Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по ЧМ и ТВ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

1 / 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образованияМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ МАМИ

А. Н. Кузнецов

МАТЕМАТИКА

Конспект лекций для второго курса с приложением необходимых сведений.

Одобрено методической комиссией по естественно-научным и математическим дисциплинам

МОСКВА

2012

ÓÄÊ 417, 517.5, 517.9, 519.2, 519.6 ÁÁÊ 22.16, 22.17, 22.193

Разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом ВПО 2000 г. для всех специальностей на основе

примерной программы дисциплины Математика

Рецензент:

Работа подготовлена на кафедре Прикладная и вычислительная

математика имени Э. И. Григолюка

Математика. Конспект лекций для второго курса с приложением необходимых сведений: учебное пособие = Кузнецов А. Н. М: МГТУ

ÌÀÌÈ , 2012. 217 ñ.

Настоящее пособие имеет целью облегчить студентам знакомство с разделами математики, содержание которых соответствует утвержденным программам

курсов для специальностей МГТУ МАМИ .

ÓÄÊ 417, 517.5, 517.9, 519.2, 519.6 ÁÁÊ 22.16, 22.17, 22.193

©Кузнецов А. Н. ©ÌÃÒÓ ÌÀÌÈ , 2012

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			6
I Обыкновенные дифференциальные уравнения			8
1	Примеры дифференциальных уравнений и их решений . . . . . . .		8
2	Уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		11
	2.1	Уравнение c разделяющимися переменными . . . . . . . . .	11
	2.2	Однородное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
	2.3	Линейное уравнение первого порядка . . . . . . . . . . . . .	12
	2.4	Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
	2.5	Уравнение в полных дифференциалах. Метод первого инте-
		грала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
3	Общие определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		14
4	Геометрический смысл уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
5	Теоремы существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		16
	5.1	Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
	5.2	Теорема Коши для уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
	5.3	Теорема Коши в аналитическом случае . . . . . . . . . . . .	20
6	Преобразования уравнений и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . .		20
	6.1	Приведение к нормальной форме . . . . . . . . . . . . . . . .	20
	6.2	Операторная форма записи линейных уравнений и систем .	21
	6.3	Сведение нормальной системы к одному уравнению.
		Метод исключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
	6.4	Несколько способов понижения порядка уравнения . . . . .	24
7	Уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . .		25
	7.1	Алгоритм решения уравнения с постоянными коэффициен-
		òàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
	7.2	Метод исключения для систем с постоянными коэффициен-
		òàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
	7.3	Матричная экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
	7.4	Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
8	Линейные системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		30
	8.1	Метод вариации постоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
	8.2	Определитель Вронского.
		Теорема Абеля Лиувилля Якоби Остроградского . .	32
9	Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		33
	9.1	Свойства Вронскиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
	9.2	Вариация постоянных для уравнения . . . . . . . . . . . . .	35
10 Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			36
	10.1	Представление решения с помощью функции Грина . . . . .	37
	10.2	Задача Штурма Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
	10.3 Полнота собственных функций в задаче Штурма-Лиувилля		42
11 Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			44
II Численные методы			46
1	Вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . .		47
2	Интерполяция и аппроксимация функций . . . . . . . . . . . . . . .		49
	2.1	Многочлен Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50
	2.2	Разделенные разности и многочлен Ньютона . . . . . . . . .	52
	2.3	Сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	56
	2.4	Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . .	57
3	Метод Рунге оценки погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		58
4	Линейные системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		58

4			Оглавление
	4.1	Нелинейные уравнения и системы . . . . . . . . . . . . . . .		61
5	Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . .			62
	5.1	Метод ломаных Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		63
	5.2	Методы Рунге Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		64
6	Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			67
III Функции комплексного переменного				68
1	Комплексные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			68
2	Голоморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			68
3	Несколько свойств аналитических функций . . . . . . . . . . . . . .			71
4	Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			74
	4.1	Графики элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . .		75
5	Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			76
IV Ряды и интегралы Фурье Лапласа				77
1	Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			77
2	Сходимость рядов Фурье в точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			78
3	Интегралы Фурье Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			83
4	Операционное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			87
	4.1	Операционное исчисление и уравнения с частными произ-
		водными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		90
5	Уравнения математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . .			90
	5.1	Основные уравнения математической физики . . . . . . . . .		91
	5.2	Задачи для основных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .		91
	5.3	Физический смысл основных задач . . . . . . . . . . . . . . .		92
	5.4	Методы исследования основных задач . . . . . . . . . . . . .		93
	5.5	Разделение переменных (метод Фурье)
		в классических задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		93
	5.6	Решение Даламбера задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . .		95
6	Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			96
V Теория вероятностей				98
1	Предметная область и ее математическая интерпретация . . . . . .			98
2	Определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			99
	2.1	Примеры вероятностных пространств . . . . . . . . . . . . . 100
3	Вероятность и частота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4	События и высказывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5	Простейшие алгебраические следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6	Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7	Преобразования плотности распределения . . . . . . . . . . . . . . . 111
8	Независимые случайные величины.		. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9	Биномиальное распределение.
	Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10	Числовые характеристики случайной величины. . . . . . . . . . . . 114
	10.1	Математическое ожидание.	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
	10.2	Дисперсия и среднее квадратическое отклонение . . . . . . . 115
	10.3	Моменты высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11	Условное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12 Неравенство Чебышева и законы
	больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13 Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14 Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15 Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
	15.1	Теорема Муавра Лапласа	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Оглавление					5
	15.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16 Случайные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
	16.1 Спектральный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
	16.2	Марковский процесс		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
17 Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
VI Математическая статистика					146
1	Задачи математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2	Эмпирические данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
	2.1	Статистическая обработка эмпирических данных . . . . . . . 150
	2.2	Оценки параметров нормального распределения . . . . . . . 153
	2.3	Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . 155
3	Статистическая проверка статистических гипотез				. . . . . . . . . . 156
	3.1	Самый мощный критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
	3.2	Критерий согласия 2 Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
	3.3	Критерий согласия Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4	Уравнение регрессии и корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
	4.1	Статистическая связь выборочных данных			. . . . . . . . . . 161
5	Вопросы и задачи с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VII Необходимые сведения					164
1	Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				. . . . . . . . . . . 164
2	Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				. . . . . . . . . . . 167
	2.1	Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
	2.2	Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
	2.3	Комплексные числа		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
	2.4	Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3	Анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
	3.1	Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
	3.2	Дифференциальное и интегральное исчисление . . . . . . . . 184
4	Функциональный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
	4.1	Нормированные векторные пространства			. . . . . . . . . . . 192
	4.2	Операторы	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
	4.3	Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . 197
5	Теория Меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
	5.1	Ìåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
	5.2	Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . . 202
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Предметный указатель			. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Предисловие

Цель настоящего конспекта дать систематическое изложение той части науки, которая охватывает программы ряда специальностей технических вузов. Автор счел за благо изложить эту часть, глядя на нее с более новой точки зрения, по сравнению с имеющимися пособиями. Дело в том, что смотреть на математический мир с довоенной, а то и с дореволюционной точки зрения трудно и самому лектору, а еще труднее внушать слушателям то, что в настоящее время может быть понято лишь совершенно иначе. Привлекая новшества, автор старался придерживаться принципа: включать только те элементы, которые, во-первых, естественно укладываются в рамки программы, во-вторых, облегчают понимание предмета. Когда приходится выбирать между элементарным и прямым рассуждением, приоритет получает прямое, поскольку из дебрей элементарщины совершенно не просматриваются те трудности, ради обхода которых приходится блуждать, и которые последовательно вскрываются на прямом пути. Иллюстрации к этому принципу можно найти в доказательствах формулы (I.3), теорем: 4, 28, 49, 50 и др. Автор полагает, что доказательства должны обязательно сопровождать математиче- ские утверждения, поэтому были приложены усилия для доведения их до такого состояния, чтобы лектор, глядя на доказательство, смог лучше сориентироваться в вопросе о том, в каком виде данный результат может быть предложен ожидаемой аудитории.

