Часть 2. Системы дифференциальных уравнений (сду). Элементы теории устойчивости.

Запишите СДУ 1-го порядка с тремя неизвестными. Запишите эту систему в матричной форме.
Что называется решением СДУ?
Какой вид имеет нормальная форма СДУ? Какая нормальная система называется автономной? Приведите пример.
Запишите нормальную СДУ первого порядка с двумя неизвестными. Каков механический смысл этой системы и ее решения?
Сформулируйте задачу Коши для СДУ. Каков механический смысл начальных условий и решения задачи Коши?
* Как, не решая СДУ, проверить, является ли вектор-функция Y(t) решением СДУ, удовлетворяющим начальным условиям Y(t₀) =а, ?
Запишите автономную СДУ (п=2) Какое решение системы называется состоянием покоя? Какова геометрическая и механическая интерпретация такого решения? Что такое положение равновесия, точка покоя?
Приведите пример линейной однородной СДУ (п=3). Какой вид имеет ее решение?
Что такое ФСР однородной системы п уравнений?
Что называется характеристическим многочленом линейной однородной СДУ? Для чего он служит?
Сформулируйте теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной линейной СДУ.
* Какой вид имеют решения ФСР однородной линейной СДУ (п=2), если характеристическое уравнение имеет корни: а) ₁=–1, ₂= 3; б) ₁=0, ₂=2; ₁ = ₂=3?
Какие методы решения линейной СДУ вы знаете. Опишите каждый.
Методом исключения найдите решение системы , удовлетворяющее начальным условиям. Поясните результат с физической точки зрения.
Запишите систему дифференциальных уравнений в матричном виде. Решите ее методом Эйлера
Решите системы методом Лагранжа: а)_,
Запишите систему возмущённого движения для нормальной системы двух дифференциальных уравнений. Докажите, что эта система имеет тривиальное решение Для чего составляется система возмущенного движения?
* Докажите, что системой возмущенного движения для линейной неоднородной СДУ является соответствующая однородная СДУ.
Дайте определение фазового пространства СДУ, фазовой траектории, фазового портрета.
Чем фазовая траектория отличается от интегральной кривой? Каков их механический смысл?
Дайте определение устойчивого по Ляпунову решения у=(х) ДУ у = f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям: а) х=х₀, у=у₀; б)* у(0)=1; в)* у(1)=0; г)* у(1)=а.
Какое решение называется неустойчивым, асимптотически устойчивым?
* Дайте определение устойчивого тривиального решения СДУ .
Сформулируйте критерий устойчивости решения линейной СДУ.
Сформулируйте критерий Рауса-Гурвица. Каково его практическое применение?
.Для уравнения начертите траектории на фазовой плоскости. По чертежу сделайте вывод о поведении решений при.
Дайте определение асимптотической устойчивости решения ,, дифференциального уравнения. При каких значенияхтривиальное решение уравнениябудет асимптотически устойчивым?
Что такое точка покоя? Найдите все точки покоя системы . Запишите соответствующие состояния покоя, исследуйте их устойчивость по поведению фазовых траекторий.
Как исследовать устойчивость ненулевого решения системы дифференциальных уравнений? Исследуйте, при каких значениях параметра «» асимптотически устойчиво нулевое решение системы
Пользуясь определением, исследуйте устойчивость решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям