Лекции по ЧМ и ТВ

6) Интегрирование по частям.

a

Интеграл называется несобственным, когда отрезок интегрирования либо неограничен с одной или с обеих сторон, либо содержит конечное число точек, в сколь угодно малых окрестностях которых функция неинтегрируема. В этом случае интеграл полагается равным пределу, когда он существует, собственных интегралов, которые берутся по ограниченным отрезкам, из которых удалены окрестности особых точек. Предел ищется, когда эти окрестности уменьшаются, а границы ограниченных отрезков расширяются (в рамках исходного отрезка интегрирования).

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, åñëè jfj интегрируем (тоже несобственно).

за исключением первой главы, где так же обозначается неопределенный интеграл или первообразная.

Предложение 67. Свойства несобственных интегралов.

1) Ступенчатые функции с компакными носителями плотны в пространстве интегрируемых (возможно, несобственно или неаб-

солютно) функций. Иначе говоря, если функция f интегрируема, то 8" > 0 можно найти ступенчатую на некотором отрезке функцию g, равную нулю вне его, такую что

Z

jf(x) g(x)j d x < "

ZZ

2) f(x) d x jf(x)j d x

4Функциональный анализ

Задача этой математической теории распространить средства обращения с конечномерными величинами на величины бесконечномерные. Процедура распространения нередко выливается в развитие раздела теории. Поскольку прилагается эта теория исключительно к пространствам каких-нибудь функций, она и называется так, как называется.

4.1Нормированные векторные пространства

Система понятий, обслуживающих сходимость (иначе сказать топология) в линейном пространстве может быть задана системой полунорм.

Полунормой на линейном пространстве функция kxk со следующими свойствами

1)kxk 0 (неотрицательность)

2)kx+yk kxk+kyk (неравенство треугольника или выпуклости)

3)ka xk = jaj kxk; a 2 C (однородность)

Иначе говоря, на любом двумерном подпространстве в X полунор-

ма это обычная длина вектора, только ненулевой вектор может иметь нулевую длину. Векторное пространство снабженное системой полунорм называют полунормированным èëè топологическим.

Åñëè

4) kxk = 0 () x = 0;

то полунорма называется нормой. Пространство с одной нормой называется нормированным.

Пространство называется отделимым, если все полунормы вектора равны нулю только у нулевого вектора.

Пусть N некоторое множество полунорм на X. Окрестности

íóëÿ, а вместе с ними и топология íà X строятся из множеств вида

U = fx j kxk < ag, ãäå a > 0, k k полунорма из N, их пересечения

в конечном числе и любые множества, содержащие какую-нибудь окрестность, тоже будут окрестностями нуля. Окрестность точки x получается сдвигом окрестности нуля в эту точку.

Норма определяет расстояние от точки до нуля, и, с помощью сдвига, расстояние â X èëè метрику: kx yk. Это расстояние,

конечно же, останется нормой. Если топология задана счетным набором полунорм k kn, то ее можно задать также расстоянием:

ции должны быть интегрируемыми в квадратах (такова терминология). Эта

Z

полунорма порождается скалярным произведением: (f; g) = Re f g du,

p

kfk = (f; f). Черта означает комплексное сопряжение. 2.5. Слабая сходимость задается системой полунорм:

Z

kfk = f(u) (u) du ,

занумерованных бесконечно дифференцируемыми функциями (x) с компактными носителями.

3. Сходимость по мере. Располагая интегралом, меру множества A можно

Z

определить формулой (A) = IA(x) dx, в которой IA индикатор множества A. Последовательность функций fn(x) сходится по мере к функции f(x), если

Множитель (1 + x2) 1

эту сходимость нельзя задать системой полунорм.

Упражнение 23. Доказать, что все полунормы и расстояния в примерах удовлетворяют неравенству треугольника.

Понятие ряда по существу совпадает с понятием последовательности. Рядом называется выражение, формально обозначающее сумму

бесконечногооднако, никакогочисласложенияслагаемыхне предполагаетсяиз одного линейного.Например,пространства,P

j 1 aj è

b1 + b2 + : : : ðÿäû. Частичными или конечными суммами ðÿäà

называются суммы sn = a1 + + an: Ряд сходится, если сходится последовательность этих сумм, тогда предел называется суммой ряда.

