ГЛАВА 2

Одномерная минимизация функций. Прямые методы

Подробный разбор одномерных задач минимизации функций важен по двум причинам.

Во-первых, эти задачи наиболее просты, и на них легче понять постановку проблемы, методы решения и возникающие трудности. Иногда одномерные задачи имеют самостоятельный практический интерес.

Во-вторых, и это главное, алгоритмы решения многомерных задач оптимизации часто сводятся к последовательному многократному решению одномерных задач и не могут быть поняты без умения их решать.

Пусть необходимо минимизировать функцию f (x) на отрезке [a, b] . Обычно для этого применяются приближенные, т.е. численные методы. Решение задачи находится с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f (x) и ее производных в некоторых точках отрезка [a, b] .

2.1. О прямых методах

Методы, использующие только значения функции и не требующие вычисления ее производных, называются прямыми методами минимизации. Большим достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости. Более того, она может быть не задана в аналитическом виде. Единственное, на чем основаны алгоритмы прямых методов минимизации, это возможность определения значений f (x) в заданных точках.

Пример 2.1. Химический завод производит некоторое вещество. Выход интересующего продукта определяется температурой y = f (T ) , которую можно варьировать в пределах: T1 ≤ T ≤ T2 . Вид функции f (T ) заранее не известен, он зависит от используемого сырья. Получив очередную партию сырья, нужно найти температуру T , при которой наиболее выгодно вести производство, т.е. наибольшее значение f (T ) .

20

Пример 2.2. Значения функции f (x) получаются в результате сложных численных расчетов.

Рассмотрим наиболее распространенные прямые методы поиска точки минимума. Самым слабым требованием на функцию f (x) , позволяющим использовать эти методы, является ее унимодальность. Поэтому далее будем считать функцию f (x) унимодальной на отрезке [a, b] .

Будут подробно рассмотрены следующие четыре прямых метода:

−перебора и поразрядного поиска;

−деления отрезка пополам (метод дихотомии и метод золотого сечения).

Кроме того, будет дано представление о методах полиномиальной аппроксимации (метод парабол).

2.2. Метод перебора

Является простейшим из прямых методов и состоит в следующем. Разобьем

[a, b] , т.е. 1 ≤ m ≤ n −1 (случаи m = 0 и m = n рассматриваются аналогично). Тогда из соотношения (2.1) и по определению унимодальности функции следует

а) f (xm−1 ) ≥ f (xm ) , т.е. x [xm−1 , b]; б) f (xm ) ≤ f (xm+1 ) , т.е. x [a, xm+1 ].

Отсюда получаем, что x* [xm−1 , b] ∩[a, xm+1 ] =[xm−1 , xm+1 ] . Длина последнего отрезка

21

Во-вторых, разумно было бы сначала определить отрезок, содержащий точку x с небольшой точностью, а затем искать ее на этом отрезке с меньшим шагом дискретизации, повышая точность.

Такая возможность улучшения метода перебора реализована в методе поразрядного поиска, в котором перебор точек отрезка происходит сначала с шагом = xi+1 − xi > ε до тех пор, пока не выполнится условие f (xi ) ≤ f (xi+1 ) или пока очередная из этих точек не совпадет с концом отрезка. После этого шаг уменьшается (обычно в четыре раза), и перебор точек с новым шагом производится в противоположном направлении до тех пор, пока значения f (x) не перестанут уменьшаться или очередная точка не совпадет с концом отрезка и т.д. Процесс завершается, когда перебор в данном направлении закончен, а использованный при этом шаг дискретизации не превосходит ε .

Пример 2.4. Методом поразрядного поиска найти f (x) = x4 + e−x → min, x [0, 1] ,

с точностью до ε = 0,1.

□ Начальный шаг = 0,25. Вычисляя последовательно значения f (x) в точках

дискретизации с шагом 0,25, получим

результатом решения примера методом перебора; здесь потребовалось только 8, а не 11 вычисленных значений функции f (x) ). ■

Необходимо отметить, что метод поразрядного поиска, несмотря на простоту и меньшую эффективность, чем рассматриваемые ниже методы деления отрезка пополам, имеет значительную область применимости в методах многомерной минимизации. Это связано с тем, что при реализации этого метода не обязательно задавать границы отрезка [a, b] , роль которого может играть вся бесконечная прямая или любая ее часть.

23