Лекции по ЧМ и ТВ

Дифференциальное уравнение или система вместе с условиями называется краевой задачей. Иногда в краевых условиях можно выделить части: граничные условия это те, которые заданы на границе пространственной области, и начальные определяющие искомую функцию в определенный момент времени. Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной. Задачи математиче- ской физики стараются ставить так, чтобы их можно было довести до алгоритма численного решения, реализуемого на современных вычислительных машинах.

5.1Основные уравнения математической физики

Приведем классические канонические виды уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах размерностей 1, 2 è 3 в обыкно-

венно принятой форме. Оператор 4 (читается: лапласиан или дель-

òà):

4u = uxx; 4u = uxx + uyy èëè 4u = uxx + uyy + uzz

называется оператором Лапласа. Индексами для краткости обозна- чены производные.

Уравнение Гельмгольца при = 0 становится уравнением Пуассона, à ïðè = 0; f = 0 уравнением Лапласа. Квадратом обозна-

чается оператор Даламбера, иначе, даламбертиан èëè волновой оператор. Уравнение (IV.17) в одномерном случае называют уравнением струны. Уравнение теплопроводности можно называть и уравнением диффузии. Коэффициенты в этих формулах можно сделать равными 1 растяжением переменных, однако их оставляют, такова традиция, кроме того они имеют физический смысл и размерность.

5.2Задачи для основных уравнений

A.Уравнение Пуассона 4u = f. Решение ищется в прямоуголь-

нике со сторонами a è b.

Рассмотрим два краевых условия:

Задача Дирихле даны значения функции на границе:

Задача Неймана даны значения нормальной производной на границе:

B. Одномерное уравнение Даламбера u = f. Решение ищется на отрезке (0; l) ïðè t > 0.

ux(0; t) + u(0; t) = 1(t)

C. Уравнение теплопроводности ut a24 u = f. Решение ищется на отрезке (0; l) ïðè t > 0.

ux(0; t) + u(0; t) = 1(t)

Коэффициенты , , и постоянны.

5.3Физический смысл основных задач

Задача B связана с малыми поперечными колебаниями струны, которую на плоскости изображает линия u = u(x; t), 0 x l.

Форма линии зависит, естественно, от времени. В положении равновесия струна может быть просто отрезком оси x, тогда u ýòî

отклонение от положения равновесия. Уравнение Даламбера выражает баланс сил, действующих на бесконечно малый отрезок стру-

ны, содержащий точку струны (x; u). Правая часть уравнения

это плотность внешних сил вдоль струны; если она не равна нулю, струну называют нагруженной. Краевые условия выражают способ закрепления концов струны. В двумерном случае вместо струны колеблется мембрана, в трехмерном тело.

В уравнении теплопроводности u = u(x; t) температура тела

в точке x. В одномерном случае это тело однородный стержень.

Остывание или нагревание неоднородного стержня моделирует то же самое уравнение, но коэффициент a в этом случае будет зависеть

îò x. Граничные условия определяют теплообмен тела с внешней

средой.

Уравнению Пуассона удовлетворяют стационарные (не зависящие от времени) решения уравнения теплопроводности или волнового

уравнения. Следовательно, оно моделирует изгиб струны под действием постоянной нагрузки либо передачу тепла вдоль стержня с постоянным распределением температуры. Уравнению Гельмгольца

подчиняются амплитуды колебаний v(x; !) в разложении решения

Z

уравнения Даламбера по стоячим волнам: u(x; t) = ei ! t v(x; !)d!,

иначе говоря преобразование Фурье по времени решения уравнения Даламбера удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

5.4Методы исследования основных задач

Для всех этих задач можно сформулировать и доказать теоремы существования и единственности решений. Доказать их можно и посредством процедуры разделения переменных, которая состоит в том, что решение ищется в виде ряда Фурье по одной или нескольким переменным с коэффициентами-функциями других переменных. Если коэффициенты определятся однозначно, то тем самым будет доказана единственность решения в классе формальных (возможно, несходящихся) рядов Фурье. Если же будет установлена сходимость ряда, то это будет означать, что получена теорема существования решения. Вместо рядов Фурье можно использовать преобразования Фурье и Лапласа. В любом случае идея метода состоит в том, чтобы свести задачу с частными производными к задачам для обыкновенных уравнений.

