Скачиваний:
36
Добавлен:
05.04.2013
Размер:
731.65 Кб
Скачать

S ( q , w ,  ) - функция качества.

Если канал ненадежен , т.е.  Р – вероятность передачи по каналу , тогда для повторной передачи сообщение будет снова вставать в очередь. Получим модель с обратными связями.

Упрощение моделей

  1. Декомпозиция

Производится разбиение системы на подсистемы

Всегда можно знать интенсивность потока1 ( ) , поэтому на вторую можем подать поток с уже известной , если система устойчива.

  1. Укрупнение состояний

Многозадачность и многопроцессорность .

Сообщение – задача

ОУ - процессор

Об’ем очереди = 

Существуют многозначные системы , которые используют мастер-процессор ( процесс в UNIXе ) - производит диспетчеризацию задержек.

Однозначная многопроцесорная система

III . Дисковые системы raid – системы ( распараллеливают запись информации байта на разные диски ).

Конвейерная обработка

Применяется для уменьшения времени при ветвлении.

Нотация Кэнделла

Кэнделл предположил следующую систему обозначений.

М - для обозначения потоков заявок и типов систем массового обслуживания , обладающих Марковскими свойствами ( т.е свойствами отсутствия последствий ).

Потоки Эрланга

Такие потоки обозначают по нотации Кэнделла: Ек , где к – порядок.

Рассмотрим простейший поток заявок. Потоки Эрланга получаются из простейших путем просеивания.

Распределение Эрланга

Плотность распределения вероятностей.

, где k=0..n

Потоки GI (General Independal )

GI - поток общего вида, в котором все распределены случайно, но независимо друг от друга.

Потоки G

G - произвольный вид распределения. Нет никаких ограничений на законы распределения для каждой заявки.

Длительность обслуживания

Может быть const либо случайной величиной.

Предполагается, что длительность обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения :

B(x) = 1 - e - x , x 0

B(x) = e - x

- const , характеризующая интенсивность обслуживания ;

B(x) - плотность распределения ;

- среднее время обслуживания .

Такие распределения также обозначают “ М ”.

Длительность обслуживания может подчиняться и другому закону (например Эрланга).

А В m S … тип системы массового обслуживания по Кенделлу.

1 2 3 4

  1. Тип входящего потока.

  2. Вид закона распределения длительности обслуживания.

  3. Число параллельных каналов.

  4. Число мест для ожидания.

Основные типы системы массового обслуживания .

М М 1 - одноканальная система массового обслуживания с простейшим потоком заявок , а обслуживание заявок определяется экспоненциальным законом ( т.к. S =  - система с чистым ожиданием ).

G G m - многоканальная система массового обслуживания с произвольным потоком заявок и длительностью обслуживания – произвольная с.в.

Граф состояний переходов для системы массового обслуживания .

Состояние системы массового обслуживания может быть связано с числом заявок в системе.

При поступлении заявки или на выходе число заявок изменяется, и состояние системы меняется.

Функционирование - процесс перехода системы из одного состояния в другое.

Е0 - нет заявок

Е1 - одна заявка

Е2 - две заявки

Процесс функционирования может быть отображен в виде графа состояний и переходов .

Рассмотрим систему:

Каждому состоянию приписывают вероятность : Р0 , Р1 , …

Т.к. процесс протекает во времени , то вероятности - функции от времени :

Р0 ( t ) , Р1 ( t ) , … - это совокупность вероятностей.

Закон распределения состояний системы массового обслуживания

По вероятностям состояний могут быть определены вероятности переходов Pk l ( t ) .

Анализ ситемы массового обслуживания состоит в том , чтобы найти распределение состояний Р0 … Рn по заданным вероятностям переходов. Через Р0 … Рn определяются показатели эффективности системы.

Общий подход к определению вероятностей

Уравнение Колмогорова –Чепмена :

Вычтем из левой и правой части Pk ( t )

Разделим на

;

Берем

k k , l k - интенсивность переходов.

Для стационарного состояния :

- условие нормировки

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с отказом “ M M 1 S “, где S=0 :

Вывод вероятностей напоминает правила Кирхгофа.

- среднее число заявок , поступающее за среднее время (длительность ) обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании ( вероятность потери заявки ) в такой системе совпадает с вероятностью того , что состояние системы является состояние Е1 ( т.е обслуживающий прибор занят )

Р 1 - вероятность отказа в обслуживании.

Р 0 - вероятность отказа того , что любая заявка , поступившая в систему будет обслужена.

Система массового обслуживания “ М М 1 S “ ( S = )

Т.е. всегда существует место в очереди.

Описание системы :

  1. Это одноканальная система массового обслуживания с чистым ожиданием.

М М  длительность обслуживания подчиняется экспоненциальному  з-ну с параметром .

Входящий поток

Простейший ,

С параметром

  1. Построим график состояния переходов.

  • Е0 - в системе нет заявок

  • Е1 - в системе одна заявка

  • Е к-1

  • Е к

  • Е к+1

Очередь может возрастать до , а значит число состояний системы тоже , но счетное ( т.е существует нумерация ) .

 вероятности состояний :

Р0 ( t ) , P1 ( t ) , … , Pk ( t ) , тогда стационарные вероятности состояний :

Р0 , P1 , … , Pk -1 , Pk , Pk + 1 .

Поток обладает свойством ординарности ( т.к. он простейший ) возможен переход только между соседними состояниями.

  1. Вычислим вероятности переходов.

P0 : P01 = 

P00 =1 - 

Pk : Pk , k+1 = 

Pk , k-1 = 

Pk , k = 1- (  +  ) 

  1. Составим уравнения для нахождения вероятностей

P0 ( t+ ) = P0 ( t ) P00 (  ) + P1 ( t ) P10 (  )

Pk ( t+ ) = Pk-1 ( t ) Pk-1 , k (  ) + Pk ( t ) Pk , k (  ) + Pk+1 ( t ) Pk+1 , k (  ) , для k = 1, 2 … .

Вычтем Рк ( t ) из левой и правой части , и разделим на , и перейдем к :

Если , т.е стационарное состояние системы , то получим систему уравнений в стационарном состоянии:

Для ее решения можем представить формулу 2 в виде :

для любого k , Z k = 0

Рекуррентное вычисление вероятностей нам даст :

Вероятность Р0 найдем из условия нормировки , для этого представим в виде :

Где к = 1 + + 2 + 3 + … = геометрическая прогрессия =

Р0 = 1 - Рк = к ( 1 - ) - вероятность обслуживания заявок без ожидания.

Справедливо только для убывающей геометрической прогрессии  < 1

Нагрузка на систему должна быть меньше 1 , только тогда ряд сходится и существует стационарное распределение состояния , иначе очередь будет возрастать неограниченно.

- загрузка ( нагрузка ) системы ;

  о ж 0 = 1 – Р0 = - среднее число заявок , поступивших за время обслуживания.

  1. Вычисление характеристик ( показателей эффективности )

  • среднее время ответа

  • среднее время ожидания

  • средняя длина очереди

t отв = t ож + t обсл

Среднее время ожидания – время от момента поступления заявки до момента начала ее обслуживания.

Средняя длина очереди - среднее число заявок , находящихся в системе и ожидающие начала обслуживания.

При выборе модели нужно оценивать последствия выбора.

Соседние файлы в папке Курс лекций ТОПВС