Лекции по ЧМ и ТВ

следует, что на функциях, подчиненных граничным условиям, P ñà-

мосопряжен, так как внеинтегральный член в этом случае исчезает из последней части тройного равенства.

Для получения оценки (2) внеинтегральный член в средней части равенства при z = y оценим через интегралы.

Отсюда следует, что если q >> 0, òî P положителен, то есть (2). (3)

следует из (1), (4) из (2). Собственная функция, когда собственное число известно, получается решением задачи Коши с одними и теми же (с точностью до множителя) начальными данными на одном из концов. Поэтому для одного собственного числа нельзя получить больше одной функции, что доказывает (6), а при малом шевелении параметра решение изменится мало и не сможет стать ортогональ-

ным исходному, откуда следует (5).

Таким образом, собственные числа образуют возрастающую последовательность 1; 2; : : : . Пока не ясно, пустую, конечную или бесконечную. Им соответствует ортонормированная последовательность собственных функций y1; : : : . Следовательно, любой

интегрируемой функции f соответствует обобщенный ряд Фурье, который следовало бы называть рядом Фурье Лапласа Вейля:

fa1y1 + a2y2 + : : :

10.3Полнота собственных функций в задаче ШтурмаЛиувилля

Предложение 16. Ряд Фурье Лапласа Вейля сходится к функции f в пространстве L2([x1; x2]).

10.3.1Вариационный метод

Этим методом последовательно находятся собственные числа, на- чиная с первого, как минимальные значения функционала (P y; y)

ïðè y2 = 1. Начиная со второго числа, минимизация функционала

происходит в ортогональном дополнении к пространству уже найденных собственных векторов. К такой идее можно прийти, заметив, что неизвестное собственное число можно выразить через неизвестный собственный вектор, умножив скалярно уравнение P y = y íà

y : = (P y; y) ïðè y2 = 1. Вариацией называется дифференциал

в бесконечномерном пространстве, как правило, функциональном. Подобно конечномерному случаю она определяется как линейная часть приращения функционала (оператора). Для наших функционалов вариации вычисляются совсем просто:

(P y; y) = (P [ y]; y) + (P y; y) = 2(P y; y), y2 = 2(y; y)

Для условной (при y2 = 1) экстремальности точки y, êàê è â êî-

нечномерном случае, необходима пропорциональность вариаций, то есть, функционалов (P y; y), è (y; y), иначе говоря, P y = y: Таким

образом, задача на собственные значения P y = y оказалась условием экстремальности функционала (P y; y). Вообще, когда условия

экстремальности функционала выражаются дифференциальным уравнением, это уравнение в вариационном исчислении называется

уравнением Эйлера Лагранжа. В задачах отыскания условного экстремума, собственное число называется множителем

Лагранжа. Проблема состоит в том, чтобы найти точку-функцию, в которой экстремальное значение достигается. В нашей задаче можно обойтись без решения этой проблемы, так как точек, в которых функционал близок к экстремуму оказывается достаточно для решения всех проблем.

10.3.2Доказательство полноты

По-существу, оно представляет собой повторение предыдущего пункта с обходом трудностей, связанных с бесконечномерностью. Допустим, что собственные числа 0 < 1 < < k и ортонор-

мированные собственные векторы y1; : : : ; yk уже найдены. Пусть= inf(P y; y) на сфере y2 = 1 при условии, что (y; yj) = 0, 8j k,

èпусть un последовательность, минимизирующая этот функционал, то есть, n = (P un; un) ! когда n ! 1, u2n = 1, è, разумеется все функции un удовлетворяют граничным условиям

èперпендикулярны всем yj. Предположим, что либо > k è

собственный вектор для этого отсутствует, либо = k. Тогда, согласно альтернативе Фредгольма предложению 14, либо согласно предложению 13, краевая задача с неоднородным уравнением (P )y = f разрешима при всех f, ортогональных функциям

y1; : : : ; yk. И решение y тоже будет им ортогонально в силу предложения 13 и равенств

j(y; yj) = (y; P [yj]) = (P [y]; yj) = (y; yj) = 0 ïðè 6= j. Итак, можно найти решения vn уравнений (P )[vn] = un, îðòî- гональные всем yj и ограниченные (по норме) одной константой. Ясно, что для y перпендикулярного всем yj

ñòâî ((P )y; y) = (P y; y) (y; y) 0. Íî, âçÿâ y = un vn, видим, что, напротив, величина ((P )y; y) =

=((P )un; un) 2 ((P )vn; un) + 2((P )vn; vn) =

=n 2 + 2(un; vn) становится < 0, когда n ! 1, à > 0

èдостаточно мало (поскольку векторы vn ограничены). Это проти- воречие доказывает что очередной собственный вектор существует

èновое обязательно больше k.