5.5Разделение переменных (метод Фурье) в классических задачах

Рассмотрим этот метод в простейшем случае двух независимых переменных в уравнениях (IV.16), (IV.17) и (IV.18).

5.5.1Главный вариант

Будем считать, что граничные условия при x = 0, x = a èëè ïðè

и функция u. Решения такой задачи Штурма Лиувилля, как известно, имеют вид

v = u u1 эти условия будут нулевыми. В наших классических задачах, чтобы функции

t

Z

un(t) = e a2 2n(t s) fn(s) ds

0

c. В случае A, если оба граничные условия нулевые, решение u

можно искать в виде двойногоP ðÿäà

u = unmXn(x) Ym(y)

nm

Здесь собственные функции Ym и их собственные числа m строятся в точности как Xn, но, естественно, с заменой переменной x íà y, а постоянной a íà b. Подставив u в уравнение Пуассона, получим

формулы для определения коэффициентов unm, в которых fnm коэффициенты двойного ряда Фурье функции f(x; y):

( 2n + 2m)unm = fnm

d. Аналогичная процедура применяется для ситуации с тремя и более переменными. Существенный ее момент составляет разделяемость переменных не только в уравнении но и в граничных условиях. Простейший пример, когда это свойство изначально отсутствует, доставляют задачи в круге, цилиндре или шаре. В этих случаях путем перехода к полярным или сферическим координатам можно добиться разделяемости. Однако расплатой за это достижение будут более сложные задачи Штурма Лиувилля для специальных функций.

5.6Решение Даламбера задачи Коши

Это пример решения краевой задачи в квадратурах.

Для уравнения струны задача Коши записывается следующим образом:

utt a2 uxx = f; ujt=0 = g(x); utjt=0 = h(x); x 2 R; t 0

Эта задача решается следующим путем. Разложим на множители:

= (@t a @x)(@t + a@x) = 4a@ @ ;

ãäå = x at , = x + at новые координаты. Уравнение u = 0

легко решается, решив, получим:

u= v(x at) + w(x + at)

ñпроизвольными функциями v; w. Не сложнее находится и частное

Изложенный способ ее получения называют методом распространяющихся или бегущих волн, а также методом характеристик. Это объясняется тем, что функция v(x at) есть прямая бегущая волна

(в том смысле, что ее график, как функции от x, с возрастанием t движется вправо), а функция w(x + at) обратная бегущая волна;

характеристики это интегральные кривые двух векторных полей:

@t a @x è @t + a@x.

Пример 25.

Мы имеем здесь дело со струной, закрепленной в концах отрезка [0; ], в на-

чальный момент времени покоящейся и оттянутой за середину. Как же она будет звучать? Следуя нашему алгоритму, получаем:

Первый ответ есть разложение колебаний струны по стоячим волнам в каждом слагаемом от времени зависит только амплитуда, во втором ответе каждая стоячая волна разложена в сумму двух бегущих в разные стороны волн.

6Вопросы и задачи с решениями

1.Тригонометрические ряды Фурье. Формулы Эйлера Фурье. (с. 77-83, 36-43, 192-199)

2.Теорема Дини о сходимости (признак сходимости). (с. 77-83, 78-82, 36-43,

192-199)

3.Теорема Жордана о сходимости (признак сходимости). (с. 77-83, 78-82, 36-43, 192-199)

4.Преобразования Фурье и Лапласа. Формулы обращения. (с. 77-83, 83-87, 36-43, 192-199)

5.Изображения основных функций: степенной, экспоненты, тригонометрических и гиперболических. (с. 77-83, 83-87, 36-43, 192-199)

6.Операционное исчисление: решение обыкновенных дифференциальных уравнений путем преобразования Лапласа. (с. 77-83, 83-90, 36-43, 192-199)

7.Алгоритм разделения переменных в уравнениях математической физики, основанный на разложении в обобщенный ряд Фурье по одной переменной. (с.

