Скачиваний:
36
Добавлен:
05.04.2013
Размер:
731.65 Кб
Скачать

Среднее число заявок в очереди :

Среднее время ответа :

Закон сохранения интенсивности потока

Интенсивность входящего потока заявок в систему равняется интенсивности выходящего потока.

G G 1

Пусть 1 – Р0 - вероятность того , что прибор занят.

( 1 – Р0 ) -интенсивность выходящего потока заявок.

По закону сохранения интенсивности потока можно записать : = ( 1 – Р0 ) , отсюда

( см. М М 1 )

Не зависит от интенсивности потока и времени ожидания.

В системах массового обслуживания выполняется закон сохранения времени ожидания :

i - коэффициент загрузки

w i - длительность ожидания

i - номер входящего потока

Вывод : Этот закон означает , что С.М.О с ожиданием (без потерь ) инвариантны относительно дисциплины обслуживания , т.е. если потерь заявок в системе нет , то не зависимо от дисциплины обслуживания это выражение остается const.

О.С стремится занять всю память и все возможные ресурсы системы.

Формулы Литтла

Это все ( G G 1 )

, где

- среднее число заявок в системе

- среднее число заявок в очереди

- средняя длительность отклонения

( M G 1 ) Полачика – Хингина

b2 - второй начальный момент обслуживания заявок.

Пример ( для экспоненциальной длительности обслуживания ) :

Процесыы рождения ( размножения ) и гибели .

Пусть исследуемая система может находится в одном из состояний Е0 , Е1 , Е2

В системе возможны переходы между соседними состояниями.

к  + о (  )

Ек – 1 Ек Ек + 1

к  + о (  )

Ек Ек : 1 – (к + к ) + о ( ) - отсутствие изменений.

О ( ) - бесконечно малая , порядка выше , чем , т.е

Если все к =0 , то в такой системе возможны только переходы : Ек – 1 Ек Ек + 1 - процесс чистого размножения .

Если все к =0 , то это процесс гибели.

Для стационарного режима можно записать уравнения для вычисления параметров состояния :

Раскрывая скобки и сгруппировав , получим

, где - условие сходимости.

Существование стационарного режима возможно , что ряд Р0 - сходится.

Это требование аналогично убывающей геометрической прогрессии для системы М М 1.

Процессы гибели – размножения могут служить моделями для СМО и можно воспользоваться готовыми файлами для вычисления вероятностей.

Чтобы воспользоваться готовыми формулами, необходимо установить соответствие между ними.

Исследование СМО ММ1 с помощью процессов рождения и гибели ( ПРГ ).

Необходимо установить между параметрами к и к ПРГ с одной стороны и параметрами исследуемой СМО , , M , S , где

 - интенсивность входного потока

  1. - интенсивность выходного потока

M - число обслуживающих приборов

S -

к = для всех k

к = для любого k

В этой системе S = , т.е любая заявка будет обслужена.

Воспользуемся формулой рождения и гибели процессов для вычисления :

, т.к i = const = , i – 1 = const =  , то

k = 1

k = 2

, учитывая , что i = const = , i – 1 = const =  , то

, тогда ( т.к - коэффициент загрузки ) , то

Т.к , то

Вывод : Процессы рождения и гибели могут быть использованы для анализа СМО.

Вероятность любого состояния : или

Т - Время ответа

- Коэффициент загрузки системы ,  0 , 1 ) для стационарной системы.

- Среднее время обслуживания

Система массового обслуживания типа M M 1 , где S – конечна.

Цель анализа системы :

  1. Получение вероятности состояний

  2. Определение характеристик системы.

Существуют вероятности :

  • потери заявки

  • отказы в обслуживании

Для вычисления вероятностей состояний воспользуемся аналогиями процессов рождения и гибели.

Д.З !!!!!!!

