Fizika_Chast_III

30

где ν – частота спектральной линии; R постоянная Ридберга; n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 – главные квантовые числа).

Энергия фотона ε выражается формулой

Подставляя численные данные задачи, получаем

Ответ: при переходе электрона в атоме водорода с четвертой орбиты на вторую испускается фотон с энергией ε = 4,08 10-19 Дж.

Пример 3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1= 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Д а н о:

mо = 9,1 10-31 кг

U1 = 51 В

U2 = 510кВ = 51 104 В h =6,62 10-34 Дж с

Н а й т и:

λ1 ? λ2 ?

Решение. Длина волны да Бройля для частицы зависит от ее импульса и определяется формулой

где mе – масса электрона; h постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек. Связь импульса с кинетической энергией различна для классического (v « c) и релятивистского (v ~ c) случаев.

где Е0 =m0c2 – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется в классическом случае

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего разности потенциалов U1= 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применять для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна

где е заряд электрона.

В первом случае Ек1= eU1 = 1,6 10-19 51= 51 эВ = 0,51 10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0c2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов учтем, что Ек1=10-4 m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), получим

Подставляя численные данные задачи, получаем

Пример 4. Определить порядковый номер и массовое число изотопа, который получается из ядер изотопа протактиния 23391 Pa в результате одного β и двух α распадов.

Решение. Используем при решении задачи законы сохранения массового числа и электрического заряда. При β распаде протактиний превращается в изотоп урана

23391 Pa → 23392 U + 01e ,

который является α радиоактивным изотопом. Испытав α распад изотоп урана превращается в изотоп тория 22990Th , который также является α радиоактивным изотопом

23392 U → 22990Th + 42 Не; 22990Th → 22588 Ra + 42 Не.

Ответ: после одного β и двух α распадов изотоп протактиния 23391 Pa превращается в изотоп радия 22588 Ra .

Пример 5. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния 2712 Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность через t = 6 ч.

Д а н о: m = 0,2 мкг

t= 6 ч = 2,16 104 с

μ=27 10-3 кг/моль NA =6,02 1023 моль-1

Т1/2 = 10 мин = 600 с

Н а й т и: а0 ? а ?

Решение. Активность а радиоактивного препарата определяется числом ядер, распадающихся в единицу времени

a dNdt λN ,

33

где N число нераспавшихся ядер в момент времени t, в который определяется активность а; λ – постоянная радиоактивного распада.

Учитывая, что закон радиоактивного распада в интегральной форме (для больших значений t) имеет вид

N N0e λt ,

где N0 – число ядер в начальный момент (t = 0); е – основание натурального логарифма, то

a λN0e λt .

Откуда следует, что начальная активность (при t = 0) равна

На практике обычно активность измеряют во внесистемных единицах кюри

(1 Ки = 3,7 1010 расп/с).

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада может быть выражена через период полураспада соотношением

λ ln2 0,693.

Т1/2 Т1/2

Для изотопа магния 2712 Mg период полураспада равен Т1/2 =10мин = 600 с.

Следовательно,

λ 0,693600 1,15 10 3 c-1 .

Число радиоактивных атомов N0, содержащихся в массе m препарата равно

N0 mNμ A ,

где NA – число Авогадро, μ – молярная масса изотопа.

Итак, начальную активность a0 можно представить в виде

a0 λN0 λmNμ A .

Делаем проверку единиц измерения:

34

Подставляя численные данные задачи, получаем

Ответ: начальная активность препарата а0 =138 Ки, а через 6 ч составляет а = 25 10-10 Ки.

Пример 6. Вычислить энергетический эффект ядерной реакции 42 He 105B 136 C 11H . Освобождается или поглощается энергия?

Д а н о:

m 42 He 4,00260 а.е.м. m105 B 10,01294 а.е.м.

m11 H 1,00783 а.е.м. m136 С 10,10335 а.е.м.

Н а й т и: Q ?