Основу курса составляют первые шесть глав, которые читаются на втором курсе, а в главе "Необходимые сведения" собран материал, который подключается к основе по мере надобности. Там также собраны использующиеся части программы первого курса.

Автор хотел каждый раздел текста начать внятной формулировкой задачи, ради решения которой он написан (когда заголовок этот вопрос не исчерпывает), а после изложения результата, если чувствуется в этом потребность, привести пример или упражнение, которые служат для лучшего его уяснения. Упражнения не содержат решений, поэтому они более доступны только студентам, посещающим лекции. Задачи и замечания предназначены споспешествовать расширению кругозора, вопросы и задачи с решениями для подготовки к экзамену. Историко-философские замечания фрагментарны, их задача заинтересовать, удивить и привлечь внимание скорее к проблемным, чем к бесспорным моментам становления теории, а также указать ориентиры имена, которые могут помочь самостоятельному изучению подробностей необъятной истории нашей науки. Первые три источника списка литературы рекомендует автор; следующие три пособия рекомендует Министерство образования РФ, они дают образцы альтернативного

ПРЕДИСЛОВИЕ

авторскому изложения предмета; последние четыре кажутся лучше других и все еще доступны студентам нематематических специальностей. Все это можно "скачать". Замечания и пожелания автору можно направлять по адресу valentinvnk@yahoo.com.

IОбыкновенные дифференциальные уравнения

1Примеры дифференциальных уравнений и их решений

Этот раздел упрощенная копия всей главы, содержание которой здесь дается в примерах, освобожденных от общности и, насколько возможно, от сложности. Какие задачи ставятся, как они решаются и в каких терминах обсуждаются вот что можно здесь узнать.

Простейшее уравнение
y(n) = f(x)		(I.1)
Ïðè n = 1 оно решается просто:
y = Z	x
y = Z	f(t) dt + C,

если, конечно, f непрерывна.

С ростом n задача не усложняется, нужно последовательно взять n интегралов. Но оказывается, можно обойтись и одним:

y = Z	x
	(x t)n 1		(I.2)
		f(t) dt + C0 + + Cn 1(x x0)n 1
	(n 1)!	f(t) dt + C0 + + Cn 1(x x0)n 1
x0

Формула легко проверяется, ее дифференцирование уменьшает в ней n íà 1.

Результат получен, обсудим его. Попутно введем несколько терминов нашей науки, их смысл будет ясен из контекста, и сформулируем ряд результатов, которые будут справедливы и в общем случае.

Из полученной формулы видно, что общее решение y дифференциального уравнения порядка n зависит не только от независимой

переменной, но еще от n произвольных постоянных.

Общим решением любого уравнения называют решение, которое зависит от не входящих в условие задачи параметров, при каждом значении которых оно превращается в одно из решений, которое называют также частным решением.

Ясно, что уравнение (I.1) линейно по y. Следующий совсем про-

стой и полезный результат справедлив вообще для любых линейных уравнений, не только дифференциальных.

Предложение 1. Пусть y0 частное решение, y общее решение линейного уравнения L[y] = f. Тогда

y = y0 + z; L[z] = 0

1. ПРИМЕРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЙ

Иначе говоря, общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из его частного решения и общего решения однородного уравнения.

нению.	y y0 удовлетворяет однородному урав-
В силу линейности разность

Ясно, что для уравнения (I.1) y0 совпадает с интегралом в (I.2), а z(x) это произвольный многочлен степени n 1.

Множество решений линейного однородного уравнения порядка n образует n-мерное векторное пространство.

Любое частное решение уравнения (I.1) может быть получено из общего заданием подходящих значений постоянным.

Можно произвольные постоянные выразить через производные y

в точке x0: Cj = y(j)(x0). Значения этих производных функции y

в точке, когда они заданы в условии задачи, называются данными Коши (барон Augustin Lui Cauchy, 1789-1857), а дифференциальное уравнение вместе с этими данными задачей Коши или задачей с начальными данными, которая, как мы видим имеет единственное решение.