Докажем, что ряд Фурье функции f, к которой применим оператор P сходится к ней по евклидовой норме.

Остаток g = f a1 y1 an yn, который надо оценить, ортого- нален функциям y1; : : : ; yn, поэтому согласно определению собственного числа n+1

n+1g2 (P g; g) kP gk kgk

Сократив на kgk è ó÷òÿ, ÷òî kP gk kP fk (по теореме Пифагора), получаем

kgk (1= n+1)kP fk

Так как собственные числа неограниченно растут, остатки неограниченно убывают.

Интегрируемую функцию можно приблизить многочленом, поэтому и ее ряд Фурье будет к ней сходиться, хотя оператор P ê íåé

применить нельзя.

Упражнение 2.

11 Вопросы и задачи с решениями

1.Линейные и нелинейные уравнения первого порядка. (с. 8-11, 11-14)

2.Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. (с. 8-11, 16-20)

3.Эквивалентность систем и уравнений (метод исключения). (с. 8-11, 20-24)

4.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора. (с. 8- 11, 25-29)

5.Метод вариации произвольных постоянных для уравнений и систем. (с. 8-11, 25-28), 30-36)

6.Уравнения Эйлера. Метод подбора. (с. 8-11, 25-30)

7.Линейно зависимые и независимые функции. Определитель Вронского. (с. 8- 11, 30-35)

8.Линейные системы дифференциальных уравнений. Определитель Вронского и вариация постоянных. (с. 8-11, 30-36)

9.Системы с постоянными коэффициентами. (с. 8-11, 25-32)

10.Решение уравнений в степенных рядах. Сходимость. (с. 8-11, 16-20, 68-74)

11.Краевая задача и ее Функция Грина. (с. 8-11, 36-40, 192-199)

12.Задача на собственные значения. Ортогональность собственных функций. (с. 8-11, 36-43, 192-199)

1.Проверить правильность ответа и решить задачу:

интеграл, а вычтя это уравнение из первого уравнения системы получим простое уравнение для x + y: x• + x + y• + y = 0.

II Численные методы

Введение

Алгоритм, программа, точность и погрешность вот слова без которых не обойтись в науке о вычислениях.

Алгоритмы (латинская транслитерация имени среднеазиатского ученого 9 века аль-Хорезми) известны людям с древности, однако в качестве предмета исследования это понятие выступило лишь в 20 веке (Э. Борель, 1912, Г. Вейль, 1921), а его систематическое изуче- ние началось с 1936 года (Черч) и продвинулось усилиями математиков: Клини, Поста, Тьюринга, Маркова, Колмогорова и др.

Алгоритмом называют последовательность предписаний, следуя которой разумное существо может достичь какой-нибудь цели. В математике алгоритм это последовательность действий шагов, каждое из которых есть другой алгоритм, более простой чем определяемый. Исходные данные для очередной операции берутся из результатов предшествующих шагов или задаются как в самом начале. Самые простые алгоритмы это просто математические операции. Это общее понятие алгоритма уточняется и специализируется в определениях: нормального алгоритма, рекурсивной (частично) функции, вычислимой функции и других. При этом детально описываются те элементарные действия, из последовательности которых можно сложить любой алгоритм, включая описание исходных данных для каждого действия и его результата. Например, согласно А. А. Маркову любой алгоритм можно свести к последовательному выполнению всего одной операции подстановки. В исходных данных, которые интерпретируются как последовательность букв, итеративно отыскивается одна из ранее определенных подпоследовательностей букв и заменяется на другую. Работа заканчивается, когда исходные данные превратятся в ответ, то есть, в такую последовательность букв, которая уже не содержит ни одной подпоследовательности, пригодной для замены.

Существенный момент этих определений состоит в том, что алгоритм не всегда заканчивает работу. Для некоторых значений исходных данных (в частности, для всех) выполнение предписанных действий не приводит к результату, либо эти действия вообще не завершаются. Таким образом, каждый алгоритм служит для вычисления значений некоторой функции, область определения которой точно не задана. Доказывается, что область определения такой функции не всегда можно вычислить с помощью алгоритма. Практически это означает, что радикально избежать аварийных остановок программ, зацикливаний или ни к чему не сходящихся вычислений невозможно. Бороться с этими неприятностями приходится индивидуально.