77-83, 90-95, 36-43, 192-199)

8. Алгоритм разделения переменных в уравнениях математической физики, основанный на разложении в двойной обобщенный ряд Фурье. (с. 77-83, 90-95,

36-43, 192-199)

1. Найти ортонормированную относительно скалярного произведения

Z 2

ней функцию f = 3 e x sin( =3 + ( =2 + 3 )x) в обобщенный ряд Фурье.

Решение. Решив задачу Штурма Лиувилля найдем собственные числаn = 2 + k, n 2 Z и базисы их собственных подпространств:

e x sin( + ( =2 + k )x), e x cos( + ( =2 + k )x), где любое.

Так как оператор задачи самосопряжен относительно указанного скалярного произведения, то собственные подпростраства ортогональны одно другому. Нужно проверить ортогональность каждого из указанных базисов и вычислить

нормы базисных векторов, они равны 1. При = =3 заданная функция сама

лежит в одном из собственных подпространств, откуда и следует один из возможных ответов:

Ответ. yn = e x sin( =3 + ( =2 + k )x) ïðè n = 2k,

yn = e x cos( =3 + ( =2 + k )x) ïðè n = 2k + 1, k = 0; 1; 2; : : : ; f = 3y6.

VТеория вероятностей

1Предметная область и ее математическая интерпретация

Теория вероятностей изучает такое случайное, которое сохранило в себе закономерное вполне определенного рода то, что имеет частоту. В литературном описании предмета этой теории необходимо присутствуют пять терминов: испытание, исход, событие, частота, вероятность. В самой теории им придается однозначный смысл. Как обычно, математические реалии, имеющие эти имена, существуют лишь в воображении, а не в действительности. Благодаря этому величины можно совершенно точно описать, что и делает возможным их приложение к действительности. Когда нечто действительное повторяет в своем описании что-либо математическое, есть надежда, что и поведение этого нечто повторит поведение, предписанное теорией.

Синонимы испытания: опыт, наблюдение, эксперимент, случайный эксперимент, "осуществление комплекса условий" (А. Н. Колмогоров), . . . . Чтобы описать испытание, нужно перечислить его условия, включая место и время, и указать интересующий экспериментатора результат, который оказывается случайным в том смысле, что он не определен данным списком условий однозначно. Одно и то же испытание можно проводить много раз подряд, мысленно, разумеется, любые реальные повторения все же разнятся между собой. Теорию вероятностей интересуют только такие испытания.

В качестве примеров испытаний укажем пока два: подбрасывание монеты, здесь результат очевиден; проведение спортивной олимпиады, здесь результатом может быть самый подробный протокол проведения состязаний, но им может быть и успех нашей команды в отдельном виде спорта, в общем что угодно.

Каждое проведение испытания называют реализацией. Исходом реализации будет обязательно однозначно определенный результат испытания. Исход также называют элементарным событием. Полезно иметь в виду, что испытанием часто называют результат испытания, то есть, реализацию или исход.

Вероятностный смысл термина 'событие' отличается от литературного тем, что здесь речь идет лишь о событиях, которые могут произойти в результате испытаний. Нет испытания нет и события. От исхода событие отличается тем, что одно и то же событие может быть результатом нескольких исходов. Эти исходы называют благоприятствующими событию. Например, если испытание это экзаменационная сессия, а его исход полученные студентом оценки, то событие отчисление студента будет следствием любого исхода, в котором студент не сдал больше двух экзаменов. Если экзаменовчетыре, то отчислению студента благоприятствуют пять исходов.

