Лекции по ЧМ и ТВ

несколько простых свойств решений таких систем и уравнений. Нормальная форма линейной системы имеет вид:

Здесь y = (yj) = (y1; : : : ; yn) è f = (fj) = (f1; : : : ; fn) n-векторы,

A = (aij) n n-матрица. Если потребуется нумеровать векторы

или матрицы, будем их номера, чтобы не путать с номерами координат, брать в скобки в индексе. Например, y2(6) обозначает вторую

координату шестого вектора решений y(6).

Если правая часть f = 0, то система называется однородной. Ñî-

гласно предложению 1 общее решение можно искать в виде: y = y0 + z;

ãäå y0 какое-нибудь частное решение и z общее решение однородной системы. Решения однородной системы остаются решениями, если их складывать между собой и умножать на числа, иными словами, они образуют линейное пространство.

Предложение 6. Пусть A непрерывна на интервале (a; b), концы

которого могут уходить в бесконечность, тогда

1. Векторное пространство решений системы z0 = A z n-мерно.

2. Любое решение, как однородной, так и неоднородной системы, определенное в окрестности некоторой точки x0; продолжается на весь интервал.

3. Решения z(1); : : : ; z(k), линейно независимые в некоторой точ- ке, линейно независимы всюду.

Докажем сначала 2. По теореме Коши 5.1 в окрестности любой точ- ки x0 существует частное решение неоднородной системы y0 и базис

из решений однородной системы z(1); : : : ; z(n), который порождается базисом данных Коши, например, таким:

z(1)(x0) = (1; 0; : : : ; 0); : : : ; z(n)(x0) = (0; : : : ; 0; 1)

Любое решение y(1), близко подходящее к точке x0 можно разложить по этим решениямP в окрестности точки их совместного существова-

íèÿ: y(1) = y0+ aj z(j). Это разложение определит продолжение ре- шения y(1) в двустороннюю окрестность точки x0. Следовательно, ни

одна точка интервала не ограничивает области существования реше- íèÿ y(1) и, значит, оно продолжается на весь интервал. В частности на всем интервале определены решения однородного уравнения.

Докажем 3. Если эти решения линейно зависимы в точке x1: b1z(1)(x1) + + bnz(n)(x1) = 0, то решение однородного уравнения

z0 = b1z(1)(x)+ +bnz(n)(x)

Следовательно, z0(x) 0. Поэтому решения точке, линейно зависимы всюду.

Докажем 1. По доказанному в 2. и 3. между решениями однородной системы на интервале и значениями их в любой точке интервала имеется линейное взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм).

Так как пространство значений в точке n-мерно, то и пространство

называется фундаментальной системой решений, а матрица-функ- ция составленная из этих векторов-столбцов Z = (zi(j)) фунда-

Матрица Z; очевидно, удовлетворяет матричному уравнению

Z0 = AZ

И любое фундаментальное решение имеет вид U = ZD, где D невырожденная постоянная матрица.

8.1Метод вариации постоянных

Çíàÿ z, найдем y0 â âèäå: y0 = Z u; u = (u1; : : : ; un)T После подстановки y0 в (I.25) получим:

Z

Z0u + Zu0 AZu = Zu0 = f è u = Z 1f dx.

Если этот интеграл как-нибудь определить, общее решение уравнения (I.25) запишется в виде y = Z u + ZC.

8.2Определитель Вронского.

Теорема Абеля Лиувилля Якоби Остроградского

Определителем Вронского системы называется

W = det Z

Согласно теореме об умножении определителей он определен с точ- ностью до постоянного множителя. Теорема звучит так:

Предложение 7.

ãäå trA = a11 + + ann след матрицы A:

Так как отношение W 0W 1 не зависит от выбора фундаментального решения Z, то можно считать, что в произвольно выбранной точке x1 Z(x1) = 1M . Следовательно,

Z = 1M + A(x1)(x x1) + o(x x1),

1) Если функции f1; : : : ; fn линейно зависимы в области, то там

W (f1; : : : ; fn) 0

2) Обратно, если Wn = W (f1; : : : ; fn) 6= 0 ни в одной точке ин-

тервала и Wn+1 = W (f1; : : : ; fn+1) 0; òî f1; : : : ; fn+1 линейно за- висимы, точнее fn+1 = c1f1 + + cnfn; с постоянными ci:

Разложение определителя Вронского по последнему столбцу дает для fn+1 уравнение порядка n:

Wn+1 = Wnfn(n+1) + = 0:

Оно уже имеет n линейно независимых решений f1; : : : ; fn; поэтому

fn+1 разлагается по ним. Это доказывает 2), а 1) непосредственно следует из свойств определителей.