Последовательность an называется последовательностью Коши

или фундаментальной последовательностью, если двойная после- довательность an am сходится к нулю при одновременном неогра-

ниченном возрастании n è m: Пространство X с системой полунорм

N называется полным, когда всякая последовательность Коши в

нем сходится. Легко видеть, что все сходящиеся последовательностиэто последовательности Коши, так что в полном пространстве свойство быть последовательностью Коши критерий сходимости. Пространства вещественных и комплексных чисел полны, множество непрерывных функций на отрезке полно в равномерной топологии и не полно относительно поточечной сходимости. Полное нор-

Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

èëè нормально, если сходятся j 1 kajk для всех полунорм системы. Из неравен-

ства треугольника и критерия Коши вытекает, что в полных пространствах нормально сходящиеся ряды сходятся.

Вещественное векторное пространство можно комплексифицировать, полагая XC = C X = X + i X. Линейные операторы продол-

жаются на комплексификацию, как линейные над полем комплексных чисел: L[ i u] = i L u.

4.2Операторы

Оператором называют функцию, области определения и значений которой лежат в полунормированных пространствах. Если область значений числа, оператор называют функционалом. Если обе области конечномерны, оператор оказывается вектор-функцией.

В случае, когда сходимость может быть задана счетной системой полунорм, непрерывность операторов определяется как у функций: если образ сходящейся последовательности сходится, то оператор непрерывен. Линейный оператор будет непрерывным, если kL[y]k Ckyk.

Подобно функциям, операторы в линейных пространствах можно складывать и умножать на числа. Иначе говоря операторы из X â Y

образуют векторное пространство, в котором линейные операторы составляют подпространство.

В нормированных пространствах понятия непрерывности и ограниченности оператора совпадают. В метрическом пространстве ограниченными называют множества конечного диаметра. Линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченное множество в ограниченное.

Ïîä умножением операторов обычно понимают действие, соответствующее образованию сложной функции из двух простых, что резко контрастирует с обычаем, установленным для функций. Так

для функций, если h = fg, то это значит, что h(x) = f(x) g(x), íî

åñëè P = R S для операторов, то это означает, что P [f] = R S[f] : Иногда для ясности произведение операторов обозначают R S è íà-

тождественные операторы на пространствах X è Y (это значит,

÷òî 1X[x] = x, 8x 2 X, и то же самое для 1Y ).

Конечно если взять операторы, принимающие значения в алгебре, то есть, если их значения можно как-либо перемножать,

P Q[x] = P [x] Q[x], и слово 'обратный' получит еще один смысл.

4.3Евклидовы и гильбертовы пространства

Евклидовым (предгильбертовым) пространством называется векторное пространство E в котором есть скалярное произведение

(u; v): Скалярное произведение должно быть линейно по каждому из аргументов, симметрично и положительно определено. Послед-

2 def

нее означает, что u = (u; u) 0 и равенство возможно, лишь p

когда u = 0: Скалярное произведение определяет норму kuk = u2:

В евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: åñëè u ? v, òî åñòü, (u; v) = 0, òî

(u v)2 = u2 + v2;

и обратно. Неравенство Коши Буняковского j(u; v)j kuk kvk;

означает просто, что катет не больше гипотенузы, так как, если kvk = 1, òî (u; v) проекция гипотенузы u на катет (u; v)v, òàê êàê

тогда u = (u; v)v +w, ãäå (v; w) = 0, u2 = (u; v)2 +w2 è j(u; v)j kuk.

Пространство непрерывных функций на отрезке становится евклидовым, если скалярное произведение определить интегралом

x2

Z

(u; v) = u v dx: В нем действуют линейные дифференциальные и

x1

интегральные операторы, в их числе взятие производной.

Åñëè P u = u è u 6= 0, то называется собственным числом, u

собственным вектором оператора P .

Оператор P называется сопряженным P åñëè (P u; v) = (u; P v):

Оператор P называется самосопряженным, åñëè (P u; v) = (u; P v), è положительным, åñëè (P u; u) > 0 ïðè âñåõ u 6= 0 è v.

Из самосопряженности вещественного оператора следует: à) Вещественнîñòü ñîáñòвенных зíачений.

Из тождеств (u; u) = (P u; u) = (u; Pu) = (u; u) = (u; u) следует,

÷òî = .

Кратностью собственного числа (самосопряженного) оператора называется число отвечающих ему линейно независимых собственных векторов.

Пусть vj попарно ортогональные векторы. u по системе (vj) называется ряд

v= a1 v1 + a2 v2 + : : : ;

âкотором числа aj определяются из равенств

aj vj2 = (vj; u)

Эти равенства получаются, если чаемое равенство u = v скалярно умножать на векторы vj: Если ряд сходится (по норме, естествен-

но) к вектору u, то он называется его разложением в ряд Фурье.

