|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) = |
|
|
|
p − 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 6 p +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p − 2 |
= |
|
|
|
p − 2 |
= |
|
|
|
|
p + 3 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p + 3)2 + ( |
|
)2 |
|
|
|
|
|
( |
|
)2 |
|
|
||||||||||||||||||
p2 + 6 p +16 |
|
(p + 3)2 + ( |
|
)2 |
(p + 3)2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p + 3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
• |
|
|
−3t |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
−3t |
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=• |
e |
cos |
|
7 t − |
|
e |
sin 7 t. |
|||||||||||||||||||
(p + 3)2 + ( |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
(p + 3)2 + ( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
При практическом применении преобразования Лапласа для нахождения оригинала по его изображению часто пользуются справочными таблицами соответствия между оригиналами и их изображениями [8]. Если необходимая функция в таблице отсутствует, то используют свойства преобразования Лапласа для приведения заданной функции к табличному виду.
3.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом
Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y′′+ a1y′+ a2 y = f (t) |
(3.27) |
||
и заданы начальные условия |
, y (0) |
= y1, |
(3.28) |
y(0) = y0 |
|||
|
′ |
|
|
то есть сформулирована задача Коши.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений базируется на том, что искомая функция y(t) и правая часть f (t) рассматриваются как оригиналы, и к уравнению (3.27) применяются теоремы дифференцирования оригинала и линейности.
Пусть y(t)• =• Y (p), |
|
f (t)• =• F(p) , |
тогда |
|
|||
y′(t)• =• pY (p) − y0 , |
|
y′′(t)• =• |
p2Y (p) − py0 − y1. |
(3.29) |
|||
Применяя к уравнению (3.27) теорему линейности, с учетом |
соотно- |
||||||
шений (3.29) получим |
|
|
|
|
|
|
|
p2Y (p)+ a pY (p) |
+ a |
Y (p)−(p + a ) y |
0 |
− y = F(p). |
(3.30) |
||
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
98
Алгебраическое уравнение ( 3.30) называется изображающим или операторным уравнением. Разрешая его относительно Y (p), найдем изображение искомого решения
Y (p) = |
F(p) |
|
+ |
(p + a1)y0 + y1 |
. |
|
|
p2 + a p + a |
2 |
|
p2 + a p + a |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
Далее следует выполнить обратное преобразование Лапласа методами, указанными выше, и найти соответствующий изображению Y (p) оригинал y(t), который и будет решением задачи Коши (3.27)- (3.28).
Замечание. Достоинство операционного метода решения по сравнению с классическим методом решения неоднородных дифференциальных уравнений состоит в том, что начальные условия автоматически (естественным образом в процессе преобразований) входят в изображающее уравнение. Поэтому после выполнения обратного преобразования Лапласа сразу получается частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, при операционном методе не надо искать произвольные постоянные.
Недостаток метода - трудность обращения преобразования Лапласа, особенно в случае сложной правой части или уравнений высокого порядка.
Пример. Решить операционным методом уравнение
|
|
|
y′′+ y = 2cost |
|
y (+0) = −1. |
||||||||||
при заданных начальных условиях |
|
|
y(+0) = 0 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
Пусть |
y(t)• =• Y (p), |
cost • =• |
|
|
|
p |
. |
|
|
|
|
|
|||
p2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С учетом начальных условий y′(t)• =• |
pY (p), |
y′′(t)• =• p2Y (p) +1. |
|||||||||||||
Изображающее уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
|||
|
p Y (p) +1 |
+Y (p) = |
|
|
. |
||||||||||
|
|
p2 +1 |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (p) = |
|
2 p |
|
− |
|
|
1 |
|
= Y (p)−Y (p). |
|||||
|
|
(p2 +1)2 |
|
p2 +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||||||||
где
99
Y |
(p) = |
2 p |
|
, |
Y |
(p) = |
1 |
. |
|
|
|
||||||
1 |
|
(p2 +1) |
2 |
|
2 |
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Для оригинала, соответствующего изображению Y1(p), воспользуемся теоремой дифференцирования изображения:
Y1(p) = (p22+p1)2 = − p21+1 ′• =• t sint.
Изображение Y2 (p), является табличным. Ему соответствует оригинал sint . Следовательно, решение задачи Коши примет вид
y(t) =t sint −sint = (t −1)sint.
100
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО – ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