Многоканальная Система Массового Обслуживания с отказами

Система с

m - обслуживающее устройство

  1. - поток входных заявок

  1. - поток выходных заявок

Т.к система с отказами , то в ней заявка может занимать любой свободный прибор

( если он есть ) , если свободных нет , то все заявки , поступающие в период занятости системы , получают отказ и будут потеряны.

Установим аналогию между параметрами процесса рождения – гибели и этой системы.

Построим граф состояний и переходов:

Е0 - Нет заявки

Е1 - Одна заявка

Еm - Все приборы заняты

  • общее число состояний ограничено числом приборов  всего состояний m+1.

Переходы в системе : Ei E i+1

Интенсивность переходов ( Ei E i+1 ) постоянны и равны ; к= , для к=0…( m-1)

Переходы в системе : E i+1 Ei связаны с окончанием обслуживания заявки.

интенсивность перехода зависит от номера состояния. Чем больше число приборов, тем вероятность обслуживания выше.

- вероятность обслуживания хотя бы одной заявки , где

  1. - время перехода

k - число занятых приборов

Для ПРГ:

, для k=1…m

( 1)

, где *2*3 =k! ( 2)

Формулы ( 1) и ( 2) называют формулами Эрланга , а сама задача - задача Эрланга.

Основной характеристикой такой системы является - вероятность отказа , когда система находится в состоянии Еm .

Вероятность обслуживания заявки:

Эта характеристика характеризует относительную пропускную способность системы.

Пример : С.М.О для некоторой ВС. ( Модель ВС )

ВС состоит из ряда терминалов клиентских машин , сервера + соединение

Т1 … Тn - терминалы

ОП - оперативная память

Пр - процессор

МК - мультиплексорный канал

СК - селектор каналов ( механизм обращения к ЗУ )

ВЗУ - внешнее запоминающее устройство

Для обработки каждой задачи выделяется некоторый квант времени.

Наряду с СМО рассматривают и Сети Массового Обслуживания ( СтМО ).

При построении модели этой системы выделяют ряд отдельных СМО , связанных между собой и образующих Сеть Массового Обслуживания ( СтМО ). Такие сети называют стохастическими. Анализ таких сетей более сложен.

СтМО могут быть как замкнутыми , так и разомкнутыми.

Т - терминалы ( источники заявок )

0 - максимальная суммарная интенсивность потока заявок

Для замкутой СтМО:

Диспетчер выбирает заявку , и на время кванта ее обслуживает Пр – ОП .

Если заявка не обслужена ( время обслуживания не закончено ) , то с вероятностью Р заявка возвращается в конец очереди.

С вероятностью q заявка может требовать либо обращение к ОП ( Р1 ) , либо может быть обслужена с вероятностью Р2 .

Для разомкутой СтМО:

0 - потока заявок постоянной интенсивности .

q - вероятность того , что обслуживание заявки будет закончено и она покинет систему обслуживания.

Имитационное моделирование

Имитационная модель (ИМ) – алгоритм или программа, которая с помощью тех или иных средств (могут быть квадратики, скобочки, и т.п. ) описывают, воспроизводят, моделируют и в конечном счете имитируют процесс функционирования системы, воспроизводя временную диаграмму, процесс функционирования.

Исследование ИМ производится с помощью методов статистических испытаний,

например, с помощью метода Монте – Карло .

Имитационное моделирование - построение процесса, который имитирует реальный.

Адекватность – правильность моделирования. Модель должна быть адекватной исходному объекту.

Моделирование – процесс создания и исследования модели. Имитационные модели обычно бывают вероятностными и статистическими. Процесс исследования носящий вероятностный характер называют методом статистических испытаний ( или метод Монте – Карло ).

Пример: ( Статистическое моделирование, которое является моделью (система с ожиданиями ) ).

Если описать формально эту диаграмму с помощью специального языка, то это и будет модель.

Основой для построения имитационной модели является - построение диаграммы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Курс лекций ТОПВС