Неожиданно тривиальным следствием формулы (I.2) оказывается формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

(подставим Cj è f = y(n) â (I.2)):

y(x) = y(x0) + y0(x0)	(x x0)1	+ : : : + y(n 1)(x0)		(x x0)n 1		+
	1!				(n 1)!

		+ Z	x
			(x t)n 1
					y(n)(t) dt (I.3)
			(n 1)!
		x0

Краевая задача

Пусть задача состоит из уравнения второго порядка и двух гранич- ных условий в концах отрезка, на котором ищется решение, a

числовой параметр.

y00 = 2a; x 2 (0; 1)
2 y0(0) + y(0) = 0	(I.4)
y0(1) + y(1) = 0

Так как решение дифференциального уравнения зависит от двух констант, то следует ожидать единственного решения. Подставив это решение y = ax2 + C1x + C2 в граничные условия, найдем, что

10 Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2C1 + C2 = 0 è 3a+2C1+C2 = 0, откуда следует, что если a 6= 0, òî ðå-

шения нет, а если a = 0, то решений бесконечно много: y = C1(x 2). Мораль краевые задачи не похожи на задачу Коши.

Задача на собственные значения

Чтобы решить более сложное уравнение задачи Штурма Лиувилля:

y00 + 2y = 0; x 2 ( ; ) y( ) = y( ); y0( ) = y0( )

нужно вспомнить, что sin00(x) = sin(x) è cos00(x) = cos(x), поэто-

му решениями уравнения будут sin( x) è cos( x). Ввиду однородно-

сти задачи общее решение определим с точностью до постоянного ненулевого множителя; его можно взять равным y = sin( x+C). Òî-

гда краевые условия дают уравнения sin( + C) = sin( + C),cos( + C) = cos( + C), откуда находим собственные

значения n = n, è собственные функции задачи y1n = sin(nx), n = 1; 2; : : : , y2n = cos(nx), n = 0; 1; 2; : : : . Таким образом, каждому

2 оператора

ненулевому собственному числу n

= n

dx2 отвеча-

ют две собственные функции, подчиняющиеся граничным условиям.

Положительных собственных чисел у этого оператора нет. Чтобы

в этом убедиться нужно проверить, что ненулевые функции ви-

äà y = C1 e x + C2 e x

не могут удовлетворять данным краевым

условиям.

Особые решения

Рассмотрим пример (Д. Ф. Егоров, 1910):

y = xy0 + y02

Переписав его в виде

y + x2=4

(y0 + x=2)2, сделаем замену

z = y + x2=4 и придем к z0 =

. Поделив это уравнение на

pz, получим 2pz 0 =

x + 2C)=2, y =

Cx + C

1, pz = (

общее решение? Не совсем. Поделив на pz, мы потеряли решение

z = 0 èëè y = x2=4, которое не получается из "общего" решения

ни при каком C. Такие решения называются особыми. Их появле-

ние связано с негладкой разрешимостью уравнения относительно производной искомой переменной.

Системы уравнений

Система

y0 = z

z0 + 2y0 3y + 4z = 5

1 / 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2016113.32 Кб53Лекции Инвестиции (Лизинг, ...).docx
#
05.06.20151.02 Mб156Лекции контроллинг. Кравец Е.В.doc
#
03.08.20191.7 Mб8лекции по станкам.doc
#
29.08.2019251.08 Кб13Лекции по ТРП (с Вопросами).docx
#
11.09.2019216.58 Кб1ЛЕКЦИИ по физре.doc
#
05.06.20151.34 Mб12Лекции по ЧМ и ТВ.pdf
#
01.05.2019943.09 Кб10Лекции ФОПИ.docx
#
30.07.2019130.17 Кб2Лекции Экология.docx
#
05.06.2015731.14 Кб13Лекции1часть1.doc
#
05.06.20151.73 Mб8Лекции1часть2.doc
#
05.06.20151.21 Mб11Лекции1часть4.doc