|
Пример 1.15. Решить задачу |
f (x) = sin(2πx) − 2πexp(x −1) → min, |
x [ |
|
1 |
, |
|
3 |
]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
□ Найдем корни уравнения |
f (x) = 2π cos(2πx) − 2π exp(x −1) = 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
из промежутка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [ |
1 |
, |
3 |
]. |
Точка |
x =1 |
является |
|
корнем |
(показать, |
что |
других |
|
корней на |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
промежутке |
|
нет). |
Далее, |
|
|
|
|
пологая |
|
|
|
|
x0 = |
|
1 |
, x2 = |
3 |
, |
|
|
|
вычислим |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x |
0 |
) = −2πexp(− |
1 |
), |
f (x |
) = −2π, |
|
f |
(x |
2 |
) |
= −2πexp( |
1 |
). |
Производя перебор, |
получим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = x2 |
= |
3 |
, |
f = f (x2 ) = −2πexp( |
1 |
). |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.16. Найти f (x) = −sin( |
x |
) −cos( |
x |
) → min, |
|
x |
[π , |
2π |
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
□ Найдем корни уравнения f |
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x) = − |
|
cos( |
|
) + |
|
|
sin( |
|
) = 0, |
x [ 3 |
, |
|
]. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точка x1 = π2 является корнем (показать, что других корней на промежутке нет).
Положим |
x |
0 |
= |
π , |
x |
2 |
= |
2π |
. |
Производя |
перебор, f (x |
0 |
) = − 1 |
− 3 , |
f (x ) = − |
2 |
|||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x |
2 |
) = − 3 |
− 1 |
. Поскольку 1 + 3 < 2 2, |
получим |
x = x |
= π , |
f = f (x ) = − 2. |
■ |
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вопросы и задания для самоконтроля
1.Какая функция называется целевой?
2.Дать определение локального и глобального минимумов функции.
3.Что такое точная нижняя грань функции на множестве?
4.Как соотносятся точная нижняя грань и минимум функции на множестве?
5.Какая функция называется унимодальной на отрезке [a, b] ?
6.Сформулировать свойства унимодальных функций.
7.Какая функция называется выпуклой на отрезке [a, b] ?
8.Каков геометрический смысл выпуклости функции?
9.Сформулировать два необходимых и достаточных дифференциальных условий выпуклости функций.
10. Сформулировать условие Липшица для функции f (x) на отрезке [a, b] .
18
11. Всякая ли унимодальная на отрезке [a, b] функция f (x) удовлетворяет на нем условию Липшица?
12. Всякая ли функция f (x) , удовлетворяющая условию Липшица на отрезке
[a, b] , унимодальна на нем?
13. Сформулировать свойства функций, удовлетворяющих на отрезке [a, b]
условию Липшица.
14.В чем заключается классический метод минимизации функций?
15.Для каких целей разработан классический метод минимизации функций?
16.Какова практическая ограниченность применимости этого метода?
19