колбок по линалу
.pdf§1.Определители и их свойства.
Опр.1.
Пусть дана таблица из 4-х чисел, которую будем называть КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЕЙ.
|
а |
а |
|
|
11 |
12 |
|
а21 |
а22 |
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ 2-го порядка называется число, обозначаемое |
= |
а11 |
а12 |
|
и вычисляемое по |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а21 |
а22 |
|
|
|
|
|
|
|
правилу |
= а11 −а22 |
(1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример: |
= |
|
2 |
1 |
|
= −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.2. |
|
|
|
|
|
|
|
а11 а12 |
а13 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть дана таблица из 3-х чисел, то есть КВАДРАТНАЯ матрица. |
а |
а |
а |
23 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а31 |
а33 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ третьего порядка называется число, обозначаемое как |
= |
а21 |
а22 |
а23 |
|
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
вычисляемое по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 − а13а22а31 − а12а21а33 − а32а23а11 |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
−1 |
− 2 |
1 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр. 3.
МИНОРОМ какого-либо элемента aij данного определителя называется определитель, который получается из данного путем вычёркивания из него i-ой строки и j-ого столбца.
Пример:
М |
|
= |
|
|
а11 |
а12 |
|
= а |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
12 |
|
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
|
|
а13 |
|
а |
а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
М |
23 |
= |
|
|
а |
21 |
а |
22 |
|
|
а |
23 |
= |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
а |
||||
|
|
|
|
|
а31 |
а32 |
|
|
а33 |
|
31 |
32 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.4.
АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ данного элемента определителя называется число
А = (−1)i+ j Мij
где i- номер строки, j- номер столбца.
Пример:
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
а |
а |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
А = (−1)2+3 |
а |
21 |
а |
22 |
а |
23 |
= |
- |
11 |
12 |
|
а |
а |
||||||||||
ij |
|
|
|
|
|
||||||
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
31 |
32 |
||||
|
|
|
|
|
Свойства определителей:
ТЕОРЕМА№1. (о разложении определителя по элементам строки или столбца). Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:
а11 |
а12 |
а13 |
= а А + а А + а А = а |
|
а22 |
а23 |
|
+ а |
(−1) |
|
а21 |
а23 |
|
+ а |
|
а21 |
а22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а |
а |
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||
21 |
22 |
23 |
11 11 12 12 13 13 |
11 |
|
а |
а |
|
12 |
|
|
а |
а |
|
13 |
|
а |
а |
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= а11(а22а33 − а23а32 )− а12 (а21а33 − а31а23 )+ а13 (а21а32 − а22а31 )= а11а22 а33 + а12 а31а23 + а13а21а32 − а11а23 а32 − а12 а21а33 − а13а22 а31
Сравнив с (2)-видим, что получается то же самое. Что и требовалось доказать.
Опр. 5.
Замена строк столбцами называется ТРАНСПОНИРОВАНИЕМ определителя.
ТЕОРЕМА№2.(о транспонировании определителя). «При транспонировании определитель не изменяется»
ТЕОРЕМА№3. (об умножении определителя на число).
«Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя, то есть
ка11 |
а12 |
а13 |
|
а11 |
а12 |
а13 |
ка21 |
а22 |
а23 |
= к |
а21 |
а22 |
а23 |
ка31 |
а32 |
а33 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
Или: если определитель умножается на число, то на это число умножаются все элементы какой-либо одной строки (столбца).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
|
ка11 |
а12 |
а13 |
|
|
|
|
ка21 |
а22 |
а23 |
= теор.1= ка11 А11 + ка21 А21 + ка31 А31 = к(а11 А11 + а21 А21 + а31 А31) =теор.1= |
||
|
ка31 |
а32 |
а33 |
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
|
|
|
||||
= к |
а21 |
а22 |
а23 |
Что и требовалось доказать. |
||
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
ТЕОРЕМА№4. (о замене местами двух строк или двух столбцов)
При замене местами двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: легко провести, используя формулу (2).
ТЕОРЕМА№5.(первый признак нулевого определителя).
Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен 0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Нулевую строку (столбец) можно представить как строку каких-то чисел, умноженных на 0, а согласно теореме 3, в этом случае весь определитель умножается на 0:
0 |
а12 |
= |
0а11 |
а12 |
=теор.3=0 |
а11 |
а12 |
=0 Что и требовалось доказать. |
|||
0 |
а |
|
0а |
21 |
а |
22 |
|
а |
а |
22 |
|
|
22 |
|
|
|
|
21 |
|
|
ТЕОРЕМА№6. (второй признак нулевого определителя).
Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца,=0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
При замене местами двух одинаковых строк (столбцов) в определителе ничего не меняется, однако, согласно теореме 4, знак определителя при этом должен поменяться на противоположный. А это возможно только тогда, когда = 0
ТЕОРЕМА№7. (о сложении определителей).
Если элементы какой-либо строки (столбца) представить в виде суммы, то такой определитель можно разбить на сумму двух определителей.
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
|
а1 |
а |
а |
|
а2 |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
23 |
= |
а1 |
а |
22 |
а |
23 |
+ |
а2 |
а |
22 |
а |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
21 |
22 |
|
|
21 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
|
а1 |
а |
а |
33 |
|
а2 |
а |
а |
33 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
31 |
31 |
32 |
|
33 |
|
31 |
|
32 |
|
|
31 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
(а1 |
|
|
)А + (а1 |
|
|
|
)А + (а1 |
|
)А |
|
|||||
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
23 |
=теорема1= |
+ а2 |
|
+ а2 |
+ а2 |
= |
|||||||||||||
|
21 |
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
11 |
|
21 |
21 |
21 |
31 |
31 |
31 |
|
||||
|
а1 |
+ а2 |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
31 |
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а111 А11 + а121 А21 + а311 А31 )+ (а112 А11 + а212 А21 + а312 А31 )=теорема1= |
1 + |
2 |
Что и треб. доказать. |
ТЕОРЕМА№8. (о тождественном преобразовании определителя).
Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить числа, пропорциональные соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель от этого не изменится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
а11 |
+ ка12 |
а12 |
а13 |
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
|
ка12 |
а12 |
а13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а21 |
+ ка22 |
а22 |
а23 |
|
= теорема 7= |
|
а21 |
а22 |
а23 |
|
+ |
|
ка22 |
а22 |
а23 |
=теорема 3= |
а31 |
+ ка32 |
а32 |
а33 |
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
|
ка32 |
а32 |
а33 |
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
а12 |
а12 |
а13 |
|
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
+ к |
а22 |
а22 |
а23 |
=теорема 6 = |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
|
а32 |
а32 |
а33 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
ТЕОРЕМА№9. (о нулевом разложении определителя).
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна 0. То есть:
а11 А21 + а12 А22 + а13 А23 = 0
§2 Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.
Уравнения (система уравнений), содержащие неизвестные только в первой степени, называются линейными.
Рассмотрим квадратную системы, когда число неизвестных равно числу уравнений.
|
а |
|
х |
+ а |
х |
+... + а |
|
x |
= b |
|
|
|
11 |
1 |
12 |
2 |
1n |
n |
1 |
|
|||
|
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
= b2 |
(1) |
||||||||
|
a |
|
x + a |
n2 |
x |
+... + a |
|
x |
= b |
|
|
|
|
n1 1 |
|
2 |
|
nn n |
n |
|
где x1, x2...xn - неизвестные, а aij -коэффициенты системы(заданные числа). b1,b2...bn -
свободные члены (заданные числа)
Если хотя бы один из свободных членов не равен 0, то система 1 называется неоднородной. Если же все свободные члены=0, то получаем систему вида:
|
а |
|
х + а |
х |
+... + а |
|
x |
= 0 |
|
||
|
11 |
1 |
12 |
2 |
1n |
n |
|
|
|||
|
a21x1 |
+ a22 x2 +... + a2n xn |
= 0 |
(2) |
|||||||
|
a |
|
x + a |
n2 |
x |
+... + a |
|
x |
= 0 |
|
|
|
|
n1 1 |
|
2 |
|
nn n |
|
|
которая называется однородной.