Ортогональная система может быть получена из любой системы путем ортогонализации. Если в ортогональной системе (vj) нормы всех

векторов равны 1, то она называется ортонормированной.

Замечание. Ортонормированные системы связаны между собой ортогональными преобразованиями, матрицы которых называются тоже ортогональными. Они характеризуются тем, что их строки и столбцы также образуют ортонормированные системы в пространстве l2 суммируемых с квадратом после- довательностей чисел.

Последовательность частичных сумм ряда Фурье вектора всегда является последовательностью Коши. Действительно, если

u = v + w, ãäå v частичная сумма ряда, то по построению (u; v) = (v; v), значит, v è w ортогональны и согласно теореме Пифагора kuk2 = kvk2 + kwk2. Следовательно, нормы частичных сумм мо-

нотонно возрастают, не превосходя kuk, и, значит, сходятся. (Имея

в виду это свойство, иногда говорят, что ряд фурье сходится по норме, хотя сам ряд может и не сходиться.) Из равенства

sk)2 = s2k+m s2k для частичных сумм следует, что

последовательность Коши. В неполном пространстве может не существовать предела, а в полном сумма ряда может быть весьма

далека от u. Система (vj) называется полной в векторном пространстве, если ряды Фурье всех векторов сходятся к ним самим.

В полном пространстве полнота системы (vj) эквивалентна тому, что ортогональное дополнение к ней состоит из одного нуля.

Упражнение 24.

1) Доказать свойство минимальности сумм ряда Фурье (Бессель, 1828). Скалярный квадрат (v a1 v1 + +ak vk)2 как функция от чисел a1; : : : ; ak достигает

минимального значения, когда эти числа становятся коэффициентами Фурье. 2) Если kvmk = 1 при всех m, то выполняется неравенство Бесселя (1828)

a21 + + a2n kuk2

Мера Жордана, известная нам "со школьной скамьи" как длина, площадь или объем в конечномерных пространствах, конечноаддитивна.

Пополнение меры. Эта процедура состоит в том, что алгебра B пополняется множествами, на которые можно продолжить

меру. Используя меру на B можно построить внешнюю меру:

(A) = infA B2B

в , а не только элементы алгебры B, но внешняя мера может

не быть ни счетно, ни конечно-аддитивной. Внешняя мера нужна, чтобы определить расстояние между подмножествами :

(A; B) = (A4B). Внешняя мера и мера непрерывны относитель-

но этого расстояния:

j (A) (B)j (A; B)

(Это следует из A B [ A4B). Пополнением меры называ-

ется ее продолжение по непрерывности в предельные точки к алгебре. Множество A 2 называются предельной точкой, åñëè

расстояние от него до алгебры равно нулю, иначе сказать, если lim (A; Bn) = 0 для подходящей последовательности Bn 2 B.

n!1

Тогда (A) = lim (Bn).

n!1

Пополнение счетно-аддитивной меры будет счетно-аддитивной мерой, а конечно-аддитивной меры конечно-аддитивной мерой.

Меру Жордана на прямой можно продолжить до счетно-аддитив- ной меры, которая будет будет определена на алгебре множеств, порожденной счетными объединениями интервалов. Пополнение этой меры называется мерой Лебега.

Мера на конечном или счетном множестве полностью определена значениями на элементах этого множества (выражаясь точнее,

значениями на одноэлементных подмножествах ), в этом случае в

качестве B обычно выступает множество всех подмножеств. Это не

так в общем случае для несчетных множеств, например, мера одной точки равна нулю для меры Лебега.

Упражнение 25.

1. Счетное множество, в частности множество рациональных чисел, имеет нулевую меру Лебега.

2. Канторово множество C строится так: из (замкнутого) отрезка [0; 1] выбро-

сим (открытый) интервал (1/3,2/3), точно так же поступим с двумя оставшимися отрезками [0; 1=3] и [2=3; 1] выбросим из них середину. И далее будем удалять

одну треть из середины каждого остающегося отрезка. То, что от отрезка останется и будет множеством C. Доказать, что оно несчетно и что его мера равна

1 1=3(1 + 2=3 + (2=3)2 + : : : ) = 0.

Произведение мер определяется на произведении пространств с мерами. Если ( k; Bk; k), k = 1; 2: два пространства, то на их