Например, если мы вычисляем значение непрерывной функции в виде суммы ее ряда Фурье, то ряд может расходиться. В этом слу- чае можно применить один из методов ускорения сходимости, например, метод Чезаро, когда вместо частичных сумм ряда берутся их средние арифметические.

Программой часто называют алгоритм, который написан на языке, понятном машине, но ясно, что и любой алгоритм можно назвать программой.

Большая часть математических формул, содержащих алгебраиче- ские действия и символы известных функций, представляют собой алгоритмы, так как, взглянув на такую формулу, сразу можно сказать, каким переменным нужно задать значения и какое действие нужно делать первым, какое вторым, . . . , чтобы вычислить значе- ние величины, которую эта формула определяет.

Погрешность прямо сейчас лучше определить формулами. Предположим, что мы вычисляем значение величины x, которая при-

нимает значения в нормированном пространстве с нормой jjxjj. Пусть вычисленное значение x равно a , а точное a. Тогда вели- ÷èíó 0 = a a называют невязкой, остаточным членом или

j 0j , j 0j также называют абсолютной и относительной

погрешностями. Если x число, относительную погрешность можно

a a

a , кроме того, в этих формулах в знаменатель можно поставить a вместо a , а когда a = 0 èëè a = 0

приходится принимать особое решение о том, с чем соотносить невязку. Погрешностями также называют и формулы для вычисления оценок и . Относительную погрешность можно измерять

в процентах. Имеются и другие модификацииэтих понятий: вместо нормы можно использовать метрику, можно погрешность измерять количеством точных цифр в ее мантиссе.

1Вычисление определенных интегралов

Квадратурной формулой для вычисления определенного интеграла

b

Z

I = f(x) dx

a

называется выражение

Формулы прямоугольников и трапеций точны на многочленах первой степени, а формула Симпсона на многочленах третьей степени. Проверим это для формулы Симпсона и монома 4x3:

2h

= 128=2381 = 0:054 = 5:4%

Чтобы найти точные погрешности 0, 0 надо знать точное значение интеграла.

Замечание. Оценки погрешностей учитывают только неточности квадратур и не учитывают неточности арифметических операций, которые могут быть существенны при мелких шагах разбиения отрезка.

2Интерполяция и аппроксимация функций

Слова интерполяция, экстраполяция и аппроксимация происходят, соответственно, от латинских слов: inter внутри, extra снаружи, polir сглаживать, approximare приближаться. В соответствии с этим интерполяция означает, что по заданному набору

значений y1; : : : ; yn дискретной (или сеточной) функции в точках

x1; : : : ; xn требуется найти гладкую функцию, принимающую в заданных точках заданные значения. Если искомая функция определена за границами области определения заданной функции, то говорят о продолжении или экстраполяции заданной функции. Аппроксимацией функции называется функция, близкая в какомнибудь смысле к заданной. Этими же словами называются не только функции, но и процедуры их построения. Интерполяция, экстраполяция и аппроксимация могут разнообразно сочетаться, например, исполняться одновременно. Будут рассмотрены три процедуры: построение многочленов Лагранжа и Ньютона и сплайнов, каждая из них решает все три проблемы.

2.1Многочлен Лагранжа

Базисные многочлены Лагранжа, числом n штук задаются формулой:

Очевидно, Pk(xj) = kj, ãäå kj символ Кронекера, иначе сказать,

каждый базисный многочлен равен 1 в одной из точек (xj) и нулю во всех остальных.

Задача 1. Доказать, что базисные многочлены Лагранжа в самом деле образуют базис в линейном пространстве многочленов степени n 1.

Интерполяционным многочленом Лагранжа называется величи- на: n

P

P = P (x) = PLag(x) = yjPj(x)

j=1

P (xj) = yj, и что многочлен Лагранжа сеточную функцию не только интерполирует, но и экстраполирует.

Если же функция f(x) задана не только в точках (xj), то он будет ее аппроксимировать и, возможно, еще и интерполировать, и экстраполировать. В этом случае можно оценить погрешность приближения функции многочленом и выразить остаточный член.

Предложение 17 Пусть a и b минимум и максимум из точек x1; : : : ; xn; x. Предположим, что f имеет n производных на отрезке [a; b]. Тогда существует число = (x) на отрезке [a; b] со свойством:

Q

g(y) = f(y) P (y) A (y xj)

j=1

переменной y обращается на отрезке [a; b] â íóëü n + 1 раз: в точках

x1; : : : ; xn; x. Следовательно, ее производная имеет на этом отрезке не менее n нулей, а n-ная производная по крайнее мере один нуль,

y = (x):

0 = g(n)( ) = f(n)( ) An!