9.1.1Составление уравнений

Свойства вронскиана позволяют для заданного набора функций f1; : : : ; fn

водной уравнение, которому они удовлетворяют:

На любом интервале, где Wn 6= 0; эти функции составляют базис решений уравнения.

Аналогичным образом для заданной матрицы F = (fij) строится

9.2Вариация постоянных для уравнения

Из предложения 9 вытекает, что метод вариации постоянных (I.19), (I.20) без изменений переносится на случай уравнений с переменными коэффициентами. Но теперь эту процедуру можно получить прямо из алгоритма вариации постоянных для систем (пункт 8.1):

y0(i 1) = Pukzk(i 1); i = 1; : : : ; n

k

kW k u0 = (0; : : : ; f)T ;

ãäå kW k матрица определителя Вронского. Отсюда ui находятся обращением матрицы и интегрированием.

10 Краевые задачи

Материал этого раздела дает пример применения развитой ранее теории и сам служит средством исследования задач на собственные значения.

Краевые задачи состоят из дифференциального уравнения и граничных условий, которым должна удовлетворять неизвестная функция, определенная на необязательно конечном отрезке. Обычно от функции требуют, чтобы она удовлетворяла уравнению лишь внутри промежутка, но не вплоть до границы. Если в граничные условия входят значения производных на концах отрезка, то под этими зна- чениями понимаются пределы этих значений изнутри.

Под это определение подходит и задача Коши, однако ее называют не краевой, а задачей с начальными данными.

Вот пример линейной краевой задачи весьма общего вида:

Граничные условия, уравнение или задача в целом называются однородными èëè неоднородными в зависимости от равенства или не равенства нулю правых частей.

Подходы к решению

Можно найти общее решение уравнения и, подставив его в гранич- ные условия, найти значения произвольных постоянных.

Методом суперпозиции называют алгоритм, в котором решение складывается из частей, каждая из которых решает модифицированную задачу. Например, можно найти частное решение уравнения y0 и заменой y = y0 + z свести исходную задачу к задаче для однородного уравнения.

Значительно проще сделать однородными условия на границе. Нужно найти какую-нибудь функцию y1, удовлетворяющую неодно-

y = y1 + u функция u будет подчиняться однородным краевым условиям. Первому из граничных

условий (I.28) удовлетворяет функция y2 = a + bx при подходящих

a è b, а обоим условиям y1 = y2 + c(x x1)k ïðè k = 2 èëè 3 и подходящем c.

Далее граничные условия будут считаться однородными.

10.1Представление решения с помощью функции Грина

Предполагается что нам известны независимые решения однородно- го уравнения z1;2. Основание для такого предположения предло-

жение 9. Если решить уравнение из задачи (I.28) методом вариации постоянных, то получится представление частного решения в ви-

де интегрального оператора от правой части с ядром k(x; t). Äëÿ

удобства в дальнейшем запишем этот интеграл в виде, симметрично зависящем от концов отрезка:

y = y0 + z; z = C1 z1 + C2 z2

Выразим ядро k через решения однородного уравнения, подставив

y0 в уравнение. Находим производные:

x2

Z

y00 = 2k(x; x) f(x) + kx0 (x; t) sgn(x t) f(t) dt

x1

x2

Z

y000 =(2k(x; x)f(x))0+2kx0 (x; x)f(x)+ kxx00 (x; t) sgn(x t)f(t) dt

x1

Чтобы в результате подстановки этих выражений в уравнение оно стало тождеством, нужно положить

k(x; x) = 0

2kx0 (x; x) = 1

kxx00 (x; t) + q(x)k(x; t) = 0;

откуда следует, что k можно записать в виде:

Так как по теореме Абеля Лиувилля Якоби Остроградского W = const, положим W = 1=2, заменив для этого одну из функ-

öèé z1;2 на пропорциональную. В результате получим:

x1

Теперь нужно выбрать константы C1;2, чтобы учесть граничные условия; подставим в эти условия y:

x2

Qj[y]=Z Qj[z1]Qj[z2] sgn(x t)f(t) dt+c1Qj[z1]+c2Qj[z2]=0

z1(t) z2(t)

x1

Теперь приходится рассмотреть два случая.