Решение: Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется

где Σmисх – сумма масс ядер и частиц до реакции; Σmпрод – сумма масс продуктов реакции; с – скорость света в вакууме.

Обычно для расчетов используются внесистемными единицами энергии –

МэВ и массы – а.е.м. Тогда численное значение c2 во внесистемных единицах равно c 2 = 931 МэВ/а.е.м.

При численных подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме

35

зарядовых чисел ядер продуктов реакции (Σzисх = Σzпрод). Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс гелия и бора массы электронов сократятся, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер.

Подставив массы нейтральных атомов в расчетную формулу (2), получим

Q = 931 [(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] =4,06 МэВ.

Так как Q > 0, то реакция идет с выделением энергии.

Ответ: при совершении ядерной реакции выделится 4,06 МэВ энергии.

Таблица вариантов к контрольной работе № 6.

6.01Пользуясь теорией Бора, определить отношение радиусов первой и второй орбит электрона в атоме водорода.

6.02На основе теории Бора определить радиус первой орбиты электрона в однократно ионизованном атоме гелия.

6.03 Рассчитать длину волны излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту в атоме водорода.

6.04Определить энергию электрона, когда он находится на ближайшей к ядру орбите, и скорость движения электрона по этой орбите.

36

6.05 Во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его квантом с энергией 12,09 эВ?

6.06 Вычислить длину волны излучения при переходе электрона в атоме водорода с шестой на третью орбиту.

6.07 Переход электрона в атоме водорода с n й орбиты на первую сопровождается излучением фотона с длиной волны = 102,6 нм. Найти радиус rn n ой орбиты.

6.08Вычислить длину волны излучения при переходе электрона в атоме водорода с шестой на вторую орбиту.

6.09На какой орбите скорость электрона атома водорода равна v = 734 км/с.

6.10Пользуясь теорией Бора, определить для однократно ионизованного атома гелия потенциал ионизации.

6.11Какую наименьшую энергию нужно сообщить электрону, находящемуся на первой орбите в атоме водорода, чтобы электрон удалился в бесконечность?

6.12Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ =121,1 нм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

6.13Найти наибольшую и наименьшую длину волны в видимой области спектра излучения атома водорода.

6.14Определить для однократно ионизованного атома гелия скорость электрона на первой орбите.

6.15Определить частоту света, излучаемого двукратно ионизованным атомом лития при переходе электрона с третьего на второй энергетический уровень.

6.16В телевизионной трубке электроны разгоняются до скорости v=108 м/с. Определить длину волны де Бройля электрона без учета и с учетом зависимости массы от скорости.

6.17Вычислить кинетическую энергию и скорость электрона, если ему соответствует длина волны де Бройля λБ = 10-10 м.

6.18Электрон разогнали в электрическом поле при напряжении U = 30 B. Найти длину волны де Бройля этого электрона.

6.19Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со скоростью v = 0,6 с (с – скорость света в вакууме).

6.20Вычислить длину волны де Бройля для электрона, прошедшего разность потенциалов U = 22,5 B.

6.21Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося на второй боровской орбите в атоме водорода, если радиус этой орбиты

37

равен r2 = 0,212 нм.

6.22Найти длину волны де Бройля, соответствующую электрону с кинетической энергией Ек = 1 кэВ.

6.23Найти длину волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью

v= 0,8 с (с – скорость света в вакууме).

6.24Определить длину волны де Бройля для атомов водорода при температуре Т = 1000 К.

6.25Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

6.26Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля электрона.

6.27Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна λ = 0,1 нм.

6.28Кинетическая энергия протона в четыре раза меньше его энергии покоя. Вычислить длину волны де Бройля для протона. Энергия покоя равна Е0 =1,5 10-10 Дж.

6.29Определить длину волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью v1 = 0,01 с и v2 = 0,08 с (с – скорость света в вакууме).

6.30Вычислить кинетическую энергию и скорость электрона, если ему соответствует длина волны де Бройля λБ = 1,2 10-10 м.