Далее для краткости будем рассматривать частный случай системы трёх уравнений с тремя неизвестными.
|
а х |
+ а х |
2 |
+ а x |
3 |
= b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
11 |
|
1 |
12 |
|
13 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a21 x1 + a22 x2 |
+ a23 x3 |
= b2 |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
31 |
x + a |
32 |
x |
2 |
+ a |
33 |
x |
3 |
= b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из коэф. системы (3) составим определитель |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
а11 |
|
|
а12 |
|
|
|
а13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
а21 |
|
|
а22 |
|
|
а23 |
|
, который называется главным определителем системы. |
|||||||||||||||||||
|
|
а31 |
|
|
а32 |
|
|
а33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 = |
|
b1 |
|
а12 |
|
|
а13 |
|
|
|
2 = |
|
а11 |
b1 |
а13 |
|
а11 |
а12 |
b1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b2 |
|
а22 |
|
|
а23 |
, |
|
|
а21 |
b2 |
а23 |
, 3 = |
а21 |
а22 |
b2 |
, называются |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
а32 |
|
|
а33 |
|
|
|
|
|
а31 |
b3 |
а33 |
|
а31 |
а32 |
b3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнительными определителями.
Будем считать, что Аij представляет собой алгебраич. дополнение соответствующего
элемента главного определителя.
Домножим первое уравнение системы (3) на алгебраическое дополнение А11 , второе на A21 ,третье на А31
|
А а х |
+ А а х |
2 |
+ А а x |
3 |
= А b |
|
||||||||||||
|
11 |
11 |
1 |
11 |
12 |
|
11 |
13 |
|
11 |
1 |
|
|||||||
|
А21a21 x1 + А21a22 x2 |
+ А21a23 x3 = А21b2 |
складываем |
||||||||||||||||
|
А a |
31 |
x + А a |
32 |
x |
2 |
+ А a |
33 |
x |
3 |
= А b |
|
|||||||
|
31 |
|
1 |
31 |
|
|
|
31 |
|
|
|
31 |
3 |
|
(А11а11 + А21а21 + А31а31 )х1 + (А11а12 + А21а22 + А31а32 )х2 + (А11а13 + А21а23 + А31а33 )х3 =
=A11b1 + A21b2 + A31b3
Анализируя полученное с учётом теорем 1 и 9 в §1 получаем х1 + 0х2 + 0х3 = 1
Если теперь первое уравнение системы (3) умножить на А12 , второе на А22 , третье на А32 ,
то аналогично мы получим
0х1 + х2 +0х3 = 2
Повторяя процедуру третий раз, мы получим
0х1 + 0х2 + х3 = 3
Таким образом имеем
|
|
|
|
|
|
х |
= |
1 |
|
х1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
х2 |
= |
|
|
(4) |
|
х2 |
= |
|
(5) – ФОРМУЛЫ КРАМЕРА. |
2 |
|
или |
2 |
||||||
х3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
х |
= |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (4),(5) позволяют легко доказать следующую теорему:
ТЕОРЕМА№1
1.) Если главный определитель системы (1) или (3) ≠ 0 , то система имеет единственное решение.
2.) Если главный определитель системы (1) или (3) =0 и все дополнительные определители =0, то система имеет множество решений
3.) Если главный определитель системы (1) или (3) =0, а хотя бы один из дополнительных определителей ≠ 0 , то система решений не имеет и называется в этом случае НЕСОВМЕСТНОЙ.
Рассмотрим однородную систему
|
а |
|
х |
+ а х |
2 |
+ а x |
= 0 |
|
||
|
11 |
1 |
12 |
|
13 |
3 |
|
|
||
|
a21x1 + a22 x2 + a23x3 |
= 0 |
(6) |
|||||||
|
a |
n1 |
x + a |
x + a x = 0 |
|
|||||
|
|
1 |
n2 |
|
2 |
33 |
3 |
|
|
На основании теоремы 5 §1 очевидно, что все дополнительные определители системы = 0. Следовательно в этом случае формулы (4) примут вид
х1 |
= 0 |
|
|
|
х2 |
= 0 |
|
(7) |
Это позволяет легко доказать следующую теорему. |
|
||||
х3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА№2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ 0 ,то однородная система |
|||||
|
|
1.) Если главный определитель однородной системы (6) |
||||||||||||||
|
|
имеет единственное решение х1 |
= х2 = х3 =0, которое называется ТРИВИАЛЬНЫМ. |
|||||||||||||
|
|
2.) Если главный определитель однородной системы (6) |
= 0, то имеем |
|||||||||||||
|
|
бесчисленное множество решений. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2х1 − х2 + х3 = −2 |
|
|
2 |
−1 1 |
|
|
|
|
− 2 −1 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
х1 + 2х2 +3х3 = −1 |
= |
|
1 |
2 |
3 |
|
= 0 |
1 = |
|
−1 2 |
3 |
|
= −8 |
||
|
х |
−3х |
− 2х = 3 |
|
|
1 |
−3 − 2 |
|
|
|
|
3 −3 − 2 |
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решений нет, система несовместна.