Каждый исход есть одновременно и событие; ему благоприятствует только один исход он сам. Любой набор событий некоторого испытания, если они попарно несовместны, то есть не могут произойти оба в одной реализации, можно объявить новым пространством элементарных событий этого испытания, но это уже будет новое испытание. В число его исходов следует включать дополняющее набор элементарное событие, чтобы исключить "безысходные" реализации испытания. Например, если в исходном испытании монета бросается 5 раз, а несовместные события определены фразой "герб при этом первый раз появился на n-ном броске", то новых исходов будет не 5,

а 6, шестой исход герб не появился. События в смысле теории вероятностей, то есть, связанные с каким-либо испытанием, называют

случайными.

Если испытание повторяется n раз, и событие A происходит при этом m раз, то число m называется абсолютной частотой, а число

m=n относительной частотой èëè частотой события A.

Наконец, под вероятностью разумеют число, которое хотелось бы сопоставить каждому событию так, чтобы к этому числу приближалась частота события. Вероятности, часто невозможно найти, но удается сравнивать: имеется некоторая вероятность, что здесь завтра будет землетрясение, но что пройдет дождь более вероятно. Определение вероятности до сих пор проблема, однако паллиатив был найден.

2Определение вероятности

Перейдем теперь к самой сравнительно недавно возникшей теории, в рамки которой удалось втиснуть рассмотренные, хотя и кратко, понятия.

Математической моделью испытания и связанных с ним основных понятий служит вероятностное пространство это простонапросто пространство с мерой:

= ( ; B; P);

в котором:

испытание, то есть, множество исходов: = f!g;

B множество событий, которое есть счетно-аддитивная алгебра подмножеств из : B fA; A g;

P вероятностная мера на B, то есть, такая мера, что

(А. Н. Колмогоров, 1933)

Вероятностная мера называется также распределением вероятности. Таким образом, выбор любой точки ! 2 может означать

проведение опыта или реализацию испытания с исходом ! . Èñõî- äû, благоприятствующие событию A, это в точности элементы

множества A. Вероятность события ýòî åãî ìåðà.

В дальнейшем, когда речь идет о вероятностях, событиях или испытаниях, предполагается, что они относятся к некоторому вероятностному пространству. Операции объединения и пересечения в алгебре множеств-событий часто обозначают знаками сложения и умножения:

A [ B = A + B, A \ B = A B.

Произведение событий следует отличать от произведения их как множеств, которое для отличия можно называть прямым произведением. Алгебру B называют алгеброй или -алгеброй событий. Îáîé-

тись конечно-аддитивной мерой, то есть мерой Жордана многомерными длиной и площадью, нельзя уже в самых простых задачах теории вероятностей.

2.1 Примеры вероятностных пространств

1) Подбрасывание монеты.

Вероятностное пространство состоит из двух исходов (сторон монеты): = f0; 1g; но в результате испытания может произойти це-

ëûõ 4 события: B = f?; ; f0g; f1gg; îäíî èç íèõ ?, ïðî-

изойти не может, однако считается возможным с нулевой вероятностью; событие происходит в любом случае; вероятностная мера:

ëè A = f!k1; : : : ; !kmg 2 B, òî P(A) = pk1 + + pkm, в частности

P( ) = p1 + + pn = 1.

Классическое определение вероятности ограничивает рассмотрение вероятностных пространств одним типом: конечное

множество исходов, #( ) = n, и все вероятности pk этих исходов одинаковы: pk = 1=n. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле P(A) = mn = #(#(A)).

3) Счетное множество исходов в испытании.

= f!1; !2; : : : g; B = 2 ; P(f!kg) = pk; p1 + p2 + = 1

4) Непрерывное пространство исходов. подмножество прямой, плоскости или пространства, B измеримые его подмножества,