6.31Вычислить энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре лития

73 Li.

6.32Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре кислорода

168 О.

6.33Вычислить энергию связи для ядра трития 31 Н.

6.34Определить дефект массы в (а.е.м.) и энергию связи ядра дейтерия 21 Н.

6.35Вычислить энергию связи, приходящуюся на один нуклон, в ядре бериллия 94 Ве.

6.36 Определить энергию связи ядра изотопа гелия 23 Не.

6.37Вычислить энергию связи ядра изотопа бора 115 B .

6.38Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядрах 73 Li и 168 О.

38

6.43Найти энергию связи ядра кремния 3014 Si .

6.44Вычислить энергию связи ядра изотопа кислорода 178 О.

6.45Вычислить энергию связи, приходящуюся на один нуклон, в ядре изотопа бериллия 74 Ве.

6.46В результате радиоактивного распада торий 23290Th превращается в

изотоп свинца 20882 Pb . Сколько и превращений он при этом испытывает? Написать реакции распада.

6.47В какой элемент превратится радий 22868 Ra после пяти и четырех

распадов? Написать реакции распада.

6.48В какой элемент превращается уран 23892 U после трех и двух превращений? Написать реакции распада.

6.49Радиоактивный изотоп кремния 2714 Si распадается, превращаясь в алюминий 2713 Al . Какая частица при этом выбрасывается? Написать

реакции распада.

6.50Изотоп тория 23290Th в результате радиоактивного распада превращается

превращается в стабильный изотоп висмута 20983 Bi . Найти число и распадов. Написать реакции распадов.

6.53Радиоактивный элемент после ряда превращений потерял одну и две

частицы и превратился изотоп урана 23592 U . Найти исходный радиоактивный элемент.

6.54Ядро изотопа висмута 21183 Bi получилось из другого ядра после одного

иодного распадов. Что это за ядро?

6.55Какое количество и распадов должно произойти, чтобы ядро

изотопа тория 23290Th превратилось в ядро изотопа радия 22488 Ra ?

6.56В какие элементы превращаются 73 Li и 94 Ве после одного и двухпревращений? Написать реакции распада.

6.57В какой элемент превратился висмут 21383 Bi после одного и двух распадов? Написать реакции распада.

6.58Радиоактивное атомное ядро, состоящее из одного протона и двух нейтронов, выбросило частицу. Какое ядро образовалось в результатераспада данного ядра?

39

6.59Ядро плутония 23894 Pu испытало шесть последовательных распадов. Написать цепочку ядерных превращений.

6.60 Ядро азота 147 N захватило частицу и испустило протон. Какое ядро при этом получилось?

6.61Какая доля от первоначального числа атомов радия распадется за 3000 лет? Период полураспада радия 1620 лет.

6.62Образец радиоактивного радона 22286 Rn содержит 1010 радиоактивных

атомов с периодом полураспада 3,825 суток. Сколько атомов распадется за сутки?

6.63За какое время произойдет распад 90% от первоначального состава атомов радона, если постоянная распада λ = 2,097·10-6 с-1?

6.64Имеется 25 106 атомов радия. Со сколькими из них произойдет радиоактивный распад за одни сутки, если период полураспада радия

1620 лет?

6.65Определить период полураспада висмута 21083 Bi , если 1 г висмута

выбрасывает 4,58 1016 частиц за 1 с.

6.66Через сколько времени распадется 80% атомов радиоактивного изотопа

t = 30 суток , если первоначальное его количество m =5 г? Период полураспада этого изотопа Т1/2 = 75 суток.

6.69Сколько распадов за 1 с происходит в радиоактивном препарате тория 23290Th массой m =1 г? Период полураспада тория Т1/2 = 14 млрд. лет.

6.70 Сколько процентов радиоактивных ядер кобальта 2760 Со останется через месяц, если период полураспада изотопа равен Т1/2 = 71 дню?

6.71Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за t = 8 дней. Найти период полураспада.