§3 Векторная алгебра. Определение вектора.
Опр.1.
ВЕКТОРнаправленный отрезок прямой, для которого каким-то образом заданы длина и направление. В
→ |
→ |
а |
АВ |
А |
|
Опр.2.
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой назывются КОЛЛИНЕАРНЫМИ.
→ |
→ |
a ↑↑ b - коллинеарны и сонаправлены. |
|
→ |
→ |
a ↑↓ b - коллинеарны и противоположно направлены. |
Опр.3.
Длина вектора называется его модулем. а→
Опр.4.
→ → |
|
|
|
|
|
||||
Два вектора а и b называются РАВНЫМИ, если они коллинеарны, сонаправленны и |
|||||||||
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
при этом имеют одинаковые модули, то есть |
а |
= |
b |
и а↑↑ b . |
|
|
|
|
|
§4 Линейные действия над векторами. |
|
||||||||
Опр.1. |
|
|
|
|
|
||||
→ → |
|
|
→ |
|
|
||||
СУММОЙ векторов а и b называется вектор, обозначаемый как |
|
→ |
и |
||||||
|
а |
+b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаемый по правилу треугольника: «если конец вектора а→ совместить с началом
→
вектора b и затем построить вектор из начала первого вектора в конец второго, то данный вектор будет являться суммой этих векторов. »
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
а |
b |
a |
|
→ |
|
|
|
а+b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ → |
Сумма векторов обладает свойством коммутативности а+b |
= b + a |
|||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
|
→ |
|
→ → |
→ → |
|
|
|
а |
|
а+b = b + a |
|
|
|
→
b
СЛЕДСТВИЕ: |
|
|
|||
|
|
|
→ |
|
|
Т.о. сумма |
|
→ |
представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на |
||
|
а |
+b |
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
а и |
b как на сторонах. |
Аналогично можно показать, что сумма трёх векторов представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.
→ |
→ |
→ |
→ → → |
а |
b |
с |
а+b+ с |
Опр.2.
→
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется НУЛЕВЫМ ВЕКТОРОМ. « 0»
Опр.3.
Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые модули,
коллинеарны и противоположно направлены. Вектор, противоположный а→ , обозначается
- а→ . При этом противоположные векторы обладают свойством а→ +(- а→ )=0.
Опр.4.
→ |
→ |
|
→ → |
Разностью векторов а и b называется вектор, обозначаемый как а-b и |
|||
|
|
→ |
→ |
представляющий собой сумму векторов а+(-b) |
|||
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
- b |
а |
b |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
а |
- b |
а |
Опр.5.
Произведением вектора а→ на число λ называется вектор λ a , коллинеарный вектору а→ ,
то есть ar λar , и имеющий модуль равный λ • а→ .
Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами: 1.) 0* ar= 0→
→ →
2.) λ * 0= 0 3.) (λ + μ) а→ = λ а→ + μ а→
4.)
5.)
6.)
→ → → →
λа+b = λ а+ λ b
λμа→ = (λμ)а→
а→ + а→ +…+ а→ =n а→ , n N
§5. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и пространстве.
Опр.1.
Пусть дана совокупность из n векторов a1 , a2 … an и совокупность из n чисел λ1,λ2...λn . |
|
Тогда сумма произведений λ1ar1 + λ2a2 +... + λnan |
(1) |
называется ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВЕКТОРОВ. |
|
Опр.2.
а) совокупность векторов a1 , a2 … an называется ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация может быть равна 0 только в том случае, когда все числа λi =0
б) Совокупность векторов a1 , a2 … an называется ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если их |
|
линейная комбинация может быть равна 0, когда не все числа λi =0. То есть |
|
λ1ar1 + λ2ar2 +... + λan = 0 |
(2) |
Линейно зависимые вектора обладают двумя свойствами:
ТЕОРЕМА 1 Хотя бы один вектор из совокупности линейно зависимых векторов может быть представлен линейной комбинацией остальных. То есть, если имеется совокупность линейно зависимых векторов αa +α1a1 +α2a2 +... +αnan (*),то
(3) - есть РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА аrпо векторам
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
В (*) переносим все слагаемые кроме первого слева-направо и делим всё на α .
аr = − αα1 аr1 − αα2 аr2 −... − ααn arn
α
Введя обозначение λi = − αi получим (3). Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2. Если в данной совокупности векторов ar1 , ar2 … arn часть этих векторов
линейно зависима, то и вся совокупность векторов линейно зависима. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть известно, что ar1 и ar2 линейно зависимы λ1аr1 + λ2аr2 = 0 , где λ1,λ2 ≠ 0 .
Тогда λ1аr1 +λ2аr2 +0аr3 +... +0аrn = 0
На основании определения 2 можно утверждать что вся совокупность векторовar1 , ar2 … arn линейно зависима.
ТЕОРЕМА 3. (признак линейной зависимости двух векторов).
Для того, чтобы аr и b были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеаны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
|
→ |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
Пусть а |
|
|
|
b |
Тогда по определению 4, §4 а= λ b. |
||
|
|
||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
1 а- λ b=0. следовательно аr и b линейно зависимы. |
|
Опр.3.
Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях наз.
компланарными.
ТЕОРЕМА 4. (о разложении вектора на плоскости).
Если на плоскости даны два неколлинеарных (т.е. линейно независимых) вектора e1 , e2 ,
то любой третий вектора→ , компланарный с ними, можно представить в виде разложения:
а = λ1e1 +λ2e2 |
(4) |
которое является единственным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство проведём с помощью геометрических построений.
Построим параллелограмм с диагональю, совпадающей с вектором а→ и со сторонами,
направленными вдоль векторов e1 и e2 . Согласно правилу параллелограмма данное построение соответствует равенству (4).
а→
λ2е2 |
λ1е1 |
ТЕОРЕМА 5. (условие линейной зависимости трёх векторов). Любые три компланарных вектора всегда линейно зависимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1)Среди тройки компланарных векторов есть два неколлинеарных. По теореме 4 это означает, что третий вектор можно разложить по формуле (4), что в свою очередь, согласно теореме 1 означает, что все 3 вектора линейно зависимы.
2)Среди тройки компланарных векторов есть пара коллинеарных.
Согласно теореме 3 это означает, что эти два вектора линейно зависимы. Тогда по теореме 2 все три вектора линейно зависимы.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 6. (о разложении вектора в пространстве). |
|||||
«Если даны 3 |
некомпланарных (т.е. линейно независимых) вектора еr1,еr2 ,еr3. , то любой |
||||
четвёртый вектор а→ может быть представлен в виде разложения |
|||||
r |
r |
r |
r |
(5), |
которое является единственным. |
а |
= λ1e1 |
+ λ2e2 |
+ λ3е3 |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Проводится с помощью геометрических построений. Построим параллелепипед с рёбрами, направленными вдоль векторов е1,е2 ,е3. и с диагональю, совпадающей с
векторома→ .
Построенный параллелепипед, согласно след. Теор. 1 соответствует равенству (5). Что и требовалось доказать.
→
а
er3
e2
e1
ТЕОРЕМА 7. (признак линейной зависимости четырёх и более векторов). Четыре и более векторов всегда линейно зависимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Возможны два случая.
1)Среди 4-х векторов есть 3 некомпланарных, тогда согласно теореме 6 4-й вектор можно разложить по формуле (5), а это в свою очередь означает, что все 4 вектора линейно зависимы (теорема 1)
2)Среди четырёх векторов есть 3 компланарных, следовательно, по теореме 5 они линейно зависимы. Поэтому и все 4 вектора линейно зависимы. Что и требовалось доказать.
Опр.4.
Совокупность линейно независимых векторов, по которым осуществляется разложение других векторов, называется БАЗИСОМ.
Т.о. из теоремы 4 вытекает, что базисом на плоскости могут быть любые два неколлинеарных вектора. А из теоремы 6 вытекает, что базисом в пространстве могут быть любые три компланарных вектора.
Опр. 5.
Если еr1,еr2 - базис на плоскости и еr1,еr2 ,еr3. - базис в пространстве, то λ1,λ2 ,λ3 в разложениях (4) и (5) называются координатами вектора.
Следствие:
На плоскости в заданном базисе каждому вектору соответствует единственная пара чисел (координат). В пространстве каждому вектору в заданном базисе соответсвует единственная тройка чисел (координат).
§6. Проекция вектора на вектор.
Опр.
ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА ar на вектор b называется скаляр , обозначаемый Прваr и вычисляемый по формуле :