b =

a1*b2*c3+a2*b3*c1+b1*c2*a3-a3*b2*c1-b3*c2*a1-a2*b1*c3

>> S1=[B(2,2) B(3,2); B(2,3) B(3,3)]

S1 =

>> S2=[B(2,1) B(3,1); B(2,3) B(3,3)]

S2 =

>> S3=[B(2,1) B(2,2); B(3,1) B(3,2)]

S3 =

>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3

d =

a1*(b2*c3-b3*c2)-b1*(a2*c3-a3*c2)+c1*(a2*b3-a3*b2)

>>clearall

Упражнение 5

Вычислить определители третьего порядка, при необходимости вводя символьные переменные, а также прибегая к упрощениям. Предварительно введите helpsin и helpcos, узнайте, как пользоваться синусом и косинусом. Упрощайте выражения.

1) по правилу Саррюса, обращаясь к индексам элементов массива 2)разложением по первой строке, обращаясь к индексам элементов массива

3) сделать проверку с помощью стандартной функции det()

1)

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 1]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 1

>> S1=[A(2,2) A(3,2); A(2,3) A(3,3)]

S1 =

>> S2=[A(2,1) A(3,1); A(2,3) A(3,3)]

S2 =

>> S3=[A(2,1) A(2,2); A(3,1) A(3,2)]

S3 =

>> d=A(1,1)*det(S1)-A(1,2)*det(S2)+A(1,3)*det(S3)

d =

24

2)

>> A=[3 4 -5; 8 7 -2; 2 -1 8]

A =

3 4 -5

8 7 -2

2 -1 8

>> S1=[A(2,2) A(3,2); A(2,3) A(3,3)]

S1 =

>> S2=[A(2,1) A(3,1); A(2,3) A(3,3)]

S2 =

>> S3=[A(2,1) A(2,2); A(3,1) A(3,2)]

S3 =

>> d=A(1,1)*det(S1)-A(1,2)*det(S2)+A(1,3)*det(S3)

d =

0

3)

>>syms a b c x

>>B=[x+a x x; x b+x x; x xc+x]

B =

>>S1=[b+x x; x c+x]; S2=[x x; x c+x]; S3=[x b+x; x x];

>>d=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)

d =

(x+a)*(b+x)*(c+x)+2*x^3-x^2*(b+x)-x^2*(x+a)-x^2*(c+x)

>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3)

d =

(x+a)*(b*c+b*x+x*c)-x^2*c-x^2*b

>> d=det(B)

d =

x*b*c+a*b*c+a*b*x+a*x*c

4)

>> B=[sin(a) cos(a) 1; sin(b) cos(b) 1; sin(c) cos(c) 1]

B =

>> S1=[cos(b) 1; cos(c) 1]; S2=[sin(b) 1; sin(c) 1]; S3=[sin(b) cos(b); sin(c) cos(c)];

>> d=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(2,1)*B(3,2)*B(1,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(3,2)*B(2,3)*B(1,1)-B(2,1)*B(1,2)*B(3,3)

d =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

>> d=B(1,1)*det(S1)-B(1,2)*det(S2)+B(1,3)*det(S3)

d =

sin(a)*(cos(b) - cos(c)) - cos(a)*(sin(b) - sin(c)) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

>> d=det(B)

d =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

Упражнение 6

Решить системы по формулам Крамера

1)

>> B=[7 2 3; 5 -3 2; 10 -11 5]

B =

7 2 3

5 -3 2

10 -11 5

>> B1=[15 15 36; 2 -3 -11; 3 2 5]

B1 =

15 15 36

2 -3 -11

3 2 5

>> B1=[15 2 3; 15 -3 2; 36 -11 5]

B1 =

15 2 3

15 -3 2

36 -11 5

>> B2=[7 15 3; 5 15 2; 10 36 5]

B2 =

7 15 3

5 15 2

10 36 5

>> B3=[7 2 15; 5 -3 15; 10 -11 36]

B3 =

7 2 15

5 -3 15

10 -11 36

>> d=det(B)

d =

-36.0000

>>dx=det(B1); dy=det(B2); dz=det(B3);

>> X=dx/d, Y=dy/d, Z=dz/d

X =

2.0000

Y =

-1.0000

Z =

1.0000

ПРОВЕРКА:

>> 7*X+2*Y+3*Z

ans =

15

>> 5*X-3*Y+2*Z

ans =

15

>> 10*X-11*Y+5*Z

ans =

36

2)

>> B=[2 1 0; 1 0 3; 0 5 -1]

B =

2 1 0

1 0 3

0 5 -1

>> B1=[5 1 0; 16 0 3; 10 5 -1]

B1 =

5 1 0

16 0 3

10 5 -1

>> B2=[2 5 0; 1 16 3; 0 10 -1]

B2 =

2 5 0

1 16 3

0 10 -1

>> B3=[2 1 5; 1 0 16; 0 5 10]

B3 =

2 1 5

1 0 16

0 5 10

>> d=det(B);dx=det(B1);dy=det(B2);dz=det(B3);

>> x=dx/d, y=dy/d, z=dz/d

x =

1.0000

y =

3

z =

5

ПРОВЕРКА:

>> 2*x+y

ans =

5

>> x+3*z

ans =

16

>> 5*y-z

ans =

10