A) Ни одно из решений однородного уравнения не подчиняется обоим граничным условиям одновременно. Тогда z1;2 можно выбрать

такими, чтобы Q1[z1] 6= 0, Q1[z2] = 0, Q2[z2] 6= 0, Q2[z1] = 0. Из условий Q1;2[y] = 0 получаем:

x2

Z

y = K(x; t)f(t) dt; K(x; t)=K0(x; t)+z1(x)z2(t)+z2(x)z1(t)

x1

Б) Одно из решений однородного уравнения, скажем z1 удовлетворя- ет граничным условиям Q1;2[z1] = 0. Тогда, из-за линейной независи- мости этих решений, z2 не удовлетворяет ни одному из них. Теперь из условий Q1;2[y] = 0 получаем:

Следовательно, и интеграл и C2 равны нулю. Таким образом, краевая задача имеет решение

На языке функционального анализа последнее условие означает, что f ортогональна z1. Теперь для красоты можно z1

y0 сделать тоже ортогональным

C0z1. В итоге получим:

Подытожим:

Предложение 13 Если однородная краевая задача имеет ненуле- вое решение z1, то отвечающая ей задача с неоднородным уравнением однозначно и непрерывно разрешима в ортогональном дополнении к z1.

Иначе говоря, если правая часть f ортогональна z1, то существует единственное, непрерывно зависящее от f, решение y0, ортогональ-

íîå z1. ßäðî K называется функцией Грина или фундаментальным решением краевой задачи.

Замечания.

1. Из этих рассуждений следует альтернатива Фредгольма:

Предложение 14 Либо краевая задача однозначно и непрерывно разрешима, либо отвечающая ей однородная краевая задача имеет ненулевое решение.

2.Интегральный оператор часто обозначают той же буквой что и функцию K(x; t), называемую его ядром.

3.Решение задачи Коши может быть представлено в таком же виде y = K1[f];

матрица системы для определения констант будет в этом случае матрицей Вронского, так что проблемы с определителем не возникает, как мы видели на примере простейшего уравнения (I.2), (I.3).

10.1.1Свойства ядра K

1) Ïðè t 6= x ядро, как функция от x, удовлетворяет уравнению

P [K(x; t)] = 0: На диагонали x = t первая производная ядра имеет

скачок: Kx0 (t + 0; t) Kx0 (t 0; t) = 1, поэтому ядро второй производной по x не имеет. Это не мешает интегралу K[f] быть гладкой

функцией, в чем можно убедиться, представляя его в виде суммы

x x1

ZZ

интегралов: + : : : :

x1 x

2) Ядро, как функция от x, удовлетворяет граничным условиям

Qi[K(x; t)] = 0;

40 Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

так как при произвольной f решение уравнения им подчиняется:

x1

3)Ядро симметрично: K(t; x) = K(x; t): Это ясно из формул.

4)На непрерывных функциях оператор K обращает P справа:

P [K[f]] = f. Если краевая задача разрешима однозначно, то на

функциях, дважды дифференцируемых и подчиненных граничным условиям, оператор K обращает P еще и слева: K[P [y]] = y: Åñëè

íåò, òî KP = 1 в ортогональном дополнении к решению однородной задачи. Действительно, применив к P [y] = f оператор K, получим искомое. Пример уже был: (I.4).

10.2Задача Штурма Лиувилля

Не будет большим преувеличением сказать, что все где-либо использующиеся в математике ортогональные системы функций состоят из решений каких-то задач Штурма Лиувилля. Нередко собственные функции задачи Штурма-Лиувилля образуют полную ортогональную систему функций, пригодную для разложения по ней решений уравнений математической физики. Ядра интегралов Фурье и Лапласа это тоже решения этих задач.

Рассмотрим методы их исследования на примере довольно общей краевой задачи на собственные значения для оператора второго порядка:

Найти требуется, естественно, только ненулевые собственные функции y(x; ) вместе с их собственными числами .

Воспользовавшись терминологией и результатами раздела 4 главы VII, установим ряд простых, но существенных и при первом знакомстве удивительных свойств задачи Штурма Лиувилля.

Предложение 15.

(1)Оператор P самосопряжен на функциях, подчиненных граничным условиям;

(2)он ограничен слева на этих функциях;

(3)собственные числа P вещественны;

(4)ограничены слева;

(5)не имеют предельных точек;

(6